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Dynamique des fluides incompressibles parfaits E Ex xe er rc ci ic ce e N N° °7

Dynamique des fluides incompressibles parfaits E Ex xe er rc ci ic ce e N N° °7: 1 1 ENONCE La figure ci-dessous représente un piston qui se déplace sans frottement dans un cylindre de section S1 et de diamètre d1=4 cm remplit d’un fluide parfait de masse volumique ρ=1000 kg/m3. Le piston est poussé par une force F r d’intensité 62,84 Newtons à une vitesse 1 V r constante. Le fluide peut s’échapper vers l’extérieur par un cylindre de section S2 et de diamètre d2 = 1 cm à une vitesse 2 V r et une pression P2= Patm =1 bar. Travail demandé: 2 v r F r S1 S2 P1 Patm Patm 1 v r Z r 1: Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Page: 1 Dynamique des fluides incompressibles parfaits 1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au piston, déterminer la pression P1 du fluide au niveau de la section S1 en fonction de F, Patm et d1. 2) Ecrire l’équation de continuité et déterminer l’expression de la vitesse V1 en fonction de V2. 3) En appliquant l’équation de Bernoulli, déterminer la vitesse d’écoulement V2 en fonction de P1, Patm et ρ. (On suppose que les cylindres sont dans une position horizontale (Z1=Z2)) 4) En déduire le débit volumique Qv. 2 2 REPONSE 1) PFD: 1 1 1 . . S P S P F atm = + ⇒ atm P d F P + = 2 1 1 . . 4 π A.N. bar P 5 , 1 10 04 , 0 . 84 , 62 . 4 5 2 1 = + − = π 2) Equation de continuité: 2 2 1 1 .S V S V = ⇒ 2 1 2 2 1 2 2 1 . . ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = d d V S S V V ⇒ 2 2 1 . 4 1 V V ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⇒ 2 1 . 16 1 V V = 3) Equation de Bernoulli : ( ) 0 2 1 2 1 2 2 1 2 2 = − + − + − Z Z g P P V V ρ or Z1=Z2 et P2=Patm et 2 1 . 16 1 V V = donc ρ ) ( . 255 512 1 2 atm P P V − = A.N. s m V / 10 1000 ) 10 10 . 5 , 1 ( . 255 512 5 5 2 = − = 4) 2 2 2 . 4 . V d Qv π = A.N. s m Qv / 10 . 785 , 0 10 . 4 01 , 0 . 3 3 2 − = = π E Ex xe er rc ci ic ce e N N° °8: 1 1 ENONCE 2: Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Page: 2 Dynamique des fluides incompressibles parfaits La figure suivante représente une buse connectée à un tuyau dans lequel est acheminée de l’eau à une pression P1=2,875 bar. Le fluide subit un étranglement : sa section S1 de diamètre d1=20 mm est réduite à une section de sortie S2 de diamètre d2=10 mm. On suppose que le fluide est parfait et la buse est dans une position horizontale. On donne la masse volumique de l’eau 3 / 1000 m kg = ρ et la pression de sortie P2=Patm=1 bar. 1) Déterminer le rapport 1 2 V V . 2) En appliquant l’équation de Bernoulli, calculer la vitesse d’écoulement V2. 2 2 REPONSE 1) Equation de continuité : 2 2 1 1 . . S V S V = donc 4 2 2 1 2 1 1 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = d d S S V V 2) Equation de Bernoulli : 0 ) .( 2 1 2 1 2 2 1 2 2 = − + − + − Z Z g P P V V ρ Or Z1=Z2 et 4 2 1 V V = Donc ρ 1 2 2 . 15 32 P P V − = A.N. s m V / 20 1000 10 10 . 875 , 2 . 15 32 5 5 2 = − = E Ex xe er rc ci ic ce e N N° °9: 1 1 ENONCE De l’huile est accélérée à travers une buse en forme de cône convergent. Ød2 Ød1 P1 P2 (S1) (S2) 1 V r 2 V r (eau) 3: Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Page: 3 Dynamique des fluides incompressibles parfaits La buse est équipée d’un manomètre en U qui contient du mercure. Partie 1 : Etude de la buse Un débit volumique qv= 0,4 L/s, l’huile traverse la section S1 de diamètre d1= 10 mm à une vitesse d’écoulement V1 , à une pression P1 et sort vers l’atmosphère par la section S2 de diamètre d2 à une vitesse d’écoulement V2=4.V1 et une pression P2=Patm=1 bar. On suppose que : - le fluide est parfait, - la buse est maintenue horizontale (Z1=Z2). On donne la masse volumique de l’huile : ρhuile = 800 kg/m3. 1) Calculer la vitesse d’écoulement V1. 2) Ecrire l’équation de continuité. En déduire le diamètre d2. 3) En appliquant le Théorème de Bernoulli entre le point (1) et le point (2) déterminer la pression P1 en bar. Partie 2 : Etude du manomètre (tube en U). Le manomètre, tube en U, contient du mercure de masse volumique ρmercure=13600 Z S1 S2 V1 V2 Z1=Z2 (1) (2) (3) (4) Z4 Z3 L h mercure huile buse Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Page:4 kg/m3. Il permet de mesurer la pression P1 à partir d’une lecture de la dénivellation : h = (Z4-Z3). Dynamique des fluides incompressibles parfaits On donne :- (Z1-Z3)= L= 1274 mm. - l’accélération de la pesanteur : g = 9,81 m/s2. - la pression P4 = Patm= 1 bar, 1) En appliquant la RFH (Relation Fondamentale de l’hydrostatique) entre les points (1) et (3), déterminer la pression P3. 2) De même, en appliquant la RFH entre les points (3) et (4), déterminer la dénivellation h du mercure. 2 2 REPONSE Partie 1 : Etude de la buse 1) Vitesse d’écoulement : 2 1 1 . . 4 d q V v π = A.N. s m V / 5 01 , 0 . 10 . 4 , 0 . 4 2 3 1 = = − π 2) Equation de continuité : 2 2 1 1 . . S V S V = ⇒ 1 2 1 2 .d V V d = A.N. mm d 5 10 . 20 5 2 = = 3) Equation de Bernoulli : ( ) 0 2 1 2 1 2 2 1 2 2 = − + − + − Z Z g P P V V huile ρ or Z1=Z2 et P2=Patm Donc ( ) 2 1 2 2 2 1 . . 2 1 V V P P huile − + = ρ A.N. ( ) bar pascal P 5 , 2 10 . 5 , 2 5 20 . 800 . 2 1 10 5 2 1 2 5 1 = = − + = Partie 2 : Etude du manomètre (tube en U) 1) RFH entre (1) et (3) : ( ) 3 1 1 3 . . Z Z g P P huile − = − ρ L g P P huile . . 1 3 ρ + = A.N. bar pascal P 6 , 2 10 . 6 , 2 274 , 1 . 81 , 9 . 800 10 . 5 , 2 5 5 3 = = + = 2) RFH entre (3) et (4) : ( ) 3 4 4 3 . . Z Z g P P mercure − = − ρ or (Z4-Z3)=h Donc g P P h mercure. 4 3 ρ − = A.N. m h 2 , 1 81 , 9 . 13600 10 . 1 10 . 6 , 2 5 5 = − = E Ex xe er rc ci ic ce e N N° °1 : 1 1 ENONCE On considère une conduite de diamètre intérieur d = 40 mm dans laquelle s’écoule de l’eau à une vitesse V . 4: Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Page: 5 Dynamique des fluides incompressibles parfaits Afin de mesurer le débit volumique, la canalisation a été équipée de deux tubes plongeant dans le liquide, l'un débouchant en A face au courant et l'autre en B est le long des lignes de courant, En mesurant la dénivellation h du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse v On admet les hypothèses suivantes : - L’écoulement est permanent. - Le fluide est parfait et incompressible. - Au point B, le liquide a la même vitesse V que dans la canalisation (VB=V). - Au uploads/Geographie/ serie02-corr.pdf