Simulation par méthode de Monte-Carlo Prof. Mohamed El Merouani Université Abde

Simulation par méthode de Monte-Carlo Prof. Mohamed El Merouani Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de Mathématiques 2018/2019 Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Methodes de Monte-Carlo 2018/2019 1 / 36 Plan : Introduction Intégration unidimensionnelle Intégrale multiple Intégration par simulation de Monte-Carlo Exemple de calcul d’intégral par la méthode de Monte-Carlo Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Methodes de Monte-Carlo 2018/2019 2 / 36 Introduction : La méthode de Monte-Carlo peut être définie comme toute technique numérique de résolution de problèmes où on utilise des nombres aléatoires. La méthode de Monte-Carlo a été développée vers 1949, lors du projet Manhattan (naissance de la bombe atomique). Les pionniers des méthodes Monte-Carlo sont, entre autres, E. Fermi, J. Neumann, S. Ulam et N. Metropolis. Ce n’est toute fois qu’avec l’avènement des ordinateurs que l’on a pu réellement utiliser cette méthode. Quant au nom de Monte-Carlo, on le doit bien sûr à la capitale de la province de Monaco, qui est connue par ses casinos des jeux de hasard. Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Methodes de Monte-Carlo 2018/2019 3 / 36 Introduction : L’expression "Simulation de Monte-Carlo" recouvre une série de techniques destinés à résoudre des problèmes complexes mais le plus souvent déterministes par l’introduction d’échantillonnage aléatoires. On a recoure à une simulation de Monte-Carlo lorsque le problème : Est trop complexe pour qu’une résolution par voie purement mathématique soit envisageable. Est trop volumineux (en particulier, contient un trop grand nombre de variables) pour que les techniques d’approximation numérique puissent conduire à un résultat précis dans un temps acceptable. Ce genre de situation est très commun dans tous les domaines ayant recours aux mathématiques appliquées : physique, chimie, biologie, économie, fiance, sociologie, etc... Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Methodes de Monte-Carlo 2018/2019 4 / 36 Introduction : A titre d’exemple, nous décrivons ici une des applications les plus simples de simulation de Monte-Carlo : L’intégration d’une fonction dans une région bornée. Comment calculer l’intégrale entre a et b d’une fonction g ? (i.e. I = R b a g(x)dx). En notant qu’une probabilité, une espérance mathématique, une variance ainsi que tout autre moment s’expriment comme des intégrales, on comprend l’importance pratique de la méthode de Monte-Carlo dans les applications statistiques et probabilistes. Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Methodes de Monte-Carlo 2018/2019 5 / 36 Intégration unidimensionnelle : Les méthodes de Monte-Carlo reposent sur une approximation probabiliste et non déterministe. En ce sens, on ne résout pas l’objet mathématique mais on cherche à l’approcher moyennant la loi forte des grands nombres. Cet objet peut être une intégrale comme c’est le cas ici. Nous traitons, les intégrales se présentant sous la forme : I = Z b a g(x)dx, où g est une fonction intégrable sur [a, b]. La méthode de Monte-Carlo pour l’intégration consiste à trouver une v.a. Z telle que : I = E(Z). Ce qui permet d’estimer I en utilisant la loi forte des grands nombre. L’erreur commise est contrôlée par le théorème central limite dès que Z est de carré intégrable. Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Methodes de Monte-Carlo 2018/2019 6 / 36 Intégration unidimensionnelle : Si cette primitive de g(x) n’est connue, l’intégrale ne peut pas être calculée analytiquement. Mais si g(x) peut être facilement calculée en tout point de l’intervalle [a, b], on peut obtenir une bonne approximation de la valeur de cette intégrale par des méthodes numériques. Il existe de nombreuses méthodes d’intégration numérique. La plus simple consiste à diviser l’intervalle [a, b] par n rectangles adjacents. La hauteur de chaque rectangle est égale à la valeur de g(x) pour x pris au milieu de la base du rectangle. La somme des aires de ces rectangles est une approximation de l’aire sous la courbe représentant g(x), Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Methodes de Monte-Carlo 2018/2019 7 / 36 Intégration unidimensionnelle : c’est-à-dire l’intégrale I recherchée : I ≃ n X i=1 hg(xi) = h n X i=1 g(xi) = b −a n n X i=1 g(xi). Si g(x) a un comportement suffisamment régulier, et si les rectangles sont suffisamment étroits, alors l’aire ainsi calculée sera une bonne approximation de la valeur de l’intégrale. Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Methodes de Monte-Carlo 2018/2019 8 / 36 Intégration unidimensionnelle : Proposition 1 : On écrit : I = Z b a g(x) fX(x)fX(x)dx = E  g(X) fX(X)  où X est une v.a. de densité fX et on note que g(X) fX(X) = Z est bien définie car fX(X) ̸= 0 presque sûrement. Par ailleurs Z est dans L1(a, b), donc, d’après la loi forte des grands nombres : ˆ In = 1 n n X i=1 g(Xi) fX(Xi) p.s. − →I, quand n →∞ ˆ In est un estimateur sans biais de I si les Xi sont indépendantes de densité fX. où les Xi sont n réalisations de la v.a. X ayant fX pour densité de probabilité. Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Methodes de Monte-Carlo 2018/2019 9 / 36 Intégration unidimensionnelle : Il convient, cependant, de noter que dans les applications, on dispose rarement d’un échantillon de n réalisations de la v.a. X. À la place et par application des méthodes de génération de v.a. présentées dans les séances antérieures, on peut disposer de n valeurs simulés de X. Ces valeurs peuvent alors remplacer les vraies réalisations dans la formule d’approximation. L’erreur commise par ce remplacement ne devrait être à priori importante surtout lorsque le générateur utilisé est de bonne qualité. Ainsi, en pratique, on cherhce à approximer I par ˆ In = 1 n Pn i=1 g(Xi) fX(Xi) où les Xi sont n valeurs simulées d’une v.a. X ayant fX pour densité de probabilité. La quantité ˆ In est appelée l’approximation de I par la méthode de Monte-Carlo. Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Methodes de Monte-Carlo 2018/2019 10 / 36 Intégration unidimensionnelle : CALCUL PRATIQUE : On peut calculer l’approximation de Monte-Carlo en utilisant l’algorithme suivant : • Générer (en utilisant un générateur de bonne qualité) n nombres aléatoires (valeurs simulées d’une v.a. suivant la loi uniforme continue sur [0, 1]) : U1, U2, · · · , Un • Choisir une densité fX définie sur le support ∆(et facile à simuler par exemple par la méthode d’inversion) pour simuler à partir des Ui n valeurs d’une variable X : X1, X2, · · · , Xn. • Déterminer les quantités : g(X1) fX(X1), · · · , g(Xn) fX(Xn) • Calculer la moyenne arithmétique de ces quantités donnant ˆ In. Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Methodes de Monte-Carlo 2018/2019 11 / 36 Intégration unidimensionnelle : Remarque : L’approximation Monte-Carlo n’est pas unique. En effet, on peut aussi écrire I = E  g(X) f∗ X(X)  et f∗ X une autre densité de probabilité ayant pour support ∆et donc ˆ I∗ n = 1 n Pn i=1 g(Xi) f∗ X(Xi) définit une autre approximation Monte-Carlo de I. En fait, il y a autant d’approximations que de densités de probabilité sur le support ∆. En pratique, on choisit la densité la plus facile à simuler. Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Methodes de Monte-Carlo 2018/2019 12 / 36 Intégration unidimensionnelle : Exemple : Soit à approximer par la méthode de Monte-Carlo l’intégrale suivante : I = Z 2 0 e−x2dx Il convient au préalable d’écrire I comme une espérance mathématique en se donnant une densité de probabilité f sur [0, 2] facile à simuler. On choisit pour cet exemlpe la densité de la loi uniforme continue sur [0, 2] qui est la plus simple, soit : f(x) = 1 2I[0,2]. D’où, on déduit directement : I = Z 2 0 2e−x2 1 2dx Soit, I = E  2e−X2 où X ∼U(0, 2) et donc ˆ In = 1 n n X i=1 2e−X2 i Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Methodes de Monte-Carlo 2018/2019 13 / 36 Intégration unidimensionnelle : Exemple : les Xi étant des valeurs simulées de X ∼U(0, 2), ˆ In définit l’approximation de I par la méthode de Monte-Carlo. En conséquence pour trouver cette approximation, on peut procéder comme suit (n étant donnée) : • Générer n valeurs indépendantes U1, U2, · · · , Un ∼U(0, 1) • Calculer X1, X2, · · · , Xn par la méthode d’inversion, soit uploads/Geographie/ methode-monte-carlo.pdf

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