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INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE GAFSA DEPARTEMENT GENIE MECANIQ

INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE GAFSA DEPARTEMENT GENIE MECANIQUE MASTERE PROFESSIONNEL EN MECANIQUE DES SYSTEMES DES INDUSTRIES MINIERES SUPPORT DE COURS : ELASTICITE-MMC Elaboré par : Mr. Nciri Rached Pour la formation des étudiants du Niveau1-Mastère Professionnel en Mécanique des Systèmes des Industries Minières Année universitaire : 2016-2017 PREFACE Cet ouvrage vient pour s’inscrire dans l’ensemble des productions pédagogiques élaborées au sein du département Génie Mécanique de l’Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Gafsa. Durant ce travail, je me suis attelé à rédiger un support de cours pour le module « Elasticité- MMC » destiné pour les élèves du Niveau 1-Mastère Professionnel en Mécanique des Systèmes des Industries Minières. PLAN DU COURS « ELASTICITE-MMC » • Profil : Génie Mécanique-Mécanique des Systèmes des Industries Minières • Niveau : M1-Mécanique des Systèmes des Industries Minières- S2 • Pré-requis : Niveau Baccalauréat. • Nombre d’heures : 21 heures de cours intégré. • Buts du cours : - Comprendre et savoir quantifier la déformation dans un milieu continu. - Comprendre et savoir quantifier la contrainte dans un milieu continu. - Comprendre et savoir appliquer les lois de comportement (prévoir la déformation connaissant la contrainte et vice-versa ça) SOMMAIRE CHAPITRE I: DEFORMATIONS DANS UN MILIEU CONTINU ............................. 1 I. TENSEURS GRADIENT ....................................................................................................... 1 I.1. Tenseur gradient....................................................................................................... 1 I.2. Tenseur gradient de déplacement ............................................................................. 1 II. TENSEURS DE DEFORMATION .......................................................................................... 2 II.1. Tenseurs de Cauchy-Green ..................................................................................... 2 II.2. Tenseur de Green-Lagrange ................................................................................... 3 II.3. Tenseur d’Euler-Almansi ....................................................................................... 3 II.4. Tenseur des déformationslinéarisé ......................................................................... 3 II.5. Interprétation des résultats ...................................................................................... 4 II.5.1. Allongement (dilatation linéaire) ..................................................................... 4 II.5.2. Glissement (distorsion angulaire) .................................................................... 5 II.5.3. Tenseur des déformations linéarisé .................................................................. 6 II.5.4. Dilatation volumique ....................................................................................... 6 II.5.5. Interprétation géométrique ............................................................................... 6 III. CONDITION DE COMPATIBILITE ..................................................................................... 7 IV. EXERCICE D’APPLICATION ............................................................................................ 8 CHAPITRE II: CONTRAINTES DANS UN MILIEU CONTINU .............................. 11 I. VECTEUR CONTRAINTE .................................................................................................. 11 I.1. Postulat de Cauchy ................................................................................................. 11 I.2. Contraintes tangentielle et normale ....................................................................... 11 II. TENSEUR CONTRAINTE ................................................................................................. 12 III. REPRESENTATION GRAPHIQUE (TRICERCLE DE MOHR) ............................................... 12 III.1. Définition ............................................................................................................ 12 III.2. Principe de construction ...................................................................................... 12 IV. EXERCICE D’APPLICATION .......................................................................................... 13 CHAPITRE III: LOI DE COMPORTEMENT DES MILIEUX CONTINUS ............ 17 I. RELATIONS ENTRE L’ETAT DE CONTRAINTE ET L’ETAT DE DEFORMATION ..................... 17 II. RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS DE LAME ET LES PROPRIETES MECANIQUES DU MATERIAU.............................................................................................................................. 18 III. EQUATIONS SUPPLEMENTAIRES ................................................................................... 18 III.1. Equation de Navier .............................................................................................. 18 III.2. Equation de Beltrami ........................................................................................... 18 IV. EXERCICE D’APPLICATION .......................................................................................... 19 ISET GAFSA ELASTICITE-MMC DEPARTEMENT GENIE MECANIQUE COURS 1 NCIRI RACHED CHAPITRE I: DEFORMATIONS DANS UN MILIEU CONTINU I. Tenseurs gradient I.1. Tenseur gradient Pour un même milieu continu et dans un même référentiel R, on imagine 2 configurations : initiale C0 et à un instant t Ct. Le même point M, noté M0 dans la configuration C0, sera noté Mt dans la configuration Ct. Pour matérialiser la déformation, on considère 2 vecteurs dX uuu r et dx uu r définis respectivement au voisinage des points M0 et Mt. La transformation dX dx → uuu r uu r s’écrit, dx F dX = uu r uuu r Avec i iJ J x F F X   ∂ = =   ∂   est un tenseur de second ordre (matrice 3×3) appelé Tenseur gradient. I.2. Tenseur gradient de déplacement Le déplacement du point M lors de la transformation de la configuration initiale C0 vers la configuration Ct s’écrit : 0 ( , ) t u M t M M x X = = − r uuuuuu r r uu r C0 Ct 1 e u r 2 e u u r 3 e ur × × M0 Mt O dX uuu r dx uu r X uu r x r ISET GAFSA ELASTICITE-MMC DEPARTEMENT GENIE MECANIQUE COURS 2 NCIRI RACHED D’où, ( ) ( ) i i iJ J J du d x d X F I d X u x gradu F I X X δ = − = −   ∂ ∂ ⇒ = − = = −   ∂ ∂   r r uu r uu r r gradu r est un tenseur de second ordre(matrice 3×3) appelé Tenseur gradient de déplacement. II. Tenseurs de déformation Pour définir proprement une déformation, il est judicieux de considérer la variation du produit scalaire entre deux vecteurs matériels appliqués au point M étudié. II.1. Tenseurs de Cauchy-Green Le produit scalaire entre les deux vecteurs définis dans la configuration Ct s’écrit : ( )( ) ( ) . ' ' ' ' T d x d x Fd X Fd X d X F F d X d XCd X = = ⊗ = r ur uu r uur uu r uur uu r uur ( ) ( ) T T C F F gradu I gradu I = ⊗ = + ⊗ + r r C estun tenseur de second ordre (matrice 3×3) appelé Tenseur de Cauchy-Green droit. De la même manière, on montre que, ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 . ' ' ' ' T d X d X F d x F d x d x F F d x d xB d x − − − − − = = ⊗ = uu r uur r ur r ur r ur ( ) ( ) T T B F F gradu I gradu I = ⊗ = + ⊗ + r r dX uuu r ' dX uuur dx uu r ' dx uuu r M0 Mt C0 Ct u r ISET GAFSA ELASTICITE-MMC DEPARTEMENT GENIE MECANIQUE COURS 3 NCIRI RACHED B est un tenseur de second ordre (matrice 3×3) appelé Tenseur de Cauchy-Green gauche. II.2. Tenseur de Green-Lagrange La variation du produit scalaire de deux vecteurs matériels entre la configuration Ct et celle C0 s’écrit : ( ) . ' . ' ' 2 ' d x d x d X d X d X C I d X d X Ed X − = − = r ur uu r uur uu r uur uu r uur ( ) ( ) 1 1 2 2 T T E C I gradu grad u grad u gradu = − = + + ⊗ r r r r E est un tenseur de second ordre (matrice 3×3) appelé Tenseur de Green-Lagrange qui traduit l’évolution de l’état de déformation dans le sens C0Ct. II.3. Tenseur d’Euler-Almansi De la même manière que pour le cas du tenseur E , on montre que, ( ) 1 . ' . ' ' 2 ' d x d x d X d X d x I B d x d xAd x − − = − = r ur uu r uur r ur r ur ( ) 1 1 2 A I B− = − A est un tenseur de second ordre (matrice 3×3) appelé Tenseur d’Euler-Almansi qui traduit l’évolution de l’état de déformation dans le sens CtC0. II.4. Tenseur des déformationslinéarisé L’écriture du tenseur de Green-Lagrange E en fonction du tenseur gradient de déplacement gradu r affiche un terme non linéaire : Terme non linéaire 1 2 T T E gradu grad u grad u gradu     = + + ⊗     r r r r 1442443 Cette non linéarité de l’état de déformation vis-à-vis du champ de déplacement complique considérablement le calcul. Heureusement, cette non linéarité peut être « contourné » si on ISET GAFSA ELASTICITE-MMC DEPARTEMENT GENIE MECANIQUE COURS 4 NCIRI RACHED suppose que les transformations sont infinitésimales.Cette supposition est connue sous le nom de l’Hypothèse des Petites Perturbations (H.P.P.) : • Les déplacements des points du milieu continu sont petits : les configurations C0 et Ct peuvent être confondues. • Les composants du tenseur gradient de déplacement gradu r sont tous négligeables devant l’unité. En appliquant la H.P.P., l’écriture des tenseurs des déformations devient plus simple et le terme non linéaire est négligé : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 1 2 2 T T T T T T T T C F F gradu I gradu I I grad u gradu E C I gradu grad u B F F gradu I gradu I I grad u gradu C A I B gradu grad u E ε ε − = ⊗ = + ⊗ + = + + = − = + = = ⊗ = + ⊗ + = + + = = − = + = = r r r r r r r r r r r r Le Tenseur ε est appelé Tenseur des déformations linéarisé. Il représente la partie symétrique du tenseur gradient de déplacement gradu r . On définit, aussi, le tenseur ω représentant la partie antisymétrique du tenseur gradu r . ( ) 1 2 T gradu grad u ω = − r r II.5. Interprétation des résultats II.5.1. Allongement (dilatation linéaire) L’allongement (dilatation linéaire) d’un vecteur dX dX uploads/Geographie/elasticite-mmc-cours-rached-nciri.pdf