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Septembre 2011 La Géométrie d'une image LAURE CHANDELIER DÉPARTEMENT IMAGERIE A

Septembre 2011 La Géométrie d'une image LAURE CHANDELIER DÉPARTEMENT IMAGERIE AÉRIENNE ET SPATIALE ÉCOLE NATIONALE DES SCIENCES GÉOGRAPHIQUE CE COURS REPREND DE NOMBREUX ÉLÉMENTS DES SUPPORTS RÉDIGÉS PAR YVES EGELS [1] ET RAPHAËLE HÉNO [2] 20 décembre 2011 Table des matières I - Définition et contexte 5 II - I. Ecriture mathématique de la perspective conique 7 A. I.A. Rappels sur la perspective conique............................................................7 B. I.B. Ecriture vectorielle..................................................................................8 C. I.C. Ecriture matricielle..................................................................................8 D. I.D. Ecriture cartésienne..............................................................................10 E. I.E. Bilan....................................................................................................10 III - II. Corrections à apporter au modèle de la perspective conique 13 A. II.A. Corrections dues à l'environnement........................................................14 1. II.A.1 La correction de courbure de terre............................................................................14 2. II.A.2 La réfraction atmosphérique....................................................................................16 3. II.A.3 Le passage du hublot..............................................................................................19 4. II.A.4 Réfraction lors de l'entrée dans l'avion......................................................................19 5. II.A.5 Bilan des réfractions du sol à l'avion.........................................................................20 B. II.B. Corrections dues à l'appareil photographique...........................................22 1. II.B.1 La distorsion..........................................................................................................22 2. II.B.2 La déformation du film (cas des caméras argentiques)................................................27 IV - III Bilan : la formule d'image 33 A. III. Bilan : La formule d'image......................................................................33 V - Annexe - Les Rotations 35 A. I. Préalable : propriétés vérifiées par une matrice de rotation...........................35 B. II. Ecriture de R par les angles de Cardan......................................................35 C. III. Ecriture de R sous forme exponentielle.....................................................37 1. III.A. Notion d'axiateur....................................................................................................37 2. III.B. Définition de R par un exponentielle..........................................................................37 3. III.C. Autres écritures......................................................................................................39 D. IV. Quaternions..........................................................................................41 1. IV.A. Généralités.............................................................................................................41 2. IV.B. Rotation.................................................................................................................42 3 Références 43 Définition et contexte 4 I - Définition et contexte I Définition La photogrammétrie analytique est une « technique qui, à partir de photographies et en utilisant une modélisation mathématique de la géométrie de prise de vue, donne une représentation tridimensionnelle du phénomène étudié » (d'après [3]). Cette définition classique de la photogrammétrie analytique est tout d'abord l'écho d'une évolution du matériel photogrammétrique. Mais par extension, un cours de photogrammétrie analytique porte en général sur l'étude de la modélisation mathématique de la géométrie de prise de vue par opposition à la photogrammétrie analogique qui reproduit par des procédés optico-mécanique les conditions de prise de vue. De même qu'un cours de topométrie a pour objectif de connaître les principes théoriques, le fonctionnement et les usages d'instruments de mesure tels que les tachéomètres, le but d'un cours de photogrammétrie analytique est d'étudier l'image prise en tant qu'instrument de mesure géométrique. Cette connaissance est primordiale car la qualité géométrique des produits de la photogrammétrie (modèles 3D, orthoimages) en dépend. Faire cette étude nécessite notamment de définir le lien entre l'espace et l'image et de répondre à la question : comment un objet est transformé en une image ? Autrement dit, il faut connaître la fonction qui associe à un point M de l'espace son image m, c'est la formule d'image, notée f : R 3→R 2 f : M →m Nous verrons que cela implique, entre autres, de déterminer le « géoréférencement » de la caméra au moment de la prise de vue, c'est-à-dire, sa position et son orientation. Les différentes méthodes de géoréférencement d'images sont exposées dans le cours du même nom. A priori, les images considérées peuvent être de différents types : photographie aérienne, photographie terrestre, image à balayage (spatial, aérien), image radar, laser, autres (acoustique, radiographie)... C'est pourquoi on devrait parler d'iconométrie plutôt que de photogrammétrie. Dans ce cours, nous traiterons uniquement le cas des images aériennes et terrestres de perspective conique et préciserons, lorsque cela s'avérera nécessaire, si notre propos concerne plus spécifiquement l'un ou l'autre cas. Pour l'étude des autres types d'images, il faut se reporter aux cours dédiés. 5 II - I. Ecriture mathématique de la perspective conique II I.A. Rappels sur la perspective conique 7 I.B. Ecriture vectorielle 8 I.C. Ecriture matricielle 8 I.D. Ecriture cartésienne 10 I.E. Bilan 10 A. I.A. Rappels sur la perspective conique Lors de l'étude de la prise de vues photogrammétriques (voir le cours spécifique), nous avons vu qu'un appareil photographique classique se modélise en 1ère approximation par la perspective conique (ou centrale). Figure 1 - Représentation de la perspective conique, plans positif et négatif  S est le centre de la perspective, c'est le centre optique de la caméra nommé aussi sommet de prise de vue en photogrammétrie.  P est le plan de projection (ou plan du cliché) 7  M est un point du terrain, m est l'image de M  (SM) est le rayon ou faisceau perspectif La perspective est entièrement définie par la position relative du sommet S et du plan P : Définition La perspective m d'un point M de l'espace est l'intersection de la droite (SM) avec le plan P du cliché. B. I.B. Ecriture vectorielle Soit ⃗ k le vecteur unitaire orthogonal au plan P et o un point de P La propriété précédente se traduit vectoriellement : Où λ , réel, peut être vu comme l'échelle (« locale ») de l'image. C. I.C. Ecriture matricielle On nomme PPA, la projection orthogonale du centre optique de la caméra sur P : c'est le point principal d'autocollimation. La distance entre le PPA et le centre optique est la distance principale notée p. Elle est égale à la focale f lorsque la mise au point est faite à l'infini. On définit deux systèmes de coordonnées :  (O,X,Y,Z) un système terrain  (o,x,y,z) un système image tel que le plan (o,x,y) soit confondu avec le plan du cliché P I. Ecriture mathématique de la perspective conique 8 Figure 2 - Traduction vectorielle de la perspective conique Enfin, on utilise les écritures matricielles suivantes :  M et S sont les vecteurs colonnes des coordonnées de M et de S dans le système terrain ;  m et F sont les vecteurs colonnes des coordonnées de m et de S dans le système image ;  R la matrice de rotation du système terrain au système image ;  k est le vecteur colonne correspondant aux coordonnées de ⃗ k dans le système image. L'écriture vectorielle de la perspective conique se traduit matriciellement par le système à 2 équations suivant (écrit dans le système image) : En multipliant, la 1ère ligne par tk, on extrait λ D'où : Il s'agit bien une fonction du type : R 3→R 2 f : M →m Les paramètres de l'équation sont :  F, sommet de la prise de vue exprimé dans le système image : 3 paramètres liés à la caméra ;  S, sommet de la prise de vue exprimé dans le système terrain : 3 paramètres liés à la position de la caméra dans l'espace ;  R, matrice de rotation du système terrain au système image : 3 paramètres liés à l'orientation de la caméra (ou de l'axe optique) dans l'espace terrain. Par conséquent, l'équation de colinéarité est également appelée « Equation aux 9 I. Ecriture mathématique de la perspective conique 9 Figure 3 - Notations relatives aux systèmes de coordonnées de la perspective conique paramètres ». S et R correspondent au géoréférencement de l'image, position et orientation de l'image dans l'espace, qui changent pour chaque cliché. F est fixe sous certaines conditions (même caméra et mêmes paramètres d'acquisition). D. I.D. Ecriture cartésienne On développe tout simplement l'équation précédente en posant : F s'écrit ainsi car on rappelle que le PPA est la projection orthogonale du centre optique sur le plan du cliché et p est la distance principale. Développons l'équation de la perspective : En regroupant les termes selon les variables XM, YM et ZM et divisant par le terme constant du dénominateur on a : C'est une homographie de ℜ 3 dans ℜ 2 Les formules de passage des 9 paramètres physiques aux 11 paramètres de l'homographie sont donc : Le passage des 11 paramètres aux 9 paramètres physiques se fait par les formules décrites dans le cours [4]. E. I.E. Bilan Les deux écritures de la formule d'image ont chacune leur intérêt et leur usage : I. Ecriture mathématique de la perspective conique 10 Cette partie a permis de définir mathématiquement le lien entre objet et image dans le cas de la perspective conique. Ce lien utilise une matrice rotation et nous invitons le lecteur à consulter l'annexe 1 qui rappelle les moyens d'expression de ces matrices particulières (l'écriture sous forme de matrice 3x3 de rii n'exprime bien entendu pas le fait que l'on est en présence d'une rotation) I. Ecriture mathématique de la perspective conique 11 multipliant de chaque côté par le dénominateur) • utilise des paramètres qui n'ont pas de signification signification physique physique et la résolution de l'équation peut, par conséquent, conduire à des solutions incorrectes linéaire et sa linéarisation est délicate L'équation aux 9 paramètres : L'équation aux 11 paramètres : • est rigoureuse • est simple, "quasiment" linéaire (en • contient des paramètres qui ont une • mais est plus complexe à utiliser, non (R n'est pas forcément orthonormée) III - II. Corrections à apporter au modèle de la perspective conique III II.A. Corrections dues à l'environnement 14 II.B. Corrections dues à l'appareil photographique 22 L'écriture mathématique de la perspective est finalement assez uploads/Geographie/ photogrammetrie-geometrie-d-x27-une-image-chandelier-ign-ensg.pdf