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Campus d’Été - Université de Neuchâtel Cours de préparation mathématique aux ét

Campus d’Été - Université de Neuchâtel Cours de préparation mathématique aux études scientiﬁques Section Générale UniNE - Institut de Mathématiques Août 2021 Sommaire I Algèbre 5 1 Ensembles et Notations 2 Polynômes et ensemble R[x] 3 Rappels sur les puissances et racines 4 Rappels sur les équations et les systèmes 4.1 Equations du premier degré à une inconnue 4.2 Equations rationnelles 4.3 Equation du second degré à une inconnue 4.4 Equations irrationnelles 4.5 Systèmes d’équations Exercices Solutions 3 Université de Neuchâtel Août 2021 Campus d’Été - Cours de Préparation Mathématiques - Section Générale Introduction Ce cours est donné pour la première fois en 2020. Il donne une revue générale des mathé- matiques du Secondaire II en introduisant des notions utiles permettant à l’étudiant de se préparer à ses études sur des bases solides et sûres. L’édition actuelle a été faite pour l’année 2020 par François Lopinat, toutes remarques ou questions peuvent être adressées à francois.lopinat@unine.ch. Planning L’expérience nous a appris la répartition suivante, qui peut certes être changée. Nous la mettons à disposition du lecteur qui pourra ainsi se faire une idée de l’organisation horaire des deux semaines de cours Première semaine 09h15 -> 10h50 11h00 -> 12h00 13h00 -> 15h00 Lundi Alg, Rappels Alg. Rappels Alg. TP Mardi Alg. TP Alg. Ineq + Mat Alg. TP Mercredi Alg. Alg lin Alg. TP Alg. TP Jeudi An. Fct An. TP An. TP Vendredi An. Dériv An. TP An. TP Deuxième semaine 09h15 -> 10h50 11h00 -> 12h00 13h00 -> 15h00 Lundi An. Intégr An. TP An. TP Mardi An. Eq diﬀ An. TP An. TP Mercredi Geo. Trigo Geo. TP Geo. TP Jeudi Geo. 2D Geo. TP Geo. TP Vendredi Geo. 3D Geo. TP Geo. TP Troisième semaine 08h15 -> 9h50 Lundi Geo. TP Mardi Stats Mercredi Stats. TP 4 . Sommaire Première partie Algèbre 5 Campus d’Été - Cours de Préparation Mathématiques - Section Générale Université de Neuchâtel Août 2021 1. Ensembles et Notations Les ensembles sont des objets mathématiques très utiles. Nous rappelons dans ce chapitre quelques déﬁnitions et notations importantes. Déﬁnition 1.1. Une notion élémentaire des mathématiques est celle d’ensemble. Un en- semble mathématique est une collection d’objets appelés éléments. Si E est ﬁni, le nombre d’éléments d’un ensemble E est son cardinal et peut être noté de diﬀérentes manières : card(E) = #E = |E| . Déﬁnition 1.2. 1. Si un élément x est dans un ensemble E, on dit que x appartient à E. On note alors x ∈E. 2. Si E et F sont deux ensembles et que tous les éléments qui appartiennent à F appar- tiennent aussi à E, alors on dit que F est contenu dans E (respectivement E contient F) et on note F ⊂E (respectivement E ⊃F). Dans ce cas, F est un sous-ensemble de E. 3. On note P(E) l’ensemble de tous les sous-ensembles de E. P(E) est aussi appelé l’ensemble des parties de E. 4. Si A et B sont deux ensembles, l’intersection de A et B, notée A ∩B, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. 5. La réunion de ces deux ensembles, notée A ∪B, est l’ensemble des éléments qui appar- tiennent à A ou à B. 6. La diﬀérence entre A et B, notée A \ B, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A mais pas à B. 7. Le complémentaire de A dans E, noté Ac, est égal à E \ A. 8. Le produit cartésien de deux ensembles E et F se note E × F et représente l’ensemble de couples (a, b), a ∈E, b ∈F. Remarque 1.3. On a les identités suivantes : (i) A \ B = A ∩Bc ; Lois de commutativité (ii) A ∪B = B ∪A ; (iii) A ∩B = B ∩A ; Lois d’associativité (iv) (A ∪B) ∪C = A ∪(B ∪C) ; (v) (A ∩B) ∩C = A ∩(B ∩C) ; I. 1. ENSEMBLES ET NOTATIONS 7 Université de Neuchâtel Août 2021 Campus d’Été - Cours de Préparation Mathématiques - Section Générale Lois de distributivité (vi) A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C) ; (vii) A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C) ; Lois de De Morgan (viii) (A ∪B)c = Ac ∩Bc ; (ix) (A ∩B)c = Ac ∪Bc. Remarque 1.4. Il existe diﬀérentes manières de décrire des ensembles. La plus simple est de lister tous ses éléments entre des accolades. On parle d’écriture en extension. Dans un tel cas, chaque élément de l’ensemble apparaît une et une seule fois entre les accolades. Une autre consiste à décrire l’ensemble avec des mots ou des symboles mathématiques. Remarque 1.5. De manière générale, décrire un ensemble se fait avec la structure suivante : E = {Type d’éléments | Propriétés}. Déﬁnition 1.6. Voici les ensembles classiques en mathématiques : 1. ∅désigne l’ensemble vide. C’est l’ensemble qui ne contient rien : ∅= {}. 2. N désigne l’ensemble des nombres naturels. Ce sont tous les nombres entiers positifs, avec 0 : N = {0, 1, 2, . . .}. 3. Z désigne l’ensemble des nombres entiers relatifs. Il contient tous les nombres entiers, positifs et négatifs, 0 compris : Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. 4. Q désigne l’ensemble des nombres rationnels, il est formé de tous les nombres pouvant être écrits sous forme de fractions de nombres entiers relatifs. Autrement dit Q est l’ensemble des nombres que l’on peut écrire sous la forme p q, où p et q sont des entiers relatifs : Q = p q p, q ∈Z, q ̸= 0 . 5. R désigne l’ensemble des nombres réels. En plus des rationnels, ils contient tous les nombres dits irrationnels tels que √ 2, π et e. 8 I. 1. ENSEMBLES ET NOTATIONS Campus d’Été - Cours de Préparation Mathématiques - Section Générale Université de Neuchâtel Août 2021 6. C désigne l’ensemble des nombres complexes. Il contient entre autres le nombre i déﬁni par i2 = −1. Un nombre complexe est un nombre de la forme a + ib, où a et b sont des nombres réels : C = {a + ib | a, b ∈R, i2 = −1}. Exemple 1.7. L’ensemble des multiples de 3 peut s’écrire des façons suivantes : {n ∈N | n est un multiple de 3} = 3N = {n ∈N | n 3 ∈N} = {n ∈N | ∃m ∈N tel que n = 3m} = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, . . .}. Exemple 1.8. Soient les ensembles A = {1, 2, 3} et B = {n ∈N | n 3 ∈N} (les multiples de 3). Alors on a : 1. A ∩B = {3} ; 2. A ∪B = {n ∈N | n 3 ∈N} ∪{1, 2} ; 3. P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Question 1.9. Constatez que P(A) contient 8 éléments alors que A en contient 3 (il ne faut pas oublier ∅et A lui-même !). Si A contenait 2 éléments, combien en contiendrait P(A) ? Et si A contenait 4 éléments ? n éléments ? Remarque 1.10. Notez le symbole ∃dans l’exemple 1.7. C’est un quantiﬁcateur logique. Il se lit « il existe ». Il y en a un autre : ∀qui se lit « pour tout ». Ces quantiﬁcateurs sont utilisés en mathématiques et en logique des prédicats. Il est fréquent en mathématiques d’utiliser les mots « tel que », parfois abrégés t.q. (« such that » ou s.t. en anglais), ou simplement de les remplacer par une barre verticale ou deux points comme dans certaines notations de l’exemple 1.7. Notation 1.11. Quand cela a du sens, on peut ajouter à ces ensembles les symboles +, −et ∗. Le + signiﬁe que l’on ne considère que les nombres positifs ou nuls, le −que les négatifs ou nuls, et l’étoile ∗que l’on enlève zéro. On peut donc parler de R∗ + , N∗ou encore Q∗ −. Déﬁnition 1.12. R est muni des relations <, >, ≤, ≥: 1. x < y se lit « x est strictement inférieur à y » ; 2. x ≤y se lit « x est inférieur ou égal à y » ; 3. x > y se lit « x est strictement supérieur à y » ; 4. x ≥y se lit « x est supérieur ou égal à y ». I. 1. ENSEMBLES ET NOTATIONS 9 Université de Neuchâtel Août 2021 Campus d’Été - Cours de Préparation Mathématiques - Section Générale Déﬁnition 1.13. Soient deux nombres réels a, b. On déﬁnit les ensembles suivants : 1. [a, b] = {x ∈R | a ≤x ≤b} ; 2. [a, b[= {x ∈R | a ≤x < b} ; 3. ]a, b] = {x ∈R | a < x ≤b} ; 4. ]a, b[= {x ∈R | a < x < b} ; 5. [a, +∞[= {x ∈R | a ≤x} ; 6. ]a, +∞[= {x uploads/Geographie/ cours2021sectiongenerale-decoup.pdf