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Chapitre 8 Terminale S Calcul des probabilités Conditionnement & indépendance C

Chapitre 8 Terminale S Calcul des probabilités Conditionnement & indépendance Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Conditionnement par un événement de probabilité non nulle. Notation P A(B) . Indépendance de deux événements. • Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée. • Exploiter la lecture d’un arbre pondéré pour déterminer des probabilités. • Calculer la probabilité d’un événement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l’univers. • Démontrer que si deux événements A et B sont indépendants, alors il en est de même pour A et B . On représente une situation à l’aide d’un arbre pondéré ou d’un tableau. On énonce et on justifie les règles de construction et d’utilisation des arbres pondérés. Un arbre pondéré correctement construit constitue une preuve. Le vocabulaire lié à la formule des probabilités totales n’est pas un attendu du programme, mais la mise en oeuvre de cette formule doit être maîtrisée. Cette partie du programme se prête particulièrement à l’étude de situations concrètes. • Des activités algorithmiques sont menées dans ce cadre, notamment pour simuler une marche aléatoire. • [SVT] Hérédité, génétique, risque génétique. I. Probabilités conditionnelles 1.1) Étude d'un exemple. On considère l'univers Ω formé des trente élèves de la classe de Terminale S. L'expérience aléatoire consiste à choisir un élève au hasard dans cette classe. On considère les deux événements suivants : A = « l'élève choisi fait de l'allemand en LV1 » ; A est l'événement contraire. F = « l'élève choisi est une fille » ; F est l'événement contraire. Chacun de ces deux caractères partage Ω en deux parties : A et A ainsi que F et F . On obtient le tableau des effectifs suivants : F F Totaux A 10 7 17 A 4 9 13 Totaux 14 16 30 Chaque élève a exactement la même chance d'être choisi. Nous sommes donc en situation d'équiprobabilité : – La probabilité que l'élève choisi fasse de l'allemand est donnée par : P(A)= Nombre d ' issues favorables Nombre d ' issues possibles = card A card Ω=17 30 – La probabilité que l'élève choisi soit une fille est donnée par : P(F)= Nombre d ' issues favorables Nombre d ' issues possibles =card F card Ω=14 30 Term.S – Ch.8 Proba. conditionnelles © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 1/15 Maintenant, On choisit au hasard un élève qui fait allemand en LV1. Calculer la probabilité que ce soit une fille. On change d'univers : Le nouvel univers est A. L'élève choisi est donc dans A∩F F F Totaux A 10 7 17 A 4 9 13 Totaux 14 16 30 – « On choisit un élève qui fait allemand en LV1 », la probabilité que cet élève soit une fille, notée PA (F), est donnée par : P A( F)= Nombre d ' issues favorables Nombre d ' issues possibles =card A∩F card A =10 17 On peut encore écrire P A (F), de la façon suivante : P A(F)=card A∩F card Ω ×card Ω card A =P(A∩F)× 1 P(A) ou encore : P A(F )= P(A∩F) P (A) Conclusion : On peut exprimer « la probabilité de F, sachant que A est réalisé » comme quotient de P (A∩F) et de P (A) . 1.2) Définition de la probabilité conditionnelle Définition : Soit Ω un ensemble fini et P une loi de probabilité sur l'univers Ω liée à une expérience aléatoire. Soit A et B deux événements de Ω tels que P(B)≠0 . On définit la probabilité que « A soit réalisé sachant que B est réalisé » de la manière suivante : P B(A)= P(A∩B) P(B) où PB(A) se lit « P-B-de-A » PB(A) se notait anciennement P(A / B) et se lisait « P-de-A-sachant-B ». En effet, dans cette définition, « l'univers est restreint à B ». – L'ensemble de toutes les issues possibles est égal à B – L'ensemble de toutes les issues favorables est égal à A∩B . Term.S – Ch.8 Proba. conditionnelles © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 2/15 Conséquences immédiates : Soit A et B deux événements de Ω tels que P(B)≠0 . i) On peut écrire toutes les probabilités comme des probabilités conditionnelles. P(Ω)=1 . Donc pour tout événement A : P(A)=PΩ(A) . ii) PB(B)=1 ; PB(Ω)=1 ; PB(∅)=0 . iii) L'événement contraire de « A est réalisé sachant que B est réalisé » est « A est réalisé sachant que B est réalisé ». En effet, B=(B∩A)∪(B∩A) : PB(A)+P B(A)=1 ou encore PB(A)=1−P B(A) iv) Si A et C sont deux événements quelconques, on peut étendre la formule vue en Seconde aux probabilités conditionnelles : PB(A∪C)=PB(A)+P B(C)−PB(A∩C) v) Si A et C sont deux événements incompatibles, on a : PB(A∪C)=PB(A)+P B(C) Conséquence très importante : (en écrivant l'égalité des produits en croix) : Pour tous événements A et B de Ω tels que P(B)≠0 , on obtient la formule des probabilités composées : P( A∩B)=P B( A)×P(B) Exemple : Dans notre exemple ci-dessus, nous avons déjà calculé : P A(F)=10 17 et P(A)=17 30 . On choisit un élève au hasard dans la classe de TS2. Calculer la probabilité que ce soit une fille qui fait de l'allemand. Ce qui correspond à l'événement A∩F . Nous avons deux méthodes d'aborder cette question : – 1ère méthode : Nous connaissons déjà les effectifs. Donc P(A∩F)= Nombre d ' issues favorables Nombre d ' issues possibles =card A∩F card Ω =10 30 – 2ème méthode : Nous appliquons la formule ci-dessus : P(A∩F)=P A(F)×P( A)=10 17×17 30=10 30 qu'on peut naturellement simplifier... 1.3) Des probabilités dans un tableau à double entrée. On pourrait présenter les données de notre exemple sous la forme de tableau de fréquences ou de proportions ou de probabilités des différents événements : F F Totaux F F Totaux A 0,33 0,23 0,56 ⇔ A P(A∩F) P(A∩F) P(A) A 0,14 0,3 0,44 A P(A∩F) P(A∩F) P(A) Totaux 0,47 0,53 1 Totaux P(F) P(F) P(Ω) Term.S – Ch.8 Proba. conditionnelles © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 3/15 On utilise donc la formule des probabilités conditionnelles pour calculer P A(F) comme suit P A( F)= P(A∩F ) P(A) =0,33 0,56≃0,59 et on avait déjà calculé P A( F)=10 17≃0,59 . II. Partition de l'univers Définition : Soit Ω un ensemble fini et B1, B2,..., Bn (n⩾2) une famille d'événements de Ω . On dit que les B1, B2,..., Bn, (n⩾2) forment ou réalisent une partition ou un système complet d'événements de Ω si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites : i) Tous les Bi sont non vides, c'est-à-dire : Bi≠∅pour tout i ; (cette condition n'est pas toujours vérifiée dans certaines démonstrations) ; ii) Ces événements sont deux à deux incompatibles, c'est-à-dire : pour tout i (1⩽i⩽n) et tout j (1⩽j⩽n) [ i≠j⇒Bi∩B j=∅] ; iii) La réunion de tous ces événements est égale à Ω ; c'est-à-dire : B1∪B2∪⋯∪Bn=Ω . Exemple : Soit Ω = l'ensemble des élèves du lycée. On choisit un élève au hasard et on lui demande sa classe. On pose B1 = « l'élève est en seconde », B2 = « l'élève est en première », B3 = « l'élève est en Terminale » et B4 = « l'élève est en BTS », alors B1, B2, B3 et B4 forment une partition de Ω . Un cas particulier très important : Soit B un événement de Ω tel que P(B)≠0 . Alors B et B forment une partition de l'univers Ω (n=2). Exemple : Au lycée, si on pose B = « l'élève fait de l'allemand ». Alors B et B forment une partition de Ω Théorème des probabilités totales : Théorème 1. : Soit Ω un ensemble fini et B1, B2,..., Bn (n⩾2) une partition de Ω . Soit A un événement quelconque de Ω . Alors P( A)=P( A∩B1)+P( A∩B2)+⋯+P( A∩Bn) P( A)=PB1(A)×P(B1)+PB2( A)×P(B2)+⋯+PBn( A)×P(Bn) qu'on peut encore écrire : P(A)=∑ i=1 n P Bi( A)×P(Bi) Term.S – Ch.8 Proba. conditionnelles © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 4/15 Démonstration Soit A un événement quelconque de Ω . Alors A∩B1, A∩B2,…, A∩Bn forment une partition de A. Ces n événements ne sont pas tous (forcément) non vides ; auquel cas, on peut supprimer les Bk pour lesquels A∩Bk=∅, c'est-à-dire P(A∩Bk)=0 . Ces n événements sont deux à deux incompatibles et leur réunion est égale à A. Par conséquent, A=(A∩B1)∪(A∩B2)∪…∪(A∩Bn) . Donc P(A)=P((A∩B1)∪(A∩B2)∪…∪( A∩Bn)) donc P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+⋯+P( A∩Bn) Comme pour tout i (1⩽i⩽n) : P(A∩Bi)=PBi(A)×P(Bi) on obtient : P( A)=PB1(A)×P(B1)+PB2( A)×P(B2)+⋯+PBn( A)×P(Bn) CQFD. Un cas particulier très important : Théorème 2. : Soit B un événement de Ω tel que P(B)≠0 . Alors B et B forment une partition de l'univers Ω . (n=2). Donc, pour tout événement A de Ω , on a : P( A)=P( A∩B)+P( A∩B) P( A)=P B( A)×P(B)+P B(A)×P(B) Exemple : Soit A et B deux événements de Ω tels que P(A∩B)=0,2 uploads/Histoire/ aatsch08-proba-conditionnelles.pdf