Mécanique 1 – Travaux dirigés Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Fondements de la

Mécanique 1 – Travaux dirigés Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Fondements de la mécanique du point Mécanique 1 – Travaux dirigés Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Fondements de la mécanique du point Exercices Exercice 1 : Course de voitures télécommandées [♦♦♦] Anatole et Barnabé comparent les performances des voitures télécommandées que le Père Noël leur a apporté. La voiture d’Anatole a une accélération de 2 m · s−2 alors que celle de Barnabé accélère à 3 m · s−2, mais la voiture d’Anatole peut atteindre 12 km · h−1 alors que celle de Barnabé plafonne à 10 km · h−1. 1 - Qui gagne la course dans l’allée du jardin, longue de 15 m ? 2 - Grand prince, le gagnant accorde une revanche à son malheureux adversaire et lui laisse même choisir la distance de la course. Quelle distance le perdant doit-il proposer pour être sûr de gagner ? Exercice 2 : Ballon sonde [♦♦♦] On modélise un ballon sonde par un point matériel de coordonées (x(t), z(t)). Le ballon est lâché depuis le point O à l’instant t = 0. Il acquiert quasi-instantanément une vitesse verticale v0 qui demeure constante tout au long du mouvement. Le vent lui communique une vitesse horizontale vx > 0, orientée suivant l’axe (Ox), et proportionnelle à son altitude z > 0 mesurée par rapport au niveau du sol : vx = z/τ où τ > 0 est homogène à un temps. 1 - Écrire et résoudre l’équation différentielle vérifiée par z(t). 2 - Écrire et résoudre l’équation différentielle vérifiée par x(t), à exprimer en fonction de v0 et τ. 3 - En déduire l’équation z(x) de la trajectoire du ballon sonde. 4 - Représenter cette trajectoire, et représenter le vecteur vitesse du ballon sonde à trois instants différents. 5 - Exprimer les composantes de l’accélération du ballon sonde. Exercice 3 : « Ça par exemple ! Quel bond ! » [♦♦♦] Dans l’album de Tintin On a marché sur la Lune, le capitaine Haddock s’étonne de pouvoir faire un bond beaucoup plus grand que sur la Terre. Le but de cet exercice est de déterminer la longueur de ce bond. On assimile le mouvement du capitaine Haddock à celui de son centre d’inertie. Il saute depuis le sol lunaire avec une vitesse initiale v0 faisant un angle α = 30° avec le sol. On note gL l’accélération de la pesanteur à la surface de la Lune, environ six fois plus faible que sur Terre. 1 - Établir l’équation du mouvement. 2 - En déduire l’équation de la trajectoire du centre d’inertie du capitaine Haddock. 3 - Exprimer la distance L qu’il a parcourue en sautant en fonction de v0, α et gL. 4 - En supposant que le capitaine Haddock est capable de sauter 1,5 m sur Terre et en admettant qu’il n’est pas gêné par son scaphandre, déterminer numériquement la distance L. 1/2 Étienne Thibierge, 6 novembre 2017, www.etienne-thibierge.fr TD M1 : Fondements de la mécanique du point Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Exercice 4 : Oscilloscope analogique [♦♦♦] Dans une époque pas si reculée où la touche autoscale n’existait pas, les oscilloscopes analogiques exploitaient la déviation d’un faisceau d’électron sous l’effet d’une tension à imager sur un écran. Cet exercice propose de comprendre le principe de fonctionnement de ces anciens oscilloscopes. Dans tout l’exercice, on se place dans le référentiel terrestre, auquel est associé un repère (O, # ” ux, # ” uy, # ” uz). O ⊗ y z x z P1 P2 écran fluorescent X D L Une zone de champ électrique uniforme est établie entre deux plaques P1 et P2, le champ est supposé nul en dehors de cette zone et les effets de bord sont négligés. La distance entre les plaques est notée d, la longueur des plaques D et on note U la tension (supposée constante et positive) entre les plaques, égale à la tension d’entrée de l’oscilloscope. On admet que le champ électrique entre les plaques s’écrit # ” E = −U d # ” ux . Des électrons accélérés au préalable pénètrent en O la zone où existe le champ avec une vitesse # ” v0 = v0 # ” uz selon l’axe Oz. On suppose leur poids négligeable devant la force électrique. 1 - Exprimer la force subie par les électrons lorsqu’ils se trouvent entre les plaques. 2 - Établir l’équation de la trajectoire x = f(z) de l’électron dans la zone du champ en fonction de d, U et v0. 3 - Déterminer les coordonnées du point de sortie K de la zone de champ et les composantes de la vitesse en ce point. 4 - Montrer que dans la zone entre les plaques chargées et l’écran fluorescent le mouvement est rectiligne uniforme. 5 - On note L la distance entre la sortie de la zone de champ et l’écran fluorescent. Déterminer l’abscisse xI du point d’impact I de l’électron sur l’écran en fonction de U, v0, D, d et L. 6 - À la lumière des questions précédentes, expliquer le principe de fonctionnement d’un oscilloscope analogique. Proposer une solution permettant d’obtenir un chronogramme sur l’écran et pas seulement un point. Annale de concours Exercice 5 : Électron dans un champ électromagnétique [ENAC 2016, ♦♦♦] L’épreuve écrite du concours ENAC est un QCM sans calculatrice. Pour chaque question, entre 0 et 2 proposition(s) sont juste(e). Un électron de masse me ≃10−30 kg et de charge e ≃−2 · 10−19 C pénètre, avec un vecteur vitesse # ” v 0, dans une région où règnent un champ électrostatique # ” E et un champ magnétostatique # ” B uniformes, orthogonaux entre eux et à # ” v 0. Précisément, dans la base directe {# ” ex, # ” ey, # ” ez} du repère cartésien Oxyz (x, y et z sont les coordonnées carté- siennes de l’électron), # ” E = E # ” ex, # ” B = B # ” ey et # ” v 0 = v0 # ” ez, E, B et v0 étant positifs. L’origine O du repère cartésien est prise à l’endroit où l’électron pénètre dans la région des champs. La norme v0 de sa vitesse est de 1000 km · s−1. 1 - On considère dans un premier temps que B = 0, de sorte que l’électron n’est soumis qu’au champ électrique # ” E. Quelle est l’équation vectorielle du mouvement ? Dans les propositions ci-dessous, # ” a est le vecteur accélération. (a) # ” a = e# ” E me . (b) # ” a = # ” E eme . (c) # ” a = −eme # ” E. (d) # ” a = −e# ” E me . l 2 - Quelles sont la nature et l’équation de la trajectoire de l’électron ? (a) La trajectoire est une portion de parabole d’équation eE me  z v0 2 . (b) La trajectoire est une portion de droite d’équation eE me z v0 . (c) La trajectoire est une portion de parabole d’équation −eE 2me  z v0 2 . (d) La trajectoire est une portion de droite d’équation −eE 2me z v0 . 3 - On place un écran d’observation parallèlement au plan Oxy en z0 = 0,2 m. Sachant que E = 10 V · m−1, calculer l’abscisse xe de l’impact de l’électron sur l’écran. (a) xe ≃4 mm. (b) xe ≃−4 mm. (c) xe ≃4 cm. (d) xe ≃−4 cm. l 2/2 Étienne Thibierge, 6 novembre 2017, www.etienne-thibierge.fr Mécanique 1 – Correction des travaux dirigés Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Fondements de la mécanique du point Mécanique 1 – Correction des travaux dirigés Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Fondements de la mécanique du point Exercices Exercice 1 : Course de voitures télécommandées 1 Pour connaître le nom du gagnant, il faut déterminer les lois horaires donnant la position des deux voitures. Les deux mouvements sont du même type : après une première phase uniformément accélérée d’accélération a, le mouvement devient ensuite rectiligne uniforme à la vitesse v. Notons x la position d’une des voitures. Supposons par ailleurs que les voitures partent de x = 0 sans vitesse initiale. Dans la première phase, ¨ x = a donc ˙ x = at + 0 et x = 1 2at2 + 0 Le temps τ au bout quel la voiture atteint sa vitesse limite v vaut τ = v/a et la position atteinte par la voiture vaut x0 = v2/2a. Numériquement, x0,A = v 2 A 2aA = 2,8 m et x0,B = 1,3 m Les deux voitures atteignent donc leur vitesse limite, et il faut étudier la seconde phase du mouvement. Dans cette seconde phase, t > τ, le mouvement est rectiligne uniforme à la vitesse maximale v que peut atteindre la voiture, donc ˙ x = v et x(t) = vt + C La constante d’intégration C se trouve à partir de la condition initiale x(τ) = v2 2a soit vτ + C = v2 2a donc v v a + C = v2 2a et C = −v2 uploads/Geographie/ td-m1-fondements-meca 1 .pdf

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