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Devoir surveillé n°5 Durée : 4H Il sera tenu compte de la rédaction et de la p

Devoir surveillé n°5 Durée : 4H Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation de la copie. Exercice 1 1) Soit P le polynôme réel défini par : PXX 4 2X 3 −2X 2 2X 1. a) Factoriser PXen facteurs irréductibles dans X. On remarquera que P est symétrique et on posera : Y X  1 X . b) En déduire le signe de Pxpour tout réel x. 2) Soit f la fonction réelle définie par : fxx.exp 2x 1−x2 . a) Étudier le comportemment de f au voisinage de 1 et de −1. On étudiera les limites à gauche, à droite, prolongement par contonuité, tangentes, asymptotes, ... b) Former le développement limité de f au voisinage de 0 à l’ordre 4, et en déduire la position de la courbe de f par rapport à sa tangente en 0. c) Étudier les branches infinies de fx, quand ( |x| →). On trouvera l’asymptote et les positions par rapport à cet asymptote. 3) Calculer f ′xpour x ∈\−1,1et dresser le tableau de variations complet de f. 4) Construire soigneusement l’allure de la courbe de f. Exercice 2 Soit f la fonction réelle définie sur par : fxx  x2 1 . 1) Étudier les variations de f. (domaine de définition, dérivabilité, et tableau de variations). 2) Étudier les branches infinies de f. 3) Construire soigneusement l’allure de la courbe de f. 4) Justifier que f est une bijection de sur ∗. 5) Soit y ∈∗, en considérant 1 y , exprimer f −1y. 6) Soit g la fonction réelle définie sur par : gtsht. a) Simplifier f ∘gt. b) Retrouver le faite que f est une bijection de sur ∗. c) Que peut-on dire de l’application h définie sur par : ∀x ∈; hxlnfx? 7) Trouver la primitive de f qui s’annule en 0. Problème Pour tout entier naturel non nul n, on considère la fonction fn de la variable réelle définie sur −1,1 par : fnxsin2n.arcsinx Première partie : 1) Étudier la parité de fn ; calculer fn0et fn1. 2) Résoudre dans 0,1l’équation : fnx0. 3) a) Démontrer que fn est continue sur −1,1; dérivable sur −1,1; et calculer fn ′xpour −1 x 1. b) Étudier la limite de fnx x−1 quand x tend vers 1 par valeurs inférieures. fn est-elle dérivable à gauche en 1 ? à droite en −1 ? 4) Déterminer le développement limité de fn à l’ordre 3 au voisinage de 0. 5) Calculer : In0 1fnxdx. 6) a) Étudier f1 et tracer sa courbe représentative C1 dans le plan rapporté à un repère orthonormal O, i , j . ( unité : 4 cm ). b) Calculer, en cm2, l’aire A de l’ensemble des points du plan de coordonnées x et y vérifiant : 0 ≤x ≤1 0 ≤y ≤f1x . Deuxième partie : 1) Pour tout entier naturel non nul p et pour tout réel x de 0,1, on considère l’intégrale : Jpx0 x fpt2 1−t2 dt a) Calculer Jpxet l’exprimer en fonction de f2px. b) Déterminer, si elle existe, la limite de Jpxquand x tend vers 1 par valeurs inférieures. 2) Pour tout couple p,qd’entiers naturels non nuls, p q, et pour tout réel x de 0,1, on considère l’intégrale : Kp,qx0 x fptfqt 1−t2 dt. a) Calculer Kp,qxet l’exprimer en fonction de fpqxet fp−qx. b) Déterminer, si elle existe, la limite de Kp,qxquand x tend vers 1 par valeurs inférieures. Troisième partie : 1) En utilisant la formule de Moivre, démontrer que pour tout entier naturel non nul n, il existe un polynôme Pn à coefficients entiers relatifs tel que, pour tout réel , on ait l’égalité : sin2nsin.cos.Pnsin. 2) a) Déduire de la relation précèdente que pour tout réel x de −1,1: fnxx 1 −x2 Pnx. b) Expliciter : P1x; P2x; P3x. 3) a) Montrer que l’on peut écrire : Pnxa0 a1x2 ...apx2p. p ∈ℕ; ap ≠0  b) Déterminer en fonction de n les valeurs de p, ap , Pn0, Pn1. 4) a) Résoudre successivement dans 0,1; −1,1; , l’équation : Pnx0. b) Pour tout entier naturel n ≥2, calculer : Un  k1 n−1 sink 2n sin 2n sin2 2n ...sin n−1 2n . uploads/Geographie/ ds-5-sup.pdf