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Université du Québec à Montréal Faculté des sciences Département de mathématiques Une introduction aux mathématiques de l ? ingénierie ?nancière Document de référence Composé par Mathieu Boudreault Ph D F S A Professeur adjoint Département de mathématiques Université du Québec à Montréal Version du septembre avec une révision des notions de théorie de l ? intérêt et de probabilités ? Mathieu Boudreault C CTable des matières Préface ix Introduction Contexte Notations Exemples de produits dérivés Notions d ? arbitrage et de réplication Exercices Examen MFE F Exercices supplémentaires I Modèles à temps discret pour l ? actif sous-jacent Arbre binomial à une période Modèle Évaluation par réplication Évaluation neutre au risque Une simple réorganisation Arbitrage Théorème fondamental d ? évaluation Résumé Évaluation avec la probabilité réelle Exercices Examen MFE F Exercices supplémentaires Arbre binomial à deux périodes Modèle Évaluation par réplication Complément d ? informations Évaluation neutre au risque Arbitrage Théorème fondamental d ? évaluation Résumé iii Civ TABLE DES MATIÈRES Exercices Examen MFE F Exercices supplémentaires Généralisations et applications de l ? arbre binomial Arbre binomial à plusieurs périodes Évaluation par réplication Évaluation neutre au risque Options américaines Options sur autres actifs Applications variées Exercices Examen MFE F Exercices supplémentaires Arbres trinomiaux et marchés incomplets Modèle Évaluation par réplication Évaluation neutre au risque Arbitrage Théorème fondamental d ? évaluation Arbres trinomiaux à deux actifs risqués Applications actuarielles Résumé Exercices Examen MFE F Exercices supplémentaires II Modèle de Black-Scholes Mouvement brownien Rappels et intuitions Construction du mouvement brownien Mouvement brownien standard MBS Simulation Autres propriétés du MBS Mouvement brownien arithmétique MBA Simulation Mouvement brownien géométrique MBG Simulation Estimation des paramètres Exercices Examen MFE F Exercices supplémentaires CTABLE DES MATIÈRES v Introduction au calcul stochastique Introduction Di ?érentiation et intégration déterministe Di ?érentiation et intégration stochastique Calcul stochastique d ? Ito Exemples d ? application du lemme d ? Ito Simulation Exercices Examen MFE F Exercices supplémentaires Solutions au modèle de Black-Scholes Modèle Évaluation par réplication Équations aux dérivées partielles Stratégies auto- ?nancées Dérivation Évaluation neutre au risque Formule de Black-Scholes Simulation Exercices Examen MFE F Exercices supplémentaires Applications du modèle de Black-Scholes Options sur autres actifs Évaluation par réplication Évaluation neutre au risque Formule de Black-Scholes Options exotiques Options binaires Options asiatiques Options à barrière Options composées Options à écart Options d ? échange Exercices Examen MFE F Exercices supplémentaires Couverture de produits dérivés Contexte Réplication dans le modèle de Black-Scholes Couverture delta-neutre Couverture delta-gamma neutre Cvi TABLE DES MATIÈRES Autres lettres grecques Résumé Exercices Examen MFE F Exercices supplémentaires III Modèles et techniques avancés Techniques de réduction de variance Contexte Variable antithétique Variable de contrôle Échantillonage strati ?é Autres techniques Exercices Examen MFE F Exercices supplémentaires Introduction aux modèles de taux d ? intérêt aléatoire Contexte Types de taux d ? intérêt Structure des taux d ? intérêt Arbre binomial pour le taux d ? intérêt Dé ?nitions Accumulation et actualisation en intérêt stochastique Évaluation de titres à revenus ?xes et ses dérivés Exemples d ? évaluation Arbre binomial