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29/11/2022 13:36 Loi de Darcy — Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_

29/11/2022 13:36 Loi de Darcy — Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Darcy 1/6 Schéma de l'équipement utilisé par Darcy pour les essais « à charge constante » dans le calcul de la perméabilité. Cylindre incliné plein de sable, traversé par de l'eau, utilisée pour l'une des démonstrations de la loi dite « loi de Darcy ». Loi de Darcy La loi de Darcy est une loi physique qui exprime le débit d'un fluide incompressible filtrant au travers d'un milieu poreux. La circulation de ce fluide entre deux points est déterminée par la conductivité hydraulique ou le coefficient de perméabilité du substrat et par le gradient de pression du fluide. Dans le cas d'un cours d'eau ou d'un réservoir alimentant une nappe, ce gradient est lié à la hauteur de l'eau. Cette loi a été établie en 1856 par Henry Darcy, après qu'il a réalisé diverses expérimentations visant à déterminer les lois régissant « l'écoulement de l'eau à travers le sable » . Les bases expérimentales de Darcy ont ensuite pu être confirmées par exemple par le traçage isotopique et justifiées par la théorie par la méthode de prise de moyenne volumique ou par homogénéisation comme correspondantes à un écoulement de Stokes en milieu poreux. Un an plus tard, dans une seconde publication, Darcy propose une interprétation de la loi en termes d'ensemble de microcanaux, anticipant ainsi les modélisations ultérieures de la perméabilité . 150 ans plus tard, la loi de Darcy et ses dérivées jouent encore un rôle majeur en hydrogéologie et notamment dans le domaine de l'hydraulique souterraine . Elles ont d'abord été utilisées pour évaluer les propriétés hydrauliques de différents types de substrats , les débits potentiels d'écoulements souterrains de l'eau (ou d'un autre liquide), verticalement à travers le sol ou une couche géologique (stratifiée ou karstique notamment) par exemple vers une nappe phréatique sous-jacente ou vers un captage d'eau dont on voudrait savoir à partir de quel débit il risquerait de ne plus être alimenté, ou de manière générale au travers d'un milieu poreux (par exemple une roche calcaire, du sable ou au travers d'un barrage en terre, ou dans la terre située sous un barrage). Elles ont ensuite notamment été utilisées pour déterminer les d'aires d'alimentation (et le cas échéant de protection) de captage d'eau souterraine . Dans la réalité, à grande échelle, le substrat est rarement isotrope mais hétérogène et parfois faillé, avec un coefficient moyen de perméabilité qui varie rapidement dans l'espace voire dans le temps (en zone sismiquement active par exemple ou dans un sédiment jeune), ce pourquoi les physiciens ont aussi exploré (depuis la fin du xxe siècle) des approches de « géostatistique appliquée à l'écoulement et au transport en milieu poreux et reposant sur la prise en compte des propriétés du milieu de manière stochastique » . La loi de Darcy telle qu'elle a été formulée par Henry Darcy en 1856 dans l'appendice D de son célèbre ouvrage Les Fontaines publiques de la ville de Dijon, exprime le débit Q d'un fluide incompressible qui s'écoule en régime stationnaire au travers d'un milieu poreux de section A et de longueur L sous l'effet d'une différence de charge ΔH. avec : Q : le débit volumique (m3/s) filtrant ; K : la conductivité hydraulique ou « coefficient de perméabilité » du milieu poreux (m/s), qui dépend à la fois des propriétés du milieu poreux et de la viscosité du fluide ; A : la surface de la section étudiée (m2) ; : le gradient hydraulique, où ΔH est la différence des hauteurs piézométriques en amont et en aval de l'échantillon, L est la longueur de l'échantillon. Initialement globale (valable pour un milieu poreux homogène et un écoulement uniforme), la formulation de la loi de Darcy devint rapidement locale, généralisée à des écoulements tridimensionnels et à des milieux non saturés. Pour un milieu non saturé, la conductivité dépend de la teneur en eau. La loi de Darcy devient : où représente la charge totale ou potentiel total de l'eau par unité de poids (m=J/N). La charge totale est égale à la somme des charges matricielles et gravitationnelles ; représente le potentiel matriciel par unité de poids (m=J/N) ; est un tenseur donnant la conductivité hydraulique du milieu poreux en fonction de la charge matricielle ; est la vitesse de Darcy ou de filtration (vecteur flux volumique de fluide) (m³/m²/s=m/s). La résolution locale de la loi de Darcy la rend applicable à des corps poreux hétérogènes et à des écoulements non uniformes. Histoire 1, 2, 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14, 15 16 Formulation Généralisation Formulation vectorielle locale Fluide compressible 29/11/2022 13:36 Loi de Darcy — Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Darcy 2/6 La porosité d'un substrat poreux et sa conductivité hydraulique K sont notamment déterminés par la taille des grains et la taille des interstices entre ces grains, ainsi que par la communication entre ces interstices. Ici, un même fluide incompressible cheminera plus facilement et plus rapidement dans la situation 1 que dans la situation 2 En réalité, les pores peuvent aussi parfois se colmater (si le fluide est chargé), ou s'agrandir (si le fluide est solubilisant pour le matériau ; une eau acide dans un substrat calcaire par exemple). La loi de Darcy est aujourd'hui généralisée à des fluides compressibles en l'exprimant selon les propriétés intrinsèques du milieu poreux et du fluide : où est la vitesse de Darcy ou de filtration (vecteur flux volumique de fluide) (m/s) ; la pression (kg/(m.s2)) ; la masse volumique du fluide (kg/m3) ; sa viscosité dynamique (kg/(m.s)) ; le vecteur accélération de la pesanteur (m/s2) ; la perméabilité (m2), pouvant avoir un caractère tensoriel, dépendant uniquement du milieu poreux. Sous cette forme généralisée, la loi de Darcy est vérifiée par l’expérience sous certaines conditions : les déformations du milieu poreux doivent être négligeables, et l’écoulement du fluide, à l’échelle des pores, doit être bien décrit par les équations de Stokes. Cela suppose un écoulement suffisamment lent, c'est-à-dire des nombres de Reynolds faibles, sous des conditions stationnaires. Cette loi, valable à l'échelle macroscopique (c'est-à-dire lorsque l'on ne cherche pas à représenter la géométrie de la matrice poreuse) peut être retrouvée en effectuant la prise de moyenne volumique du problème de Stokes qui régit l'écoulement à l'échelle du pore (c'est-à-dire lorsque l'on représente le fluide et la structure solide). En plus de démontrer la loi de Darcy, cette méthode permet également d'évaluer la perméabilité du milieu poreux via la résolution de problèmes de fermeture. Lorsque le débit est important les effets inertiels peuvent être pris en compte par l'intermédiaire d'une correction faisant intervenir le nombre de Reynolds basé sur la longueur caractéristique : Cette correction s'exprime dans la loi de Darcy-Forchheimer de la façon suivante : Le coefficient est dénommé nombre d'Ergün ou de Ward. Il est de l'ordre de 0.5. La loi de Darcy-Klinkenberg exprime la perméation d'un gaz en régime raréfié, c'est-à-dire lorsque le libre parcours moyen de la molécule est du même ordre de grandeur que la taille caractéristique du pore. Dans le cas général cette loi s'exprime de la façon suivante : s'appelle coefficient de transpiration thermique. Il varie de 0.5 en régime balistique (pas de collision entre particules) à 1 pour le régime continu. L'équation obtenue dans ce dernier cas est la loi de Darcy avec une perméabilité . La conductivité hydraulique K (m/s) est un coefficient dépendant des propriétés du milieu poreux où l’écoulement a lieu (granulométrie, forme des grains, répartition et forme des pores), des propriétés du fluide concerné par les écoulements (viscosité, masse volumique) et de la saturation du milieu poreux. Elle s'exprime en fonction des propriétés intrinsèques du milieu poreux et du fluide : avec : : la perméabilité intrinsèque du milieu poreux (m2) ; : la masse volumique du fluide (kg/m3) ; g : l'accélération de la pesanteur (m/s2) ; : la viscosité dynamique du fluide (Pa s). La conductivité hydraulique (et la perméabilité intrinsèque) est une fonction strictement décroissante du taux de saturation du milieu poreux ou du potentiel matriciel. Lorsque le milieu est saturé en eau ( ), cette propriété est appelée conductivité hydraulique à saturation Ksat . Loi de Darcy-Forchheimer 17 Loi de Darcy-Klinkenberg Conductivité hydraulique 18 Vitesse de Darcy 29/11/2022 13:36 Loi de Darcy — Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Darcy 3/6 Schéma présentant dans le cycle de l'eau quelques- unes des situations et des flux souterrains d'eau que la loi de Darcy a aidé à comprendre et modéliser (voir quelques cas particuliers détaillés ci-dessous). Deux exemples (vues en coupe) de situation de déséquilibre par rapport à l'équilibre piézométrique. A : le niveau du cours d'eau est plus haut que celui de la nappe phréatique (par exemple à la suite d'une crue) ou en amont d'un seuil ou d'un barrage. Un flux d'eau (avec transfert éventuel de calories, de frigories, de sels ou nutriments) s'établit de la rivière vers la nappe (et s'il en existe vers des compartiments sous- fluviaux), jusqu'à ce que l'équilibre piézométrique se rétablisse. B : Le niveau de la rivière est plus bas que celui de uploads/Geographie/ wloi-de-darcy-wikipe-dia 1 .pdf