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Méthode quanti : révisions Rappel mathématique : Log(xy) = log(x) + log(y) Log(

Méthode quanti : révisions Rappel mathématique : Log(xy) = log(x) + log(y) Log(x/y) = Log(x) - log(y) Log(x^y) = y log(x) Log2(4) = 2 puissance x = 4 0! =1 N! = n * (n-1)(n-2)… 3 X 2 X 1 Coefficient binomiale : = nombre de combinaison k parmi n objet (p.ex. 10 familles comportant 5 enfants dont 3 filles) Ensemble : A∩B = intersection (A et B) A∪B = union (A ou B) A\B = différence (A mais pas B) A∆B = différence symétrique (A ou bien B mais pas les deux) univers Ω : ensemble contenant tous les éléments pertinents A^c = A¯ := {x|x ∈/ A} = Ω \ A A ⊂ B ssi A ∪ B = B ssi A ∩ B = A Partition = ensemble d’élément exclusif (Aj ∩ Ak = ∅) Probabilité : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) P(A¯) = 1 − P(A) Deux événements sont indépendants ssi P(A ∩ B) = P(A)P(B) Proba conditionnel : et --> P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A¯)P(A¯) --> P(B|A¯) = 1 − P(B¯|A¯) Données : Échelle de quotient --> 0 reste le même, valeurs multipliées par une constance c Echelle d’intervalle --> transformation linéaire = ax+b Échelle relative --> y = X + a Echelle absolue --> pas de transformation Echelles non linéaires --> ex log (décibel) si f (x) est convexe, alors y¯ ≥ f (¯x) si f (x) est concave, alors y¯ ≤ f (¯x) Variable catégorielle = exclusive et exhaustive Variable bimodale définit par 1 si i ∈ A, 0 sinon --> variable indicatrice associé devient quantitative Variable ordinale –> < ou >, peut être transformer en score numérique et être traité comme tel Variable ouverte --> question ouvert dans un questionnaire Visualisation : L’histogramme consiste de rectangles dont les bases, en abscisse, sont les classes, et les hauteurs, en ordonnée, sont données. Polygone de fréquence = ligne obtenue en reliant le milieu du sommet de chaque rectangle Barplot : ressemble à l’histogramme, mais les valeurs sont mise en proportion du mode (classe avec le plus grand effectif) Fonction de répartition : escalier croissant montant de r/n hauteur de marche pour tout nouveau score ( en %), lors de données en intervalle, on tire un ligne en reliant les diagonales inférieures Données regroupées en classe : on estime que les scores sont uniformément répartis --> on trace la fonction de répartition F en empilant les classes puis en traçant une courbe passant par les diagonales croissantes Boxplot : trait du milieu = médiane, extrémité des resctange avec 0,25 et 0,75 quartile, moustache =0,10 centile et 0.90 centile (ou 0.01 et 0.99 selon les logiciels), au-delà on fait des ronds pour représenter les valeurs extrêmes Diagramme de dispersion : met en relation deux variable, montre visuellement si celles-ci tendent à être liées Indicateurs : X barre = moyenne = 1/n X somme de i=1-->n de Xi Mode (dans le cas de données groupées)= milieu de la classe la plus peuplé Variance : Ecart type : Intervalle interquartile : x0.75 − x0.25, ou semi-interquartile = /2 Var(x standardiser) = 1 cov(x^s , y^s ) = corr(x^s , y^s ) = corr(x, y). Empan (range) : Xmax-Xmin Moyenne pondérée : on multiplie par le poids de la valeur Fonction de répartition pondérée : on monte de f(x) hauteur d’escalier Center un score = lui soustraire la moyenne Réduire un score : le divisé par l’écart type Standardiser un score : centrer puis réduire, noté xs Transformation linéaire : Table de contingence J = ligne K = colonne Marge en ligne =nj point =nj1 +nj2 +…+njm2 Marge en colonne =n point k = n1k + n2k+…+nm1k Lien entre 2 variables et X et Y sont non-liés ssi =n théo de jk Chi2 : ou et phi2 = chi2/n Valeur max du chi2 = n × min(m1 − 1, m2 − 1) --> veut dire minimum entre le nombre de ligne – 1 et le nombre de colonne -1 Quotient d’indépendance : n jk / n théo de jk --> marge en ligne ou en colonne de quotient d’indépendance = 1 Covariance : et donc --> positive s’il existe une liaison positive et négative dans le cas contraire. Dépendante du système d’unité choisi Corrélation r : ne dépend pas du système d’unité ≠ pourcentage ! et On a donc : corr(ax, by) = corr(x, y) var(x^s ) = 1, var(y^s ) = 1. Egalement, cov(x^s , y^s ) = corr(x^s , y^s ) = corr(x, y) La corrélation entre deux variables est la covariance des deux variables standardisées Lors d’une liaison non-linéaire la corrélation ne donnera pas une bonne idée de la liaison x et y non liés =⇒ corr(x, y) = 0 corr(x, y) = ±1 =⇒ y = ax + b x et y non liés ⇐⇒ chi2 = 0 Variance intergroupe : Variance intragroupe : Dans un diagramme de dispersion, f(x) donne une droite représentant l’aspect général du nuage de point et e donne l’aspect aléatoire F ratio : avec varB =variance intergroupe et varW variance intragroupe Y*= valeurs prédites moindre carré : résidu e (y-y*) aussi petit que possible  Avec et Variance totale = variance expliquée + variance résiduelle Si la variance résiduelle = 0 --> tous les points sont ajusté sur la courbe de régression var(e) = (1 − r carré ) var(y) et donc r carré (r^2) = variance expliquée/variance totale Valeur prédite par régression linéaire : Y*=ax+b où et Cov(x;y) et corr(x;y) sont indépendants d’un multiplicateur mais la prévision de y en fonction de x ≠ la prévision de x en fonction de y Modèles Distribution de probabilité discrète = Espérance = moyenne théorique  (nombre entier), écrit µ. E(X) = np Distribution de probabilité continue = P(X ∈ [a, b]  = Variance théorique : Var(X) = E(X2)- E2(X) = σ2. Var(X) = np(1-p)  Cas discret :  Cas continu : X centré : Xc = X− µ X réduit : Xr = X standardisé : Xs= Coefficient de variation :  théorique :  empirique Et CV(X)/100 * E(X) = σ Distribution bivariée  continue = Donc Et  discret = Donc et Indépendance : cas continus  fX(X)fY(Y) = fXY(X,Y) Cas discret  pjpk = pjk Covariance théorique :  cas continu :  cas discret : , X et Y indépendant  Corr =0 (pas l’inverse). Est affecté par les changements d’échelles (mais pas d’origine). Corrélation théorique : écrit ρXY = , pas affecté par des changements d’échelle ou d’origine Lois discrètes Loi binomiale B(n, p) (deux résultats possible, p.ex pile-sface) : où n= nombre d’essai et k = nombre de réalisation de la condition. Loi multinomiale M(p) (généralisation de la loi binomiale, p. ex proba élèves nationalité unil) : Loi de poisson P(λ) = probabilité faible mais beaucoup d’essai  ne dépend que de λ ( si λ inconnu, on peut prendre la variable empirique ou la Var(X) = Loi uniforme U(a,b)  densité de proba constante à l’intérieur de l’intervalle {a, b} et nulle en dehors, dans ce cas et Loi normale : Si X ∼ N (µ, σ2 ), ce qui veut dire que X suit une loi normal de moyenne µ et une variance σ2, alors Xs ∼ N(0,1) et Règles de calcul avec la loi normale : et si P(Xs>u), alors on fait 1 – P(XS<u) Distribution de Dirac : cas particulier de la loi normal complètement déterministe  densité de proba = 1 Dans le cas de variables indépendantes et identiquement réparties la « somme » Sn = Et la moyenne , alors Dans la limite n tend vers l’infini, la moyenne empirique tend vers la moyenne théorique. Théorème central limite : tout moyenne d’un nombre suffisant de variable indépendantes et identiquement réparties (de variance fini) suit une loi normale. Somme Gausienne i.i.d. : la somme X1+X2…+Xq suit également une loi normal de moyenne µ = µ1 + µ2 + ... + µq et de variance σ2 = σ2 1 + σ2 2 + ... + σ2 q . Distributions du X2 : p variables standardisées, alors la distribution de la somme des carrées Y = X1 2 + X2 2 + … + Xq 2 à q degrés de liberté  E(Y) = q et Var(Y) = 2q Degré de liberté : dans le cas d’un distribution continue est un indice entier, noté q =1,2,3… lien avec test statistique, paramètre qui vont influencé les lois La moyenne théorique est un estimateur sans biais de la moyenne empirique, on peut écrire . Par contre, la variance théorique surestime la variance empirique (d’autant plus que n est petit, 10 % pour n = 10 et 1% pour n =100). Variance sans biais = (avec de grand échantillon la var théo tend vers la var emp, et on ne peut pas estimer la variance théo à partir d’un seul échantillon) Intervalle de confiance : Dans ce cas : Xn s bar : (Xn bar - µ)/ uploads/Geographie/ synthe-se.pdf