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GAUSS Le Prince des mathématiciens Jean CEA Johann Carl Friedrich Gauss • Johan

GAUSS Le Prince des mathématiciens Jean CEA Johann Carl Friedrich Gauss • Johann Carl Friedrich Gauss, né le 30 avril 1777 à Brunswick et mort le 23 février 1855 à Göttingen, est un mathématicien, astronome et physicien allemand. Il a apporté de très importantes contributions à ces trois domaines. (Wikipédia) • Famille assez pauvre, mère illettrée. Travail acharné de son grand-père et de son père. En effet, pour être citoyen de Brunswick et bénéficier de certains avantages, il fallait être propriétaire d’un appartement. (image sur Wikimedia) Théorèmes de Gauss • Théorème des nombres triangulaires de Gauss, ou « théorème eurêka » ; • Théorème de Gauss sur la fonction digamma ; • Theorema egregium de Gauss sur la courbure des surfaces ; • Théorème de d'Alembert-Gauss, affirmant que les nombres complexes forment un corps algébriquement clos ; • Théorème de Gauss-Wantzel, établissant la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polygone régulier soit constructible à la règle et au compas ; • Théorème de Gauss-Lucas, qui énonce que les racines du polynôme dérivé sont situées dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des racines du polynôme d'origine ; • Théorème de Gauss-Bonnet, liant des caractéristiques géométriques et topologiques d'une surface ; • Théorème de Gauss-Markov en statistiques ; • En électromagnétisme, un théorème de Gauss reliant le flux d'un champ électrique à travers une surface et la répartition des charges électriques ; • En mécanique, l'analogue gravitationnel du théorème de Gauss en électromagnétisme. Lemmes de Gauss • Lemme de Gauss en arithmétique élémentaire, généralisant le lemme d'Euclide sur la divisibilité ; • Lemme de Gauss concernant l'arithmétique des polynômes ; • Lemme de Gauss en théorie des nombres, utilisé dans certaines preuves de la loi de réciprocité quadratique ; • Lemme de Gauss en géométrie riemannienne qui étend la propriété d'isométrie locale à celle d'isométrie radiale de l'application exponentielle. Sans compter les innombrables méthodes de Gauss pour résoudre les problèmes les plus variés ! « Au prince des mathématiciens » Un an après sa mort, Gauss aurait eu 79 ans La qualité extraordinaire de ses travaux scientifiques était déjà reconnue par ses contemporains. Dès 1856, le roi de Hanovre fit graver des pièces commémoratives avec l'image de Gauss et l'inscription Mathematicorum Principi (« au prince des mathématiciens » en latin). Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes, la postérité découvrit surtout l'étendue de ses travaux lors de la publication de ses Œuvres, de son journal et d'une partie de ses archives, à la fin du xixème siècle. http://topodominique.over-blog.com/pages/Carl_Friedrich_Gauss-824904.html Un livre intéressant parce qu’il met en scène Gauss dans son époque, à Brunswick et à Göttingen, avec ses deux épouses successives, ses six enfants, ses amis et sa passion pour les mathématiques. Naturellement, il est aussi question de sa créativité exceptionnelle. Une révolution de la théorie des nombres Gauss Génies Mathématiques RBA La collection est parrainée par Etienne GHYS Un enfant stupéfiant : 3 ans • Premier « Miracle ». • Son père faisait ses comptes à haute voix. A la fin, quand il annonça le total, le petit Gauss corrigea le résultat ! • Stupéfaction du père, il recompte et trouve que son fils a raison. • Incrédulité du père : qui a lui appris à compter ? Personne ! Le mystère n’a jamais été éclairci. • Mais, Gauss s’en souviendra pendant toute sa vie, il en parlera à plusieurs reprises. La somme des 100 premiers nombres entiers : 9 ans • Deuxième « miracle », il allait à l’école communale près de chez lui. Le maître qui avait plusieurs niveaux dans sa classe voulait disposer d’un peu de temps pour gérer quelques problèmes administratifs. Il pensait occuper les « petits » avec le problème suivant, facile à énoncer : quelle est la somme des 100 premiers nombres entiers ? (1 + 2 + 3 … + 98 + 99 + 100). • Pour le jeune Gauss, problème posé, problème résolu : il écrivit quelque chose sur son ardoise et la posa sur la table du maître en disant « La voici ». Le maître ouvrit des yeux ronds et regarda le résultat avec stupéfaction : 5050. • C’était bien la somme des 100 premiers nombres entiers ! Le calcul de la somme des 100 premiers nombres entiers (I) On ne connait pas avec certitude la technique employée par Gauss. Il est possible que ce soit celle des nombres triangulaires : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55… (autrement dit la suite des sommes Sn = 1+ 2+ 3 + .. + n). Dessin avec n = 4 2.Sn = n.(n+1) Sn = n.(n+1)/2 S100 = 100.(100+1)/2 = 5050 Le calcul de la somme des 100 premiers nombres entiers (II) Peut-être la plus simple des méthodes (très voisine de la précédente) : Sn = 1 + 2 + 3 … + (n-2) + (n-1) + n Sn = n + (n-1) + (n-2) … + 3 + 2 + 1 2.Sn = (n+1) + (n+1) … + (n+1) + (n+1) + (n+1) 2.Sn = n . (n + 1) Sn = n . (n + 1) / 2 Le calcul de la somme des 100 premiers nombres entiers (III) (*) Sn = n . (n + 1) / 2 Méthode par récurrence : on veut démontrer que la relation (*) est vraie pour tout entier n positif n > 0. Est-elle vraie pour n = 1 ? OUI : s1 = 1 On va maintenant démontrer ceci : (*) est vraie pour n ( >= 1 ) (*) est vraie pour n+1 Démonstration évidente : hypothèse Sn = n . (n + 1) / 2 Calculons Sn+1 Sn+1 = Sn + (n+1) = n . (n + 1) / 2 + (n + 1) = ( n + 1)(n / 2 +1) = (n + 1)(n + 2)/2 CQFD On a vu que la relation (*) est vraie pour n = 1. Donc elle est vraie pour 2, puis pour 3, puis pour 4 … et ainsi de suite pour tous les nombres entiers. Le Duc de Brunswick finance ses études : 14 ans • Toute la ville parle du jeune prodige. Sa réputation arrive chez le Duc de Brunswick. En 1791, Gauss est convoqué, le duc est subjugué par une telle intelligence. Il décide de surveiller le déroulement de sa carrière, et surtout, il s’engage à financer ses études. Il respectera son engagement. • Heureuse initiative, car le père Gauss voulait, lui, que Johann Carl Friedrich arrête ses études et travaille afin d’améliorer les finances de la famille (contrairement à l’avis de la mère). Théorème des nombres premiers : 15 ans • Le nombre π(x) de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est équivalent, lorsque le réel x tend vers +∞, au quotient de x par son logarithme népérien : soit π(x) x/ln(x) c'est-à-dire, que le rapport de ces 2 expressions a pour limite 1 lorsque x tend vers l’infini. Il y a donc un nombre infini de nombres premiers. • Le théorème des nombres premiers a été conjecturé dans la marge d'une table de logarithmes par Gauss en 1792 ou 1793 alors qu'il avait seulement 15 ou 16 ans (selon ses propres affirmations ultérieures) et par Adrien-Marie Legendre (ébauche en 1797-1798, conjecture précise en 1808). • Le Russe Pafnouti Tchebychev a établi en 1852 que si x est assez grand, π(x) est compris entre 0,921x/ln(x) et 1,106x/ln(x). • Le théorème a finalement été démontré indépendamment par Hadamard et La Vallée Poussin en 1896 à l'aide de méthodes d'analyse complexe. • https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_nombres_premiers Le cheminement de GAUSS à 15 ans • Il était au Collegium Carolinum et avait fréquenté assidument la bibliothèque. • Il disposait déjà de listes plusieurs milliers de nombres premiers (crible d’Ératosthène ?) et des tables de logarithmes ! • Notation : π(n) = nombre de nombres premiers <= n. • Il fit des comptes : π(10) = 4 π(100) = 25 π(1000) = 168 et ainsi de suite jusqu’à π(10 000 000) = 664.579. Ensuite, il calcula la distance moyenne entre les nombres premiers de chaque groupe et surtout son augmentation. Les dernières augmentations des distances moyennes semblaient converger vers 2,31. Lien entre multiplication par 10 et augmentation de 2,31 : les logarithmes , plus particulièrement le logarithme népérien ln(10) = 2,303 • La formule suivante : π(x) x/ln(x) ne sera pas publiée mais annotée sur la table de logarithmes car Gauss n’avait pas une démonstration, c’était une conjecture seulement ! Il n’aimait pas ça ! • Ce prince, ce gamin n’avait que 15 ans ! En classe de troisième ? Gauss et les congruences • La congruence sur les entiers est une relation pouvant unir deux entiers. Elle fut pour la première fois étudiée en tant que structure par le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss à la fin du xviiie siècle et présentée au public dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Elle est aujourd'hui couramment utilisée en théorie des nombres, en algèbre générale et en cryptographie. Elle représente le fondement d'une branche mathématique uploads/Histoire/ gauss.pdf