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http ://o.castera.free.fr/ o.castera@free.fr Relativité restreinte Olivier Cast

http ://o.castera.free.fr/ o.castera@free.fr Relativité restreinte Olivier Castéra Le 6 juin 2022 Table des matières Chapitre 1. Les relativités 1 1.1 Principe de relativité 1 1.2 Les référentiels équivalents 1 1.3 Les théories de la relativité 2 1.3.1 Le groupe des transformations inertielles 2 1.3.2 Théorie de la relativité galiléenne 3 1.3.3 Théorie de la relativité restreinte 5 Chapitre 2. La transformation de Lorentz-Poincaré 7 2.1 Deux démonstrations avec l’hypothèse d’une vitesse limite 7 2.1.1 Vitesse de la lumière 7 2.1.2 Invariants relativistes 7 2.1.3 Les transformations de Lorentz-Poincaré 8 2.1.4 Distance spatiale 9 2.1.5 Distance spatio-temporelle 9 2.1.6 Équation de la sphère de lumière 10 2.1.7 Espace homogène et isotrope, temps homogène 10 2.1.8 Loi de composition interne 10 2.1.9 Intervalle élémentaire d’univers 11 2.1.10 Relativité du mouvement 11 2.1.11 Intervalle d’espace-temps 12 2.1.12 Transformation de Galilée 17 2.1.13 Symétrie de la transformation de Lorentz 18 2.1.14 Transformation générale de Lorentz 19 2.2 Démonstration sans l’hypothèse d’une vitesse limite 20 2.2.1 Principe de relativité 20 2.2.2 Homogénéité de l’espace et du temps 21 2.2.3 Référentiels équivalents 22 2.2.4 Causalité 22 2.2.5 Invariance par réﬂexion 23 2.2.6 Mouvement inertiel 23 2.2.7 Isotropie de l’espace 24 2.2.8 Loi de composition interne 25 2.2.9 Transformation de Lorentz 28 2.2.10 Référentiels galiléens 29 2 Table des matières Chapitre 3. Durée propre, longueur propre 31 3.1 Durée propre 31 3.2 Longueur propre 32 Chapitre 4. Diagrammes d’espace-temps 33 4.1 Mécanique classique 33 4.2 Relativité restreinte 35 4.2.1 Diagramme de Minkowski 35 4.2.2 Diagramme de Poincaré 42 Chapitre 5. Covariance et contravariance 45 5.1 Retour sur la notion de vecteur 45 5.1.1 Composantes contravariantes 45 5.1.2 Composantes covariantes 46 5.2 Base réciproque 47 Chapitre 6. Tenseur métrique 49 6.1 Base naturelle et métrique de l’espace 49 6.2 Déﬁnition 50 6.3 Utilité du tenseur métrique 51 6.3.1 Métrique de l’espace 51 6.3.2 Changement de composantes 51 6.3.3 Expression du produit scalaire 51 6.3.4 Expression de la base réciproque 52 Chapitre 7. Système de coordonnées 55 7.1 Base naturelle 55 7.2 Changement de coordonnées 57 Chapitre 8. Changement de référentiel 59 8.1 Mécanique non relativiste 59 8.2 Mécanique relativiste 59 Chapitre 9. Cinématique relativiste 61 9.1 Quadrirayon-vecteur 61 9.1.1 Déﬁnition 61 9.1.2 Pseudo-norme 61 9.1.3 Produit scalaire en relativité restreinte 62 9.1.4 Invariance du produit scalaire 62 9.2 Vélocité 62 9.2.1 Déﬁnition 62 9.2.2 Transformation spéciale de Lorentz 63 9.2.3 Norme 64 9.2.4 Transformation générale de Lorentz 64 9.2.5 Autre écriture vectorielle 64 9.2.6 Vitesse propre ou célérité 65 9.3 Quadrivitesse 65 9.3.1 Déﬁnition 65 9.3.2 Pseudo-norme 66 9.3.3 Quadrivecteur vitesse unitaire 66 9.3.4 Produit scalaire avec le quadrirayon-vecteur 66 9.3.5 Transformation spéciale de Lorentz 67 9.4 Accélération 67 Table des matières 3 9.4.1 Déﬁnition 67 9.4.2 Transformation spéciale de Lorentz 67 9.4.3 Autre écriture vectorielle 68 9.5 Quadriaccélération 69 9.5.1 Déﬁnition 69 9.5.2 Accélération relativiste 70 9.5.3 Pseudo-norme 70 9.5.4 Produit scalaire avec la quadrivitesse 71 9.5.5 Transformation spéciale de Lorentz 71 9.6 Exemple d’un vaisseau spatial quittant la Terre 72 Chapitre 10. Dynamique relativiste 77 10.1 Quadri-énergie-impulsion 77 10.1.1 Quadri-impulsion 77 10.1.2 Inertie 77 10.1.3 Quantité de mouvement relativiste 77 10.1.4 Quadri-énergie 78 10.1.5 Quadri-énergie-impulsion 79 10.1.6 Cas des particules de masse nulle 80 10.1.7 Transformation spéciale de Lorentz 81 10.1.8 Conservation de la quadri-énergie-impulsion 81 10.2 Quadriforce 82 10.2.1 Force relativiste 82 10.2.2 Transformation spéciale de Lorentz 83 1 Les relativités 1.1 Principe de relativité Un référentiel est un système de référence dans l’espace et dans le temps, c’est à dire un espace muni d’un système de coordonnées et un temps mesuré par des horloges ﬁxes dans cet espace. Les référentiels peuvent avoir un mouvement quelconque, et peuvent tourner sur eux-mêmes. Le principe de relativité énonce que parmi tous les référentiels possibles, il existe un ensemble inﬁni continu de référentiels dans lesquels les lois de la physique s’écrivent sous la même forme mathématique. La physique ne permet aucune distinction entre ces référentiels. Ces référentiels équivalents pour l’écriture des lois de la physique sont appelés référentiels galiléens. Une loi physique est une relation fonctionnelle F entre les valeurs de divers grandeurs physiques. R et R′ étant deux référentiels galiléens, le principe de relativité énonce que si F(a, b, c, . . . ) = 0 dans R, alors F(a′, b′, c′, . . . ) = 0 dans R′ où la relation fonctionnelle F est la même dans ces deux référentiels, et plus généralement dans tous les référentiels galiléens : la loi F(a, b, c, . . . ) = 0 est invariante de forme par changement de référentiel galiléen, elle est dite covariante. En revanche, les valeurs a et a′ d’une même grandeur physique peuvent être diﬀérentes, de même pour b et b′, etc. 1.2 Les référentiels équivalents Le principe de relativité étant posé, cherchons quels sont les référentiels équivalents pour la formulation des lois de la physique. L’équivalence physique entre deux référentiels R et R′ est une relation d’équivalence au sens mathématique du terme : (1) Réﬂexivité. R est physiquement équivalent à R. Les lois physiques sont invariantes lorsque l’on passe de R à R. En notant ∼la relation d’équivalence : R ∼R (2) Symétrie. Si R est physiquement équivalent à R′, alors R′ est physiquement équivalent à R. Si les lois physiques sont invariantes lorsque l’on passe de R à R′, alors elles sont invariantes lorsque l’on passe de R′ à R : R ∼R′ si et seulement si R′ ∼R 2 Les relativités (3) Transitivité. Si R et R′ sont physiquement équivalents et s’ils en est de même pour R′ et R′′, alors R et R′′ sont physiquement équivalents. Si les lois physiques sont invariantes lorsque l’on passe de R à R′ et de R′ à R′′, alors elles sont invariantes lorsque l’on passe de R à R′′ : Si R ∼R′ et R′ ∼R′′ alors R ∼R′′ La relation d’équivalence généralise la notion d’égalité, ainsi, si du point de vue de la formulation des lois de la physique nous ne pouvons pas dire que R et R′ sont égaux, nous pouvons dire qu’ils sont équivalents. Nous supposons que les référentiels équivalents sont de quatre sortes : a) Les référentiels « translatés dans l’espace » Ils diﬀèrent seulement par leur origine spatiale. L’équivalence de tels référentiels est liée au fait que les lois de la physique ne font intervenir que des distances, jamais des positions. Une expérience de physique donne les mêmes résultats quel que soit l’endroit où elle est faite, ce qui implique l’homogénéité de l’espace. b) Les référentiels « translatés dans le temps » Ils diﬀèrent seulement par leur origine temporelle. L’équivalence de tels référentiels est liée au fait que les lois de la physique ne font intervenir que des durées, jamais des instants. Une expérience de physique donne les mêmes résultats quelle que soit l’époque à laquelle elle est faite, ce qui implique l’homogénéité du temps. c) Les référentiels « tournés » Ils diﬀèrent seulement par une orientation diﬀérente. L’équivalence de tels référen- tiels est liée au fait que les lois de la physique ne font jamais intervenir d’angles par rapport à une direction privilégiée. Une expérience de physique donne les mêmes ré- sultats quelle que soit l’orientation spatiale qu’on lui donne, ce qui implique l’isotropie de l’espace. d) Les référentiels « bougés » Ils sont en mouvement de translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres. En résumé, les référentiels galiléens se distinguent les uns des autres par leur position, leur origine temporelle, leur orientation et par un mouvement relatif de translation rectiligne et uniforme. Ils ne tournent pas sur eux-mêmes, leur vitesse relative est constante et ne change pas de direction, ou bien est nulle. Ce mouvement relatif est à l’origine du nom donné au principe de relativité. 1.3 Les théories de la relativité 1.3.1 Le groupe des transformations inertielles Les théories construitent à partir du principe de relativité appliqué aux référentiels galiléens devront donner la loi de transformation des coordonnées spatiales et temporelles lorsque l’on passe d’un référentiel galiléen à un autre. Cette loi de transformation des coordonnées est une loi physique sur laquelle s’applique le principe de relativité ! Elle devra s’écrire sous la même forme quel que soit le changement de référentiel galiléen. Elle permettra de trouver les relations entre les valeurs a et a′ de mêmes grandeurs physiques exprimées dans diﬀérents référentiels galiléens. Ces transformations de coordonnées particulières qui permettent de passer d’un référentiel galiléen à un autre sont appelées transformations inertielles. Chaque couple de référentiels Les relativités 3 galiléens déﬁnit une transformation inertielle, et réciproquement, toute transformation inertielle appliquée à un référentiel galiléen fait passer à un autre référentiel galiléen. On représente ce passage sous la forme : R T − →R′ Montrons que la relation d’équivalence se traduit par la structure de groupe de l’ensemble T des transformations inertielles : a) La transitivité de la relation d’équivalence se représente sous la forme : R T1 − →R′ T2 − →R′′ En notant o la loi de composition des transformations inertielles, cela implique que T2oT1 soit une transformation inertielle. Par conséquent uploads/Industriel/ castera-relativite-restreinte 1 .pdf