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IA Ziguinchor Année Scolaire :2018/2019 Lycée de Djinaky M.FAYE Términales Scie

IA Ziguinchor Année Scolaire :2018/2019 Lycée de Djinaky M.FAYE Términales Scientiﬁques TD N 06 :ESPACE DE PROBABILTE - PROBABILITE CONDITIONNELLE VARIABLE ALEATOIRE Exercice 1 : Un jeu de 32 cartes est constitué de 4 couleurs : Piques, coeur, treﬄe et carreau. Chaque couleur est composé de 8 cartes : l’As ; le Roi, la Dame, le Valet, le 10, le 9, le 8 et le 7. 1)On tire simultanément 3 cartes de ce jeu.Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : " Les trois cartes sont des As" B :" Il y’ a au moins deux couleurs parmi les trois cartes" C :" Il y’a pas d’As parmi les trois cartes" 2)On tire successivement avec remise 3 cartes du jeu de 32 cartes.On déﬁnit la variable aléatoire X qui est égale au nombre de couleur tiré. Déterminer la loi de probabilité de X. Exercice 2 : Une urne contient 12 ﬁches portant chacune une lettre du mot "BACCALAUREAT". 1)On tire successivement et au hasard les 12 ﬁches en les plaçant l’une après l’autre. Quelle est la probabilité d’obtenir : a) Un mot commençant par une consonne ? b) Un mot commençant par une voyelle ? c) Le mot BACCALAUREAT ? 2)On remetles ﬁches dans l’urne et on en tire que 3 ﬁches toujours successivement et sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir : a)Le mot BAC. b)trois voyelles c)Un seul A d)Au moins un A. Exercice 3 : Les laboratoires pharmaceutiques indiquent pour chaque test sa sensisibilité α, qui est la probabilté que le test soit positif si le sujet est malade, et sa spéciﬁté β , qui est la probabilité que le test soit négatif si le sujet est sain.Sachant qu’ en moyenne il y’ a un malade sur 1000 personnes, calculer la probabilité d’ etre un sujet sain alors que le test est positif, avec α = 95% et β = 97%. Calculer la probabilité d’ etre malade alors que le test est négatif. Exercice 4 : Une porte monnaie comprend quatre pièces de 500F et six pièces de 200F.Un enfant tire au hasard et simultanément 3 piècesdece porte monnaie. 1)Calculer la probabilité de l’événement A " tirer 3 pièces de 500F". 2)Soit X la variable aléatoire égale au nombre de pièces de 500F tiré. a)Déterminer la loi de probabilité de X. b)Calculer l’ espérance mathématiques de X et son écart type. 3)L’enfant répète 5 fois la meme épreuve en remettant à chaque fois les trois pièce tirées dans le porte mon- naie.Quelle est la probabilité que l’événement A se réalise trois fois à l’issu de l’épreuve. Exercice 5 : 1) On considère un dé cubique truqué dont les faces sont numérotées de 1 a 6. On notePi la probabilité d’ apparition de la face i. Les Pi vériﬁent : P1 = P2 ; P3 = P4 = 2P1 ; P5 = P6 = 3P1 ; M.FAYE, Lycée de Djinaky 1 a) Montrer que P1 = 1 12. b) Montrer que la probabilité de l’ évenement A " obtenir 3 ou 6" est égale a 5 12. 2) Un jeu d ’adresse consiste a lancer le dé decrit ci dessus puis a lancer une ﬂéchette sur une cible ﬁxe. Si le joueur obtient 3 ou 6, il se place a 5m de la cible et lance la ﬂéchette sur la cible a 5m, la probabilité d atteindre la cible est alors 3 5. Si l’ évenement A n’ est pas réalisé il se place a 7m de la cible et lancela ﬂéchette ; la cible est atteinte avec une probabilté égale a 2 5. On note C l évenement "la cible est atteinte". a) Calculer P(C/A) et P(C/ ¯ A. En déduire que P(C) = 29 60. b) Déterminer P(A/C). 3) Le joueur dispose de 10 ﬂéchette qu’ il doit lancer une a une, de facon indépendante, dans les mémes conditions que celles déﬁnies précédemment. Calculer la probabilité pour qu’ il atteigne la cible exactement 4 fois. Exercice 6 : Un tiroir contient, pêle mêle, 5 paires de chaussures noires, 3 paires de chaussures vertes et 2 paires de chaus- sures rouges. Toutes les paires de chaussures sont de modéles diﬀérentes, mais indiscernable au toucher. 1) On tire simultanément 2 chaussures au hasard et on admet l’ équiprobabilité des tirages . a) Calculer la probabilité de l’ événement A " Tirer deux chaussures de même couleurs". b) Calculer la probabilité de l ’événement B "tirer un pied ganche et un pied droit." c) Montrer que la probabilité de l’événement C " tirer les deux chaussures d’ un même modele " est P(C) = 1 19. 2) On ne conserve dans le tiroir qu’ une paire de chaussures noires et une paire de chaussures rouges.On tire successivement et sans remise une chaussure du tiroir jusqu’ a ce que le tiroir soit vide. on note X la variable aléatoire égale au rang d’ apparition de la deuxieme chaussure noire. a) Quelles sont les diﬀérentes valeurs prises par X. b) Montrer que la loi de probabilité de X est : P(X = 2) = 1 6 ; P(X = 3) = 1 3 et P(X = 4) = 1 2. c) Calculer son ésperence mathématique et son écart type. Exercice 7 : Au cours d’une expérience sur le comportement des animaux, des rats doivent choisir entre quatre portes d’apparence identiques, dont l’une est dite "bonne" et les trois autres sont dites "mauvaises".Chaque fois qu’il choisit une mauvaise porte, le rat reçoit une décharge électrique désagréable et est ramené à son point de départ, et cela jusqu’a ce qu’il choisissent la bonne porte. 1)Le rat n’a aucune mémoire, il choisit à chaque essai de façon équiprobables entre les quatre portes. Déterminer la probabilité des évènements suivants : a) Le rat sort au bout de la troisième fois. b)Le rat sort au bout de la septième fois. 2)Le rat a une mémoire parfaite. A chaque nouvel essai,il évite les mauvaises portes choisies précédemment et il choisit de façon équiprobables entre celles qu’il n’a pas encore essayées. Soit k le nombre d’essai possible pour le rat. a)Déterminer les valeurs possibles de k. b)Pour chaque valeur de k, déterminer la probabilité associée. Exercice 8 : On dispose de de 2 dés cubiques en apparence identique dont l’un est parfait et l’autre truqué.Les faces de chacun d’eux sont numérotées de 1 à 6. Avec le dé truqué, la probabilité d’obtenir la face 5 lors d’un lancé est de 1 3. 1.a)On lance le dé parfait 3 fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de fois ou la face 5 apparait.Quelle est la loi de probabilité de X. b) On lance le dé truqué 3 fois de suite.Quelle est la probabilité d’obtenir 2 fois la face portant le chiﬀre 5 ? 2)On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. On le lance 3 fois de suite. On consi- dère les événement suivant : M.FAYE, Lycée de Djinaky 2 A" Obtenir exactement deux fois la face portant le chiﬀre 5" B" Choisir le dé truqué" C" Choisir le dé truqué et obtenir exactement deux fois la face portant le chiﬀre 5" D" Choisir le dé non truqué et obtenir exactement deux fois la face portant le chiﬀre 5" Calculer P(A), P(B), P(C) et P(D). Exercice 9 : On jette 3 fois un dé a 6 faces , et on note a, b et c les résultats succéssifs obtenus.On note Q(x) = ax2 + bx + c Déterminer la probabilté pour que : 1) Q ait deux racines distinctes. 2) Q ait une racine double. 3) Q n ’ait pas de racines réelles. Exercice 10 : Trois chasseurs repérent en même temps un lapin qui est équidistant de ces derniers. Les chasseurs ont les mêmes marques de fusils.Le premier le tue avec une probabilité égale a 0, 60. Le second le loupe avec une probabilité égale a 0, 20.Enﬁn le troisieme le tue avec une probabilité égale a 0, 90.On suppose que si le lapin est touché alors il ne pourra plus courir et donc sera tué. 1) Est il préférable d ’etre le premier , le deuxieme ou le troisieme a essayer de tuer ce lapin ? 2) Calculer la probabilité que ce lapin soit tué. 3) Un chasseur ayant la probabilité de tuer égale a celle trouvée en question 2) tire 5 fois de suite dans les mêmes conditions.Quelle est la probabilité que ce lapin soit tué. 4) Calculer l’espérence pour ce dernier de le tuer. Exercice 11 : On considère Ωl’univers associé à une expérience aléatoire, A et B deux événements. Dans le cas d’équipro- babilté, rappeler les probabilité des événements suivants : A, A sachant B, A ∩B et (A ∩B) ∪(A ∩B). Une société de distribution d’ électricité ayant une production suﬃsante en électricité pour assurer une ali- mentation continue dans tout le pays, procède à des délestages. Ainsi, à partir d’un certains jours les délestages ont débuté dans un uploads/Geographie/ td-probabilite 1 .pdf