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Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr Page 1/9 A

Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr Page 1/9 ARITHMETIQUE 0) Introduction L’arithmétique est la reine des disciplines mathématiques Pourtant,bien que maniant des objets et des concepts qui nous paraissent aujourd’hui simples et familiers (les nombres entiers), elle développe des théories qui peuvent devenir très complexes, et se retrouve dans de nombreuses branches comme la cryptographie, les codes secrets, etc… 1) Approche historique de la notion de nombre Il semble que depuis « toujours », les nombres entiers naturels ont existé. Cependant ils n’ont pas toujours été comme nous les concevons aujourd’hui. Une notion intuitive des petits nombres est assez naturelle, ainsi, les bergers de l’Antiquité utilisaient des cailloux (« calculus » en latin) pour faire rentrer le soir autant de moutons qu’ils en avaient fait sortir le matin. Avant d’aboutir à la conception actuelle des nombres entiers il a fallu d’abord donner un nom aux nombres (aujourd’hui encore il y a des peuples qui n’ont pas de nom de nombre : les Aborigènes australiens, les Andamans) puis leur attribuer des notations. Enfin la notion de nombre entier prend un sens dans la pratique des opérations élémentaires. Toutefois, une véritable arithmétique théorique (arithmos veut dire nombre en grec ancien), où les nombres sont conçus comme des objets mathématiques abstraits, indépendants de leur représentation écrite et des objets comptés, ne s’est constituée que progressivement : chez les Babyloniens (17ème siècle av-JC), puis dans la mathématique grecque : nombres figurés, moyennes, suites chez les pythagoriciens, théorie du PGCD, nombres premiers et leur infinitude (à partir de 500 ans av-JC). Les mathématiciens arabes du moyen âge ont repris et développé presque tous les problèmes arithmétiques des grecs ». C’est de l’Inde, que nous viennent les notations actuelles des nombres, transmises par les arabes, et, semble-t-il, le « zéro » (le mot français chiffre est une déformation du mot arabe sifr désignant zéro) : On attribue à Brahmagupta au 7è siècle, l'invention du zéro, en fait déjà à l'état latent dans les mathématiques indiennes de l'époque, lié à l'usage d'un système décimal positionnel que l'Occident adoptera, transmis par les arabes (Maures) lors de leurs invasions en Andalousie (sud de l'Espagne : royaume arabe de Grenade, califat de Cordoue). Brahmagupta énonce même la règle des signes relative à la multiplication. » Et ce n’est que depuis le 15ème siècle que la notation dite « en chiffres arabes » que nous utilisons aujourd’hui s’est imposée. Ainsi le nombre ne s’est pas construit en un jour et, si l’arithmétique a encore considérablement progressé depuis le 15ème siècle, son histoire continue. 2) Systèmes de numération Deux sortes de systèmes de numération sont les plus couramment employés dans l’histoire. Le système additionnel et le système positionnel. Pour chaque système, des symboles sont utilisés pour écrire les nombres. 2-1) Exemples de systèmes additionnels : La numération égyptienne : Les nombres sont représentés par des pictogrammes dont les plus simples sont : (unité), (dix), (cent) (cent mille) Le résultat est la somme des nombres représentés par les pictogrammes. Numération égyptienne Numération usuelle 542 200 502 Exemple d’addition : + = (Transcription : 325+200502=200827) Ce mode de numérotation est assez « lourd » à employer, car l’écriture du nombre 99 réclamerait ainsi 9+9=18 symboles ! ( ) 99 9 10 9 = × + Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr Page 2/9 La numération grecque : C’est un système décimal additionnel. Les grecs se servaient de lettres, de signes complémentaires et de codage. Lecture des lettres : alpha, bêta, gamma, delta, epsilon, episemon ,zêta, êta, thèta, iota, kappa, lambda, mu, hô,phi, sampi…Episemon et sampi ne sont pas des lettres de l’alphabet grec. La présence d’une sorte de virgule comme on le voit devant le dernier alpha indique une multiplication par 1000 Numération grecque Numération usuelle φµβ 542 ,φρη 500 108 2-2) Exemples de systèmes positionels - notion de base: Un système de numération est dit POSITIONNEL si la valeur d'un chiffre dépend de sa position Un système de numération positionnel se caractérise par sa base, c'est-à-dire le nombre de « chiffres » nécessaires pour écrire les nombres : - Un système de numération en base 2 utilise deux symboles d’écriture, deux chiffres : le 0 et le 1. Il est appelé système binaire. - Le système que nous utilisons couramment est un système en base 10, système décimal (il s’introduit de façon naturelle dans l’histoire par correspondance avec les dix doigts de la main). En base 10, on utilise les dix chiffres : 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. - Un système hexadécimal est un système en base 16. - Un système sexagésimal est un système en base 60. (2000 ans av-JC, les Babyloniens employaient ce système. L’intérêt du nombre 60 étant qu’il admet de nombreux diviseurs). Définition : Un nombre noté 1 2 2 1 0 ...... b n n n a a a a a a − − dans un système de base b est égal à 1 2 2 1 1 2 2 1 0 ...... n n n n n n a b a b a b a b a b a b − − − − × + × × + + × × + × 0 Exemples : En base 4, 4 2 1 0 231 2 4 3 4 1 4 97 = × + × + × = , en base 2, 100 en base 5, 5 3 2 1 0 4132 4 5 1 5 3 5 2 5 542 = × + × + × + × = 2 3 2 0 0 1 1 2 0 2 0 2 1 2 9 = × + × + × + × = 2-2-1) Notre système de numération habituel : Système positionnel de base 10 Quelques principes de ce système: - Dix symboles sont nécessaires pour représenter les nombres. Ces dix symboles sont les chiffres : 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 et 9. Le signe 0 marque l’absence d’un groupement d’unités. Exemple: 403 est un nombre dans lequel il n’y a pas de regroupement en dizaine. - La valeur d’un signe dépend de sa position dans l’écriture du nombre. Exemple: Le symbole 2 n’a pas la même valeur dans les nombres 213 , 425 , 672 ou 2978: le 2 de 213 vaut 2 centaines, celui de 425 vaut 2 dizaines, celui de 672 vaut deux unités et celui de 2978 vaut 2 mille. Le groupement est régulier, c’est à dire que le nombre d’éléments nécessaires d’une catégorie pour changer de position reste toujours le même. Dans le système décimal ce nombre est dix, c’est la base du système. Exemple: il faut dix unités pour avoir 1 dizaine, il faut 10 dizaines pour avoir 1 centaine... Ecriture d’un entier en base 10 : Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr Page 3/9 Influence de la base 10: Influence de la base 10: Le fait de travailler en base dix induit certaines propriétés dans les opérations: La retenue dans une addition correspond au passage à une catégorie supérieure Exemple : 7 et 5 font 12, je pose 2 et je retiens 1. Cette retenue désigne une dizaine qui n'a donc pas sa place dans la colonne des unités. Les décalages dans la multiplication, la règle des zéros: Exemple: Pour multiplier 625 par 10, je dis 10 fois 625 font 625 dizaines ou 6250 Dans les deux cas, la deuxième ligne correspond au produit de 123 par 50 et non par 5 comme beaucoup le croient.. La preuve par neuf, les règles de divisibilité sont encore des conséquences de la base 10. 2-2-2) Le système binaire. Il est utilisé aujourd’hui par exemple pour le traitement électronique de l’information (en informatique). Il utilise 2 chiffres : 0 et 1. Exemple : Dans le système binaire, le nombre , ou encore noté ( 2 11100101) 2 0101 1110 désigne, dans écriture décimale, le nombre : 7 6 5 4 3 2 1 11100101 1 2 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2 0 2 1 2 128 64 32 0 0 4 0 1 229 = × + × + × + × + × + × + × + × = + + + + + + + = 0 2-2-3) Changement de base dans l’écriture d’un entier : On effectue les divisions euclidiennes successives de l’entier 143 par 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 4 3 2 4 3 2 7 3 2 143 71 2 1 35 2 1 2 1 35 2 1 2 1 17 2 1 2 1 2 1 17 2 1 2 1 2 1 8 2 1 2 1 2 1 2 1 8 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = × + = × + × + = × + × + uploads/Histoire/ arithmetiques-cours.pdf