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Mathématiques DUT 1 M. Samy Modeliar Travaux dirigés 21 Probabilités Exercice 1

Mathématiques DUT 1 M. Samy Modeliar Travaux dirigés 21 Probabilités Exercice 1 Lors d’un concours radiophonique, on note X le nombre de réponses reçues chaque jour. On suppose que X suit une loi normale de paramètres m et s. Durant les 10 premiers jours, on a obtenu : x1 = 200 x2 = 240 x3 = 190 x4 = 150 x5 = 220 x6 = 180 x7 = 170 x8 = 230 x9 = 210 x10 = 210. Déterminer une estimation ponctuelle de m et s. Exercice 2 Dans une population d’étudiants en sociologie, on a prélevé, indépendamment, deux échan- tillons de taille n1 = 120 et n2 = 150. On constate que 48 étudiants de l’échantillon 1 et 66 étudiants de l’échantillon 2 ont une formation secondaire scientiﬁque. Soit p la proportion d’étudiants de la population ayant une formation scientiﬁque. Calculer trois estimations ponctuelles de p. Exercice 3 Dans une station service, on suppose que le montant des chèques essence suit une loi normale de paramètres m et s. On considère un échantillon de taille n = 50 et on obtient une moyenne de 130 euros et un écart-type de 28 euros. Donner une estimation de m par un intervalle de conﬁance au niveau de conﬁance 95%. Exercice 4 On donne la répartition des masses de 219 ressorts provenant d’une même fabrication : masses (g) [8, 2 ; 8, 4[ [8, 4 ; 8, 6[ [8, 6 ; 8, 8[ [8, 8 ; 9[ [9 ; 9, 2[ [9, 2 ; 9, 4[ [9, 4 ; 9, 6[ Nombre de ressorts 9 21 39 63 45 27 15 On considère le variable aléatoire réelle X donnant le poids d’un ressort provenant de cette fabri- cation. 1. Donner une estimation de E (X) et V (X). 1 2. Donner pour E (X) un intervalle de conﬁance au niveau de conﬁance 95%. Exercice 5 On veut estimer l’espérance mathématique m d’une variable aléatoire gaussienne X dont on connaît l’écart-type σ = 2, 3. Quelle est la taille minimum de l’échantillon de X qui est à prendre si l’on veut obtenir pour m un intervalle de conﬁance de seuil 0, 95 et dont la longueur ne dépasse pas 0, 1. Exercice 6 Un conﬁseur vends des boites de bonbons d’un certain modèle. On note X la masse d’une boite pleine. Les pesées de 8 boites ont conduit aux masses (en kg) : 1, 22 1, 23 1, 21 1, 19 1, 23 1, 24 1, 18 1, 21. 1. Donner pour E (X) un intervalle de conﬁance au risque de 5%. 2. En supposant que la variance de X soit connue et égale à la variance observée, donner pour E (X) un intervalle de conﬁance au seuil de conﬁance 95% et comparer avec la question 1). 3. On suppose maintenant que l’on a trouvé la même moyenne et la même variance qu’observées mais avec 16 observations au lieu de 8 . Reprendre les questions 1) et 2). Exercice 7 Après avoir pesé 12 pamplemousses d’une même provenance, on donne pour l’espérance mathématiques m du poids X d’un pamplemousse, l’intervalle de conﬁance au niveau de conﬁance 95% : 390 g ≤m ≤520 g En déduire la moyenne observée et l’écart-type observée. Exercice 8 Dans un grand pays démocratique, un quotidien publie la côte du chef de l’état à partir d’un sondage réalisé auprès de 1000 personnes. Au mois de janvier la côte était de 38% d’opinion favorables, en février 36%. Et le journaliste de commenter « le chef de l’état perd 2 points ! ». Commenter ce commentaire... 2 uploads/Geographie/ td21.pdf