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Plan de la matière : CHAPITRE 1 : l’analyse combinatoire A : les permutations B

Plan de la matière : CHAPITRE 1 : l’analyse combinatoire A : les permutations B : les arrangements C : les combinaisons Les mots à retenir : la répétition et l’ordre CHAPITRE 2 : la théorie des ensembles A : le langage ensembliste B : axiomatique C : la probabilité conditionnelle CHAPITRE 3 : la variable aléatoire à une dimension A : E(x) l’espérance de x B : V(n) variance de n C : l’écart type Les mots à retenir : la variable aléatoire discrète et continue CHAPITRE 4 : la loi des probabilités a) la loi de probabilité discrète b) la loi de Berneuil A c) la loi binomial d) la loi de poissons e) la loi hypergéométrique a) la loi de probabilité continue B b) la loi normal CHAPITRE 5 : la variable aléatoire à dimension INTRODUCTION GENERALE : Le calcul des probabilités est une théorie : mathématique fonde axiomatiquement qui permet de modélises des phénomènes aléatoire ou bien non déterministe. De tels sont bien phénomène représentée par les jeux de hasard dont l’étude à initier le calcul de probabilité. Considèrent le cas du jeu “jet d’un dé“ : lorsqu’on jette un dé on est certain qu’il va tomber sur la table (phénomène déterministe) mais on n’est pas capable de (prédire) la valeur qu’on va obtenir (phénomène aléatoire), c’est avant la réalisation de l’évènement. -Expérience aléatoire : on s’intéresse ici au seul expérience dans le résultat n’est pas prévisible. Une expérience aléatoire est appelé aussi une épreuve. - l’ensemble fondamentale : pour une expérience aléatoire donné, l’ensemble des résultats possible est appelé l’ensemble fondamentale, que nous allons noter toute au long de ce cours Omega(Ω). Chaque résultat d’expérience aléatoire est un point qui appartient à Omega(Ω). EXEMPLE : trouver (Ω) pour l’expérience aléatoire suivante. 1) On lance deux pièces de monnaies 2) On lance trois pièces de monnaies Corrigées : 1) Ω : {PP, FF, FP, PF} Ω : 4 2) Ω : {PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF} Ω : 8 -L’évènement : un évènement A est un sous-ensemble de Ω c’est-à-dire une partie de Ω. L’évènement petit « a » constitué par un seul point de Ω donc dont le résultat possible de Ω est appeler l’évènement élémentaire. L’ensemble vide : ne contient aucune des résultats possible, il est appelé l’évènement impossible. L’ensemble (Ω) : contient tous les résultats possible, c’est l’évènement certain EXEMPLE : Soit l’ensemble (Ω) représentée par le jet d’un dé, donner l’évènement A : {chiffres paires} {2, 4, 8}, l’évènement B {chiffres premiers} (soit diviser par 1 ou par lui-même) {1, 2, 3, 5} CHAPITRE 1 : L’analyse combinatoire Ella a pour but de dénombrer (compter) les différentes dispositions que l’on peut former à partir d’un ensemble d’élément. (Disposition = est un sous-ensemble ordonné ou nom d’un ensemble) A- les permutations a-1) les permutations sans répétition. On appel permutation de n élément de l’ensemble (Ω) toutes dispositions ordonnée de « n » élément. L’ordre est important, la répétition en (Ω) n’est pas possible. Exemple : soit (Ω) = {a, b, c} Quel sont les dispositions ordonnée qu’on peut former à partir de (Ω) * La méthode directe : (Ω) = {a, b, c} = {a, b, c} {a, c, b} {b, a, c} {b, c, a} {c, a, b} {c, b, a} = 6 *La méthode des cases : * * = 6 *La méthode de l’arbre : B C = A B C C B= A C B A A= B A C C C= B C A A A= C A B B B= C B A *La méthode de l’analyse combinatoire P ! P = n ! = 6 = 3 x 2 x 1 3 2 1 A B C a-2) Permutation avec répétition. Soit Ω = {aa , bbb , cccc} P = n ! = 9! 2!∗3!∗4 ! = 1260 P = n! n K1!∗K2! … .. Sous-ensemble de Ω : {a} B- les arrangements b-1 Arrangement sans répétition On appelle arrangement sans répétition de « P » élément parmi les « n »élément que compse l’ensemble (Ω), toute disposition ordonnée des « p » élément à partir de « Ω » EXEMPLE : soit « Ω » = {a, b, c} combien de couple peut-on former à partir de Ω P=2; N=3 AB B C AC C B BA A C BC C A CA B A CB A B Méthode des cases: * = 6 A B C 3 2 an p = n (n−p)! = 3! (3−2)! = 3! 1! =3−2 1 =3∗2 1 = 6 3A2 = 2 Exercice Soit (Ω) = {1, 2, 3, 4, 6} 1) combien de num d’immatriculation de 4 chiffres peut-on former à partir de (Ω) 2) combien de num d’immatriculation de 4 chiffres pairs peut-on former à partir de (Ω) 3) combien de num d’immatriculation de 4 chiffres impairs peut-on former à partir de (Ω) *Arrangement avec répétition an p = n p = 5 4 = 625 1) 5 x 5 x 5 x 5 = 625 2) 5 x 5 x 5 x 3 = 375 3) 5 x 5 x 5 x 2 = 250 C – les combinaisons C-1 Combinaison sans répétition On appel combinaison sans répétition de P élément pris parmi les N élément d’un ensemble (Ω), toute disposition non ordonner de P élément à partir de (Ω). La formule de l’analyse combinatoire n! p!(n−p)! Exercice : Un groupe de 40 étudiants cherchent à former un comité de 3 étudiants 1) Combien de comité possible peut-on former si uniquement 8 étudiants qui présentent - si le comité doit avoir un président, un vice-président, et un secrétaire général. Solution : (Ω) = {40} (Ω) = 8 étudiants c8 3 = 8! 3! (8−3 )! A8 3 = 8! (8−3 )! =56 = 336 Exercice Un groupe de 7 congolais et 4 maliens on veut former un comité de 6 personnes de combien de façon différentes peut-on le former : a- Au total (en général) b- Si 2 maliens doivent être dans le comité c- Si au moins 1 malien doit-on faire parti d- si au plus 4 congolais doit-on faire parti e- si au moins 2 maliens et au plus 4 congolais qui doivent former le comité Corrigé a) (Ω) = 11 6 personnes c11 6 11! 6!(11−6 )! = 462 b) exactement 2 maliens parmi le comité C4 2 . C7 4 = 4! 2(4−2)! x 7! 4!(7−4 ) ! = 210 c) C 4 1 x C7 5+c4 2 xc7 4+c4 3 x c7 5+c4 4 x c7 2 = 455 d) Au plus 4 congolais c7 2 x c4 4 0c x 6m + 1c x 5m + 2c 4m + 3c 3m + 4c 2m e) Si au moins 2 Maliens et (fois) au plus 4 congolais EXERCICE 1) Déterminer le nombre de mot de 4 lettres former avec les lettres de l’alphabet ? (26 lettres) 2) De combien de façon peut-on garer 4 voitures distincte dans un parking à 6 places ? 3) On place 10 points distincte (différent) sur un cercle de combien de façon je peux avoir des droites passant par ces deux points ? Corriger 1) P= 4 mots ; n= 26 lettres An p = n p = 26 4 = 456976 Sans répétition l’ordre n’est pas important 2) l’ordre est important sans répétition P = 4 ; n = 6 An p = 6! 4!(6−4)! = 360 3) = 360 6 5 4 3 3) CN P = 10! 2! (10−2)! = 45 1) On dispose de 8 souris ; 4 males et 4 femelle ; combien de couples peut-on former pour qu’ils se reproduisent. 2) on tire 4 boules dans un récipient contenant 10 boules de couleur différentes, déterminer le nombre de tirage possible lorsque on tire les 4 boules successivement et avec remise, on tire les 4 boules successivement et sans remise, on tire les 4 boules simultanément 3) la plaque d’immatriculation d’une voiture comporte 2 lettres distinct de F ; J et H, puis 3 chiffres entre 0 et 9, puis encore 2 lettres distinct de F ; J et H. Déterminer le nombre de plaque possible. 4) On dispose de 6 cages sans limites de capacités ; 3 chèvres discernables ce précipite dans les cages, de combien de façon peuvent-elle occupé les cages ? 5) sur une étagère ce trouve 12 livres différents, 5 Maths ; 4 physique ; 3 SVT /De combien de manière différente peut-on ranger ces livres sur l’étagère /De combien de manière différente peut-on ranger ces livres sur l’étagère on ayant les livre de math cote à cote. On appelle un ensemble toute liste ou objet bien définit explicitement ou implicitement, on appelle élément ou membre de l’ensemble, les objets appartenant à l’ensemble et on note (P appartient à A) si (P est un élément de l’ensemble A). B appartient à A, donc B est un sous ensemble de A, et on uploads/Geographie/ probabilite 4 .pdf