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M.Bousso https://sites.google.com/site/elimaneboussomaths Ministère de l’Éducat

M.Bousso https://sites.google.com/site/elimaneboussomaths Ministère de l’Éducation Nationale Inspection d’Académie de Kaolack Lycée Valdiodio Ndiaye Année scolaire : 2018-2019 RECUEIL D’EXERCICES DE BAC S2 - PROBABILITÉS (1990-2018) Exercice 1. 1990 - 1er groupe Une urne contient 10 boules : une porte le chiﬀre 0 ; trois boules portent le chiﬀre 1 ; six boules portant le chiﬀre 2. On extrait simultanément 3 boules de l’urne. 1. Déterminer la probabilité d’obtenir (a) au moins une boule portant le chiﬀre 2. (b) trois boules portant le même chiﬀre. 2. Soit X la variable aléatoire associée à la somme des chiﬀres portés par les boules. Déterminer (a) La loi de probabilité de X et l’espérance ma- thématique. (b) Déﬁnir et représenter la fonction de réparti- tion. Exercice 2. 1991 - 1er groupe Dans une classe de 10 élèves, 2 élèves ont triché pendant un devoir. 1. Un professeur choisit n élèves dans cette classe. Calculer la valeur minimale de n pour que la pro- babilité d’avoir au moins un tricheur parmi ces élèves soit ⩾0, 9. 2. Chacun des deux tricheurs portent le numéro 1, chaque autre élève porte le numéro 0. On choisit 3 élèves dans cette classe et soit X la variable aléa- toire égale à la somme des numéros portés par ces élèves. Déterminer 3. La loi de probabilité de X et l’espérance mathé- matique. 4. Déﬁnir et représenter la fonction de répartition. Exercice 3. 1992 - 1er groupe Un porte monnaie contient 2 pièces de 50F et n pièces de 100F. 1. Un enfant choisit une pièce au hasard et le remet dans le porte-monnaie. Quelle est la probabilité pour qu’il ait tiré 1 pièce de 100F. 2. L’enfant prend 2 pièces au hasard puis les remet. Quelle est la probabilité pour qu’il ait tiré 2 pièces de 100F. 3. L’enfant prend 4 pièces au hasard puis les remet. Quelle valeur faut il donner à n pour que la pro- babilité qu’il ait tiré exactement 300F soit 1 11. 4. On suppose que n = 10. L’enfant tire simultané- ment 4 pièces. Soit X la variable aléatoire égale à la somme tirée. Déterminer la loi de probabilité de X et l’espérance mathématique. Exercice 4. 1993 - 1er groupe Une épreuve consiste à tirer une boule d’un sac conte- nant 5 boules numérotées de 0 à 4. Soit Pn la probabilité de tirer la boule numéro n. Les réels Pn sont les termes d’une suite arithmétique de raison r = 1 20. 1. Calculer P0, P1, P2, P3 et P4 (résultats sous forme décimale). 2. X la variable aléatoire qui prend les valeurs 0, 1, 2, 3, 4 avec les probabilités P0 , P1 , P2 , P3 et P4. Calculer E(X) et σ(X). M. Bousso c ⃝2019 - TS2 1 / 16 M.Bousso https://sites.google.com/site/elimaneboussomaths 3. On procède à 5 tirages successifs avec remise d’une boule. Calculer la probabilité d’obtenir exacte- ment 3 fois une boule de numéro impair. Exercice 5. 1994 - 1er groupe Un test est composé de cinq questions aux quelles on doit répondre par « OUI » ou « NON ». Chaque réponse exacte est notée +4, chaque réponse fausse est notée −2. Un candidat répond à chacune des questions. On déﬁnit deux variables aléatoires X et Y X : le nombre de réponse exacte ; Y : : après avoir fait la somme S des 5 notes partielles, on prend le plus grand entre S et 0. Y = sup(S, 0), Y ne peut donc être < 0. 1. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. En déduire la loi de probabilité de Y . Exercice 6. 1995 - 1er groupe Un sac contient quatre jetons rouges numérotés de 1 à 4 et quatre jetons noirs numérotés de 1 à 4. 1. Un joueur tire au hasard et simultanément 2 jetons du sac. On convient de la règle suivante : - S’il tire 2 jetons numérotés 1, il gagne 600F. - S’il tire 2 jetons de même couleur, il gagne 200F. - Dans tous les autres cas, il perd 200F. Déterminer la probabilité pour qu’il tire : (a) 2 jetons de numéro 1. (b) 2 jetons de même couleur. (c) il perd 200F. 2. Après le premier tirage, le joueur remet les deux jetons dans le sac et procède à un deuxième tirage de 2 jetons, en convenant de la même règle. Soit X la variable aléatoire qui à deux tirages suc- cessifs associe « le gain » du joueur (positif ou né- gatif). (a) Déterminer la loi de probabilité de X. (b) En déduire la probabilité pour que le gain du joueur soit au moins égal à 400F. Exercice 7. 1996 - 1er groupe Un sac contient six jetons : - 2 jetons portent le numéro 1 ; - 3 jetons portent le numéro 2 ; - 1 jeton porte le numéro le numéro 3. On suppose que les jetons ont la même probabilité d’ap- parition. 1. On tire simultanément trois jetons du sac. Soit X la variable aléatoire associée à la somme des nombres portés par les jetons tirés. (a) Déterminer la loi de probabilité de X. (b) Déﬁnir et représenter la fonction de réparti- tion de X. (c) Calculer l’espérance mathématique de X. 2. On tire successivement avec remise trois jetons du sac. Soit Y la variable aléatoire associée à la somme des nombres portés par les jetons tirés. (a) Déterminer la loi de probabilité de Y. (b) Calculer l’espérance mathématique de Y. Exercice 8. 1996 - 1er groupe Une urne contient 10 boules : - une boule porte le chiﬀre 0 ; - trois boules portent le chiﬀres 1 ; - six boules portent le chiﬀres 2. On extrait simultanément trois boules. On suppose que toutes les boules ont la même chance d’être prélevées. M. Bousso c ⃝2019 - TS2 2 / 16 M.Bousso https://sites.google.com/site/elimaneboussomaths 1. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une boule portant le chiﬀre 2 ? 2. Quelle est la probabilité d’obtenir trois boules por- tant le même chiﬀre ? On désigne par X la variable aléatoire égale à la somme des chiﬀres portés par les trois tirées. 1. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer son espérance mathématique. 2. Déﬁnir et représenter la fonction de répartition de X. Exercice 9. 1996 - 1er groupe Une urne contient cinq jetons : - 3 jetons portant le numéro 1 ; - 2 jetons portant le numéro 2. On tire simultanément 2 jetons, les tirages étant suppo- sés équiprobables. Soit X la variable aléatoire égale à la somme des numé- ros portés par les jetons tirés. 1. Déterminer les valeurs prises par X. 2. Déterminer la loi de probabilité de X. 3. Calculer l’espérance mathématique E(X) et la va- riance V (X). Exercice 10. 1996 - 1er groupe Dans un jeu de 32 cartes on a quatre couleurs : pique, trèﬂe, carreau et c÷ur. Chaque " couleur " comprend 8 cartes dont un as. 1. On tire simultanément trois cartes dans un jeu de 32 cartes bien battues. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : - A : « les trois cartes sont des as » ; - B : « il y a au moins deux couleurs parmi les trois cartes » ; - C : « il n’y a pas d’as parmi les trois cartes ». 2. On tire successivement avec remise trois cartes dans un jeu de 32 cartes. Le nombre de c÷urs tirés déﬁnit une variable aléatoire X. (a) Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X. (b) Déterminer la loi de probabilité de X. (c) Calculer son espérance mathématique. Exercice 11. 1996 - 2e groupe Une agence propose des circuits touristiques permettant de visiter quatre pays d’Afrique parmi les suivants : Côte d’Ivoire, Burkina, Mali, Niger, Bénin, Togo, Guinée, Ca- meroun, Mauritanie, Sénégal. 1. Combien y a-t-il de circuits diﬀérents ? 2. Calculer la probabilité pour qu’un circuit com- mence par la Côte d’Ivoire. 3. Calculer la probabilité pour qu’un circuit passe par le Burkina. Exercice 12. 1997 - 1er groupe Une urne contient trois boules noires et 2 boules blanches. On extrait au hasard 3 boules de cette urne. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique E(X) dans chacun des cas suivants : 1. les boules sont extraites simultanément de l’urne ; 2. les boules sont extraites une à une puis remises dans l’urne après chaque tirage. Exercice 13. 1997 - 2e groupe Un aquarium contient 30 poissons : M. Bousso c ⃝2019 - TS2 3 / 16 M.Bousso https://sites.google.com/site/elimaneboussomaths - 5 carpes ; - 10 dorades ; - 15 rougets. On admet que chaque poisson a la même probabilité d’être pêché. On pêche 4 poissons au hasard de cet aqua- rium. 1. Calculer la probabilité des événements suivants : - A : « aucun des 4 poissons pêché n’est un rou- get ». - B : « au moins l’un des 4 poissons pêché est uploads/Geographie/ probabilites-au-bac-s2-sn-m-bousso-1990-2017-version-2019.pdf