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Term / E.S. Chap 2 : Modèle démographique 1 Notion de modèles Modéliser c’est d

Term / E.S. Chap 2 : Modèle démographique 1 Notion de modèles Modéliser c’est déﬁnir, proposer un modèle. Ici nous nous intéressons aux modèles mathématiques. Modéliser en mathématique, cela signiﬁe "mettre en équation un problème". Il est utile de modéliser pour faciliter les calculs mais aussi pour faire des prévisions. Nous allons illustrer ce que peut être une modélisation mathématique par un exemple de croissance d’une population. 1.1 Le modèle : cuniculiculture Nous aimerions modéliser l’évolution du nombre de lapins au cours du temps dans une ferme cuniculicole. Pour cela nous allons étu- dier le nombre de lapins au ﬁl des gestations de la lapine. Nous proposons le modèle suivant : - Il y a 2 lapins, un mâle et une femelle ; - Les lapins se reproduisent tous les 3 mois, avec une portée de 6 lapereaux à chaque fois, et autant de mâles que de femelles. - Il n’y a pas de mortalité pendant la période d’étude ; - L’endogamie est une coutume très courante chez les lapins ; - Au bout de 3 mois, les lapines sont prêtes pour faire les premiers lapereaux. Pour mieux comprendre le modèle répondez au questions suivantes : 1. Au bout de 3 mois. (a) Combien y aura-t-il de lapereaux ? 6 (b) Combien y aura-t-il de lapins au total ? 2+6=8 (c) Combien y aura-t-il de femelles ? 4 2. Au bout de 6 mois. (a) Combien y aura-t-il de lapereaux ? 4 × 6 = 24 (b) Combien y aura-t-il de lapins au total ? 24 lapereaux +8 adultes =32 (c) Combien y aura-t-il de femelles ? 16 femelles 3. Au bout de 12 mois. (a) Combien y aura-t-il de lapereaux ? 384 (b) Combien y aura-t-il de lapins au total ? 512 (c) Combien y aura-t-il de femelles ? 256 4. Rencontrez vous des problèmes ? si oui lesquels ? Il faut calculer 9 mois avant de calculer 12 mois, il faut faire toutes les étapes, c’est long et fastidieux 1.1.1 Modélisation mathématique On note u(n) le nombre de lapin à la gestation n. Ainsi au départ on a u(0) = 2. Grâce aux questions précédentes, on a à la première gestation u(1) = u(0) + 6 = 8 A la deuxième gestation u(2) = u(1) + u(1) 2 × 6 = 4u(1) = 32 A la deuxième gestation u(3) = = u(2) + u(2) 2 × 6 = 128 Si maintenant on essaye de généraliser on peut dire : u(n + 1) = 4u(n) 1.1.2 Problème lié à ce modèle Rappelons que ceci est un modèle. C’est-à-dire que nous avons du faire des hypothèses pour simpliﬁer le problème et le mettre en équation. Quels sont, selon vous, les hypothèses peu crédibles ? Qu’il y ait exactement 6 lapereaux. Qu’il y ait autant de mâles que de femelles. Qu’il n’y ait pas de décès. Qu’il faut toujours 3 mois pour une portée... on peut contester presque chaque hypothèse (sauf peut être l’hypothèse de l’endogamie) Comment-peut-on améliorer le modèle. Pour remédier aux 6 naissances : reprenons le modèle u(n+1) = u(n)+ u(n) 2 ×6. On remplace 6 par une variable aléatoire, une loi de Binomiale B(10; 0, 7). On peut dire que u(n + 1) = u(n) × (1 + X 2 , où X suit B(10; 0, 7). Mais c’est beaucoup plus diﬃcile à étudier. Pour remédier à la mort, on peut simplement ajouter un taux de mortalité, par exemple 10% de mortalité entre chaque naissance : u(n + 1) = u(n) + u(n) 2 × 6 −0, 1 × u(n). On peut penser au modèle proie-prédateur cf Lokta-Volterra 2 Autres modèles Doc 2 Le renouvellement de l’eﬀectif d’une population Une population est un ensemble d’êtres humains qui se renouvelle par des mécanismes d’entrée (naissance, immigration) et de sortie (décès, émigration). L’unité de temps prise en compte est l’année. La population au 1 janvier d’une année donnée est égale à celle de l’année précédente, augmentée du nombre de naissances et d’immigrants et diminuée du nombre de décès et d’émigrants (entre ces deux 1 janvier successifs). La variation de la taille d’une population entre l’année et l’année vériﬁe l’égalité suivante : u(n + 1) −u(n) = B(n) + I(n) −D(n) −E(n) avec • u(n) l’eﬀectif à l’année n • u(n + 1) l’eﬀectif à l’année n + 1 • B(n) (pour Birth) est les naissances à l’année n • I(n) les arrivées à l’année n • D(n) (pour Death) les décès à l’année n • E(n) les départs à l’année n Question : Pour une population où il n’y aurait ni départ, ni arrivées, expliquer dans quel cas l’eﬀectif augmente et dans quel cas il décroît. Pour une population où il n’y aurait ni départs et ni arrivées, son eﬀectif croît lorsque le nombre de naissances est supérieur au nombre de décès, c’est- à-dire quand le solde naturel est positif. Son eﬀectif décroît lorsque le nombre de naissances est inférieur au nombre de décès, c’est-à-dire quand le solde naturel est négatif. Doc 3 La population japonaise et ses variations Le Japon a l’image d’un pays dont les villes sont surpeuplées. C’est la réalité de mégalopoles comme Tokyo, mais la démographie du pays est bien diﬀérente. Les autorités japonaises sont préoccupées car la péninsule nippone présente une crise démographique. 1. Calculer le nombre de naissances et le nombre de décès survenus au Ja- pon en 2017. Nb naissances au Japon en 2017 : 126, 8 × 7,6 1000 ≈0, 964 million d’habi- tants. Nb décès au Japon en 2017 : 126, 8 × 10,8 1000 ≈1, 369 million d’habitants. 2. Justiﬁer si l’aﬃrmation suivante est vraie ou fausse : "En 2017, la popu- lation japonaise à baissé malgré un solde migratoire positif. " Solde naturel sur l’année 2017 : 0, 964 −1, 369 = −0, 405 million d’habi- tants. Évolution de la population sur l’année 2017 : 126, 5 −126, 8 = −0, 3 million d’habitants. La baisse du solde naturel de 0,405 million d ?habitants est supérieure à la baisse de la population qui est de l’ordre de 0,3 million d ?habitants, donc le solde migratoire est positif. L’aﬃrmation est vraie. uploads/Geographie/ cuniculiculturecorrection.pdf