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On en tire une hasard, et on considère les événements Les événements et sont-ils indépendants? 2. Reprendre la question avec une urne contenant 13 boules. Indication Corrigé 1. On a : On a donc , et Les événements et sont indépendants. A = "tirage d'un nombre pair'', B = "tirage d'un multiple de 3''. A B A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} B = {3, 6, 9, 12} A ∩B = {6, 12}. P(A) = 1/2 P(B) = 1/3 P(A ∩B) = 1/6 = P(A)P(B). A B 2. Les événements , et s'écrivent encore exactement de la même façon. Mais cette fois, on a : , et . Les événements et ne sont pas indépendants. C'est conforme à l'intuition. Il n'y a plus la même répartition de boules paires et de boules impaires, et dans les multiples de 3 compris entre 1 et 13, la répartition des nombres pairs et impairs est restée inchangée. Exercice 2 - Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Votre voisine a deux enfants dont vous ignorez le sexe. On considère les trois événement suivants : ="les deux enfants sont de sexes différents" ="l'ainé est une ﬁlle" ="le cadet est un garçon". Montrer que , et sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants. Indication Corrigé Exercice 3 - Probabilité d'une réunion et indépendance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient événements d’un espace probabilisé . On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives . Donner une expression simple de en fonction de . Application : on suppose qu'une personne est soumise à expériences indépendantes les unes des autres et qu'à chaque expérience, elle ait une probabilité d'avoir un accident. Quelle est la probabilité qu'elle ait au moins un accident? Indication Corrigé Exercice 4 - Indépendance impossible [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On suppose qu'on a un espace probabilisé tel que l'univers est un ensemble ﬁni de cardinal un nombre premier , et que le modèle choisi soit celui de l'équiprobabilité. Prouver que deux événements et non triviaux (différent de et ) ne peuvent pas être indépendants. Indication Corrigé Exercice 5 - Circuit électrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé A B A ∩B P(A) = 6/13 P(B) = 4/13 P(A ∩B) = 2/13 ≠24/169 A B A B C A B C A1, … , An n (Ω, P) pi = P(Ai) P(A1 ∪⋯∪An) p1, … , pn n p Ω p A B ∅ Ω 1. Soient trois événements. Montrer que : 2. On dispose de 3 composants électriques et dont la probabilité de fonctionnement est , et de fonctionnement totalement indépendant les uns des autres. Donner la probabilité de fonctionnement du circuit 2.1. si les composants sont disposés en série. 2.2. si les composants sont disposés en parallèle. 2.3. si le circuit est mixte : est disposé en série avec le sous-circuit constitué de et en parallèle. Indication 1. Appliquer trois fois la formule . 2. On note l'événement : ``le circuit fonctionne''. Il faut calculer pour le premier cas , pour le second , et pour le troisième . Corrigé 1. On procède en deux temps. D'une part : Mais, et On appelle aussi ceci la formule du crible de Poincaré, elle se généralise avec plusieurs événements par récurrence. 2. On note l'événement : ``le composant fonctionne''. Par hypothèse, les événements sont mutuellement indépendants. Il faut calculer pour le premier cas (le circuit formé par les trois composants disposés en série fonctionne si et seulement si les trois composants fonctionnent), pour le second (le circuit formé par les trois composants disposés en parallèle fonctionne si et seulement si un des trois composants fonctionne), et pour le troisième . On a : 2.1. Par indépendance des événements : 2.2. D'après la formule précédente, et par indépendance des événements : A, B, C P(A ∪B ∪C) = P(A) + P(B) + P(C) −P(A ∩B) −P(A ∩C) −P(B ∩C) + P(A ∩B ∩C). C1, C2 C3 pi C1 C2 C3 P(F ∪G) =. . . Fi Ci P(F1 ∩F2 ∩F3) P(F1 ∪F2 ∪F3) P(F1 ∩(F2 ∪F3)) P ((A ∪B) ∪C) = P(A ∪B) + P(C) −P((A ∪B) ∩C). P((A ∪B) ∩C) = P((A ∩C) ∪(B ∩C)) = P(A ∩C) + P(B ∩C) −P(A ∩B ∩C), P(A ∪B) = P(A) + P(B) −P(A ∩B). Fi Ci Fi P(F1 ∩F2 ∩F3) P(F1 ∪F2 ∪F3) P(F1 ∩(F2 ∪F3)) P(F1 ∩F2 ∩F3) = p1p2p3. P(F1 ∪F2 ∪F3) = p1 + p2 + p3 −p1p2 −p1p3 −p2p3 + p1p2p3. 2.3. L'événement est indépendant de . On a donc : soit Exercice 6 - [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Un livre contient 4 erreurs, numérotées de 1 à 4, et est relu par une suite de relecteurs pour correction. A chaque relecture, chaque erreur est corrigée avec une probabilité 1/3. Les erreurs sont corrigées de manière indépendante les unes des autres, et les relectures sont indépendantes les unes des autres. 1. Quelle est la probabilité que l’erreur numéro 1 ne soit pas corrigée à l’issue de la -ième lecture ? 2. Quelle est la probabilité que le livre soit entièrement corrigé à l’issue de la -ième lecture ? Combien faut-il de relectures pour que cette probabilité soit supérieure à 0.9 ? Indication Corrigé 1. Notons l'événement "l'erreur numéro 1 n'est pas corrigée par le -ème relecteur". Alors on a et les événements sont indépendants. On s'intéresse à la probabilité de l'événement qui vaut donc 2. Notons l'événement "l'erreur numéro n'est pas corrigé à l'issue de la -ième relecture". D'après la question précédente, on a pour . Le livre est entièrement corrigé après la -ième relecture si l'événement est réalisé. Les événements étant indépendants, le livre est entièrement corrigé après relectures avec une probabilité valant Cette probabilité est supérieure à si et seulement si F2 ∪F3 F1 P(F1 ∩(F2 ∪F3)) = P(F1)P(F2 ∪F3) = P(F1)(P(F2) + P(F3) −P(F2 ∩F3)) P(F1 ∩(F2 ∪F3)) = p1 (p2 + p3 −p2p3) . n n Ai i P(Ai) = 2/3 Ai A1 ∩⋯∩An P(A1 ∩⋯∩An) = n ∏ i=1 = . 2 3 2n 3n Bj j n P(Bj) = 2n/3n j = 1, … , 4 n ⋂4 j=1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Bj Bj n 4 ∏ j=1 (1 − ) = (1 − ) 4 . 2n 3n 2n 3n 0, 9 et donc ceci fonctionne dès que . Exercice 7 - Indicatrice d'Euler [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit un entier ﬁxé. On choisit de manière équiprobable un entier dans . Pour tout entier , on note l'événement " divise ". On note également l'événement " est premier avec ". Enﬁn, on note les diviseurs premiers de . 1. Exprimer en fonction des . 2. Pour tout entier naturel qui divise , calculer la probabilité de . 3. Montrer que les événements sont mutuellement indépendants. 4. En déduire la probabilité de . 5. Application : on note le nombre d'entiers compris entre et qui sont premiers avec . Démontrer que Indication Corrigé Exercice 8 - Deuxième lemme de Borel-Cantelli [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit un espace probabilisé. Soit une suite d'événements indépendants. On note . On suppose que et on souhaite prouver que . 1. Préliminaire. Justiﬁer que pour tout , . 2. Soient . On note et . 2.1. Démontrer que ( étant ﬁxé), 2.2. En déduire que . 2.3. En déduire que . (1 − ) 4 ≥0.9 ⟺( ) n ≤1 −(0.9)1/4 ⟺n ln(2/3) ≤ln(1 −0.91/4) ⟺n ≥ 2n 3n 2 3 ln(1 −0.91/4) ln(2/3) n ≥10 n > 1 x {1, … , n} m ≤n Am m x B x n p1, … , pr n B Apk m n Am Ap1, … , Apr B ϕ(n) 1 n n ϕ(n) = n r ∏ k=1 (1 − ) . 1 pk (Ω, F, P) (An)n≥0 A = lim supn An ∑n P(An) = +∞ P(A) = 1 x > −1 ln(1 + x) ≤x n ≤N En,N = ⋂N k=n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Ak En = ⋂k≥n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Ak n limN→+∞ln (P(En,N)) uploads/Histoire/ exercices-corriges-probabilites-conditionnelles-et-independance.pdf