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INSTITUT POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE METHODES, ANALYSE ET CALCULS NUMERIQUES Eric

INSTITUT POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE METHODES, ANALYSE ET CALCULS NUMERIQUES Eric Goncalvès - septembre 2005 cel-00556967, version 1 - 18 Jan 2011 cel-00556967, version 1 - 18 Jan 2011 i Table des matières I MODELISATION, DISCRETISATION ET SIMULATION NUMERIQUE 1 I.1 Qu'est-ce qu'un modèle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Pourquoi faut-il modéliser ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.3 Quels sont les diérents modèles ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.4 De la modélisation à la simulation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.5 Aspect ni des ordinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.5.1 Représentation des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.5.2 Représentation des réels ou nombres ottants . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.6 Notion de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.6.1 Stabilité d'un problème physique : système chaotique . . . . . . . . . . . . 3 I.6.2 Stabilité d'un problème mathématique : sensibilité . . . . . . . . . . . . . 3 I.6.3 Stabilité d'une méthode numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.7 Un peu d'histoire... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.7.1 Avant les ordinateurs : les calculateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.7.2 Les ordinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.7.3 Petite chronologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II DISCRETISATION DES EDP 9 II.1 LES TROIS GRANDES FAMILLES DE METHODES . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.2 LES DIFFERENCES FINIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.2.1 Principe - ordre de précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.2.2 Notation indicielle - cas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.2.3 Schéma d'ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.2.4 Dérivée d'ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.2.5 Généralisation de la notation indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.2.6 Quelques schémas en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.2.7 Dérivées croisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.2.8 Exemple simple 1D avec conditions de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 13 II.2.9 Exemple simple 1D avec conditions mixtes Dirichlet-Neumann . . . . . . . 14 II.2.10 Discrétisation de l'équation de la chaleur 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 II.2.10.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 II.2.10.2 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 II.2.11 Discrétisation de l'équation de la chaleur 2D stationnaire . . . . . . . . . . 17 cel-00556967, version 1 - 18 Jan 2011 ii Table des matières II.3 LES VOLUMES FINIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 II.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 II.3.2 Volumes Finis pour une loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 II.3.2.1 Cas monodimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 II.3.2.2 Cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 II.3.3 Exemple simple 1D avec conditions de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 24 II.3.4 Exemple simple 1D avec conditions mixtes Dirichlet-Neumann . . . . . . . 27 II.3.5 Discrétisation de l'équation de la chaleur 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II.3.6 Discrétisation de l'équation de la chaleur 2D stationnaire . . . . . . . . . . 29 II.4 LES ELEMENTS FINIS EN 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.4.2 Exemple simple 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.4.2.1 Choix des fonctions φi : les éléments nis . . . . . . . . . . . . . 33 II.4.2.2 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 II.5 APPLICATION NUMERIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 II.6 CONSISTANCE, CONVERGENCE ET STABILITE . . . . . . . . . . . . . . . . 37 IIICLASSIFICATION DES EDP D'ORDRE 2 39 III.1 CLASSIFICATION DES EDP LINEAIRES D'ORDRE 2 . . . . . . . . . . . . . 39 III.2 EQUATIONS ELLIPTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 III.3 EQUATIONS PARABOLIQUES . . . . uploads/Geographie/ methodesnumeriques-ericgoncalves.pdf