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Hlma502 1819 cc1 AL nn éeM a t h-é m a t iques HLMA Topologie Contrôle continu novembre durée h N B Documents calculatrices téléphones portables interdits La qualité de la rédaction et de la présentation sera prise en compte dans la notation Les exercices

AL nn éeM a t h-é m a t iques HLMA Topologie Contrôle continu novembre durée h N B Documents calculatrices téléphones portables interdits La qualité de la rédaction et de la présentation sera prise en compte dans la notation Les exercices sont indépendants Partie Démonstrations de cours o? Ne tBc oEmnmietanltiqcueessc oncsoingsniegsnessonptouutrilliaséreésd action des démonstrations Bien faire appara? tre Equxeelarcbiocuele o uv e rtpeoBin ta rS oeitst Xun ed paurntieesopuavceermteédtreiqXue Uettilsisoeiernletsap ??ropXriéettérs Montrer d'une distance C et la dé nition des ouverts d'un espace métrique sqEouxi'eielnrtecxxii sctyee ?? de Xux Mcopononsittnarten rteOqsnu es ed ? C deot ndn eddtéee lulnexissdsqiesuntetanl ecseds mxdê meyt eds ? o ouverts d'un espace métrique pEXrxo dedurXict iXcete? s i YV de setlpauondiniosuttsav nercSteodidee ? n tYa sXdsoY cd i Xéea loàertsdX UY? e tdVYd Ye dsteMuuxonneotsurpevarecreqtsudemesé itXrUiq? ueesYst udOn ? no muUvuetnritliitsdeleer C la dé nition de d ? et des ouverts d'un espace métrique Exercice points Soit X d un espace métrique et soit A une partie de X Montrer que si A est une partie compacte de X alors A est fermée dans X M comonptarcetre que si X est compact et si A est fermée dans X alors A est une partie Utiliser la caractérisation séquentielle de la compacité et du fait d'être fermé mEéxterirqcuiecse a ve c X cpoominptasc t SMoitonftr erXqu ?'aloYrs ufneesatpupnliicfaotrmionémceonntticnounetiennuter e deux espaces Raisonner par contraposée Utiliser la caractérisation séquentielle de la compacité CPartie Exercices d'une Exercice diam A p a rtipeobinortn éeSoAit X ? X C de studné enspi apcaer métrique On rappelle que le diamètre diam A sup d x y x y ?? A Soient A diam A et dBiadmeu Bx p arties bornées de X telles que A ?? B ? Montrer que diam A ?? B ? Exercice points Soit X d un espace métrique et soient A B deux parties de X On suppose que A est ouverte a Montrer que A ?? B ? A ?? B b Montrer que si A ?? B ? alors A ?? B ? DAo ??nnBer ? unAe ??xeBm ple d'espace métrique X d et de parties A B avec A non ouverte et Exercice points N B Vous pouvez admettre le résultat d'une question pour traiter Soient les suivantes X d un espace métrique compact et f X ? X une application telle que d f x f y ? d x y quels que soient x y ?? X On pose f idX application identité et fn f f Soient a b ?? X n fois a b MOfno n pnto r esaer a ? vn e ??ncN se o tin fq un 'ni l eb x i s ??tne ??N un sneo iee xnMttroacncottnirovenerrqg uen etNes ? N telle que les deux suites et lim f ? n a a lim f ? n b b n ? ? n ? ? et en déduire que d f a f b d a b c Que vient-on de démontrer