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MATHEMATIQUES PREMIERE ANNEE AMERINSA Cours Exercices Auteur de la Ressource Pé

MATHEMATIQUES PREMIERE ANNEE AMERINSA Cours Exercices Auteur de la Ressource Pédagogique Guy Athanaze 1PC Année scolaire 2011 - 2012 Mathématiques Première année AMERINSA 2011-2012 © [G. Athanaze], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. 1 PREFACE Ce que n’est pas ce polycopié : Ce polycopié n’est pas un cours exhaustif recouvrant le programme de première année de la filière AMERINSA. Vous n’y trouverez pas toutes les démonstrations des propriétés et théorèmes. Il ne vous dispense pas de l’assiduité aux cours et TD. Ce qu’est ce polycopié : Le but de ce polycopié est de vous aider dans la compréhension du cours de Mathématiques. Il reprend le plan des chapitres avec toutes les définitions et la majorité des théorèmes. Certaines démonstrations non faites en cours sont détaillées. Vous trouverez également des exemples et exercices corrigés. A la fin de chaque chapitre, des exercices de niveau 1 sont présentés (parfois avec leur correction). Il s’agit d’applications directes du cours. Ces exercices doivent être faits par les étudiants après la présentation du cours correspondant et avant les TD. Ils ne seront pas repris par les enseignants. Ces exercices ont été élaborés avec la participation de M.C. Douineau, A. Aymes, H. Ricard, J.B. Dill, A. Lachal, S. Balac. Je remercie C. Jaloux pour sa coopération et son investissement pour la partie « exercices corrigés ». Le dernier chapitre « A propos de la rédaction » présente un certain nombre d’exercices et problèmes d’évaluation de l’INSA. Les énoncés sont suivis de fac-similé de copies d’étudiants. Ces copies sont données telles qu’elles. Il ne s’agit pas de corrigé mais simplement d’exemples de rédaction. Je remercie les étudiants qui ont accepté de voir leurs copies reproduites. P.S. : Si vous décelez des fautes de frappe ou si vous avez des remarques, transmettez les à l’auteur… Je vous en remercie d’avance. © [G. Athanaze], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. 2 SOMMAIRE © [G. Athanaze], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. 3 PREFACE i SOMMAIRE ii Chap. 0 : QUELQUES NOTIONS FONDAMENTALES 1 Chap. I : THEORIE DES ENSEMBLES 7 Chap. II : LA LOGIQUE MATHEMATIQUE 17 Chap. III : LA DEMONSTRATION EN MATHEMATIQUE 39 Chap. IV : FONCTION, APPLICATION, BIJECTION 49 Chap. V : COMPLEMENTS SUR LES COMPLEXES 63 Chap. VI : COMPLEMENTS EN TRIGONOMETRIE 79 Chap. VII : LES POLYNÔMES 87 Chap. VIII : LES FRACTIONS RATIONNELLES 107 Chap. IX : COMPLEMENTS SUR LES REELS 117 Chap. X : FONCTION D’UNE VARIABLE REELLE 131 Chap. XI : FONCTIONS ELEMENTAIRES 159 Chap. XII : COMPARAISON DE FONCTIONS 183 Chap. XIII : CALCUL DIFFERENTIEL 193 Chap. XIV : DEVELOPPEMENTS LIMITES 213 Chap. XV : SUITES DE REELS 233 Chap. XVI : INTÉGRALE DE RIEMANN 253 Chap. XVII : CALCUL PRATIQUE DE PRIMITIVES ET D’INTEGRALES 269 Chap. XVIII : INTEGRALES GENERALISEES 289 Chap. XIX : ESPACE VECTORIEL 309 Chap. XX : APPLICATIONS LINEAIRES 333 Chap. XXI : MATRICES 353 © [G. Athanaze], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. 4 Chap. XXII : MATRICES ET APPLICATIONS LINEAIRES 363 Chap. XXIII : DETERMINANTS 379 Chap. XXIV : SYSTEME D’EQUATION LINEAIRES 393 Chap. XXV : REDUCTION DES MATRICES CARREES 403 Chap. XXVI : A PROPOS DE LA REDACTION 421 © [G. Athanaze], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. 5 QUELQUES NOTIONS FONDAMENTALES Dans ce c hapitre préliminaire, vous trouverez un certain nombre de définitions qui seront vues dans ce polycopié. Certaines sont déjà connues, d’autres non. Elles ont été re- groupées ici afin d’en avoir une vue plus synthétique. Vous trouverez aussi un petit mémo de formules classiques (trigonométrie, identité remarquables …). APPLICATIONS Injection ou application injective de E dans F Une application f : E → F est injective si et seulement si l’on a l’une des propriétés équiva- lentes : • ∀(x, x’)∈E2, x≠x’⇒ f(x) ≠f(x’). • ∀(x, x’)∈E2, f(x)=f(x’) ⇒ x=x’. • Tout élément de F admet au plus un antécédent dans E. Surjection ou application surjective de E sur F Une application f : E → F est surjective si et seulement si l’on a l’une des propriétés équiva- lentes : • f(E)=F. • Tout élément de F admet au moins un antécédent dans E. Bijection ou application bijective de E sur F Une application f : E → F est bijective si et seulement si l’on a l’une des propriétés équiva- lentes : • f est injective et surjective. • Tout élément de F admet un antécédent unique dans E. Composition des applications 1. La composition des applications est associative ce qui signifie que, quelles que soient les applications f, g, h telles que : E f →F g →G h →H (hg)f = h(gf). 2. La composée de deux injections est une injection. La composée de deux surjections est une surjection. La composée de deux bijections est une bijection. © [G. Athanaze], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. 6 Involution ou application involutive Une application f : E → E est une involution si et seulement si l’on a l’une des propriétés équivalentes : • f est bijective et f=f-1. • ff=idE. Restriction d’une application. Prolongement Soit une application f : E → F et A ⊂ E. La restriction de f à la partie A est l’application g :A→F telle que : ∀x∈A, g(x)=f(x) On dit aussi que f est un prolongement de g à E. STRUCTURES Groupe (G,*) est un groupe si et seulement si : • G est muni d’une loi de composition interne * (application de G × G dans G); • la loi * est associative (quels que soient a, b, c de G : (a*b)*c=a*(b*c)); • elle admet un élément neutre (il existe e de G tel que, quel que soit a de G, a*e = e*a = a); • tout élément a de G admet un symétrique a’ dans G pour la loi * (a*a’=a’*a=e). Groupe commutatif Le groupe (G, *) est commutatif si et seulement si la loi * est commutative (quels que soient a et b de G: a*b=b*a). Sous-groupe Soit un groupe (G, *). Une partie H de G est un sous-groupe de G pour la loi * si et seule- ment si (H, *) est un groupe. Corps commutatif (K, +, ×) est un corps commutatif si et seulement si : • (K, +) est un groupe commutatif. • K est muni d’une loi interne ×, associative, commutative, distributive par rapport à la loi + (quels que soient a, b, c de K: a(b+c)=ab+ac et (b+c)a=ba+ca), admettant un élément neutre et tout élément non nul de K admet un symétrique pour la loi ×. Sous-corps commutatif Soit (K, +, ×) un corps commutatif. Une partie L de K est un sous-corps commutatif de (K, +, ×) si et seulement si (L, +, ×) est un corps commutatif. © [G. Athanaze], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. 7 Homomorphisme. Isomorphisme Soit (E, *) et (F, o) deux ensembles munis respectivement des lois de composition internes * et o, une application f : E  F est un homomorphisme (on dit aussi morphisme) si et seu- lement si : ∀(x, y)∈ E2, f(x*y)=f(x)of(y) Un homomorphisme bijectif est appelé isomorphisme. -Espace vectoriel ou espace vectoriel sur  (V +, •) est un -espace vectoriel ou un espace vectoriel sur  si et seulement si : • (V, +) est un groupe commutatif; • la loi de composition externe (application de ×V dans V) possède les propriétés sui- vantes : quels que soient les éléments → u et → v de V et les réels λ et µ, 1• → v = → v λ•(µ• → v )=(λµ)• → v (λ+µ)• → v =λ• → v + µ• → v λ•( → u + → v )= λ• → u + λ• → v Sous-espace vectoriel • Définition Une partie V’ de V est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel si V’ est un espace vectoriel pour les deux lois + et • de V. • Caractérisation V’ est un sous-espace vectoriel de V si et seulement s’il possède l’une des deux propriétés équivalentes suivantes : 1- - V’ est une partie non vide de V - ∀( → u , → v )∈V’², → u + → v ∈V’² (stabilité pour la loi +) - ∀ → v ∈V’, ∀λ∈, λ• → v ∈V’ (stabilité pour la loi •) 2- V’ est une partie non vide de V - ∀( → u , → v )∈V’²,∀(λ,µ)∈², λ → u + µ → v ∈V’² (stabilité pour combinaisons linéaires © [G. Athanaze], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. 8 COORDONNÉES Le plan P est rapporté à un repère (O, → → j , i ) • ( ) y x u → et ( ) ' y' x v → sont colinéaires (on dit aussi linéairement dépendants ou encore que la famille ( → → v , u )est liée) si et seulement si λ u → +µ v → = → 0 avec (λ,µ)≠(0,0) si et seulement si le déterminant ' uploads/Geographie/ mathematiques-cycle-preparatoire-pdf.pdf