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Ecole Nationale Polytechnique de Constantine (ENPC) Pr. D. THABET-KHIREDDINE -

Ecole Nationale Polytechnique de Constantine (ENPC) Pr. D. THABET-KHIREDDINE - 2016/2017 SOMMAIRE CHAPITRE II- Cinématique du point matériel & Mouvement relatif II.1- INTRODUCTION II.2- GRANDEURS CINEMATIQUES EXPRIMEES DANS LE REPERE CARTESIEN II.2.1- VECTEUR POSITION ET TRAJECTOIRE II.2.2- VECTEUR VITESSE INSTANTANEE II.2.3- VECTEUR ACCELERATION INSTANTANEE II.3- GRANDEURS CINEMATIQUES EXPRIMEES DANS LE REPERE POLAIRE II.3.1- VECTEUR POSITION II.3.2- VECTEUR VITESSE INSTANTANEE II.3.3- VECTEUR ACCELERATION INSTANTANEE II.3.4- EQUATIONS DE QUELQUES TRAJECTOIRES EN COORDONNEES POLAIRES II.4- GRANDEURS CINEMATIQUES EXPRIMEES DANS LE REPERE CYLINDRIQUE II.4.1- VECTEUR POSITION II.4.2- VECTEUR VITESSE INSTANTANEE II.4.3- VECTEUR ACCELERATION INSTANTANEE II.5- GRANDEURS CINEMATIQUES EXPRIMEES DANS LE REPERE SPHERIQUE II.5.1- VECTEUR POSITION II.5.2- VECTEUR VITESSE INSTANTANEE II.5.3- VECTEUR ACCELERATION INSTANTANEE II.6- GRANDEURS CINEMATIQUES EXPRIMEES DANS LE REPERE INTRINSEQUE OU CURVILIGNE II.6.1- ABSCISSE CURVILIGNE II.6.2- VECTEUR VITESSE INSTANTANEE II.6.3- VECTEUR ACCELERATION INSTANTANEE II.7- MOUVEMENT RECTILIGNE II.7.1- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME II.7.2- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE II.8- MOUVEMENT RECTILIGNE SINUSOIDAL II.8.1- DEFINITION II.8.2- VITESSE INSTANTANEE SINUSOIDALE II.8.3- ACCELERATION INSTANTANEE SINUSOIDALE II.9- MOUVEMENT CIRCULAIRE II.9.1- EXPRESSION DES VECTEURS POSITION, VITESSE ET ACCELERATION II.9.2- VECTEUR VITESSE ANGULAIRE II.10- MOUVEMENT A ACCELERATION CENTRALE II.10.1- DEFINITION GENERALE II.10.2- LOI DES AIRES II.11- MOUVEMENT RELATIF II.11.1- INTRODUCTION II.11.2- GRANDEURS ABSOLUES II.11.3- GRANDEURS RELATIVES II.11.4- CARACTERISATION DU MOUVEMENT D’UN REPERE MOBILE II.11.5- LOI FONDAMENTALE DE LA DERIVATION VECTORIELLE II.11.6- LOI DE COMPOSITION DES VITESSES II.11.7- LOI DE COMPOSITION DES ACCELERATIONS CH. II- Cinématique du point matériel & Mouvement relatif Ecole Nationale Polytechnique de Constantine (ENPC) Pr. D. THABET-KHIREDDINE - 2016/2017 20 II- Cinématique du point matériel & Mouvement relatif II.1- INTRODUCTION L’étude entreprise ce semestre concerne l’étude des mouvements de systèmes matériels dans le cadre de la mécanique classique ou mécanique newtonienne qui est divisée en deux grandes parties : la cinématique et la dynamique. La cinématique s’intéresse aux mouvements des systèmes matériels au cours du temps indépendamment des causes qui les provoquent, tandis que la dynamique s’intéresse aux causes qui engendrent les mouvements. Nous nous limiterons dans ce chapitre à l’étude de la cinématique du point matériel. Celui-ci est défini comme un être mathématique dépourvu de dimensions mais doté d’une masse. Par exemple, pour étudier le mouvement de la Terre autour du Soleil, on peut modéliser la Terre par un point matériel dont la masse est celle de la Terre, en faisant alors abstraction dans une première étape du mouvement de rotation de celle-ci autour de son axe. Les mouvements sont toujours étudiés par rapport à un référentiel dit galiléen que l’on définira plus tard. Il nous faudra définir le système de coordonnées le mieux adapté au problème physique considéré. L’’objet de ce chapitre sera d’exprimer les vecteurs instantanées de position, de vitesse et d’accélération d’un point matériel dans différents types de repères. Remarque : rigoureusement, il faut faire une distinction entre repère et référentiel : *Un référentiel est un solide de référence dans lequel un observateur décrit le mouvement (vitesse et trajectoire) d'un mobile appelé "système", par exemple le référentiel du laboratoire. *Un repère est constitué d'un point origine et d'une base. C'est un outil mathématique qui sert à effectuer les calculs (par projection sur ses axes). Par exemple, au référentiel lié au « solide Terre », on peut associer plusieurs repères : repère cartésien, sphérique,…selon la nature du problème. II.2- GRANDEURS CINEMATIQUES EXPRIMEES DANS LE REPERE CARTESIEN II.2.1- VECTEUR POSITION ET TRAJECTOIRE a/ Définition du vecteur position instantanée On appelle vecteur position instantanée du point matériel M à l’instant t dans le repère cartésien CH. II- Cinématique du point matériel & Mouvement relatif Ecole Nationale Polytechnique de Constantine (ENPC) Pr. D. THABET-KHIREDDINE - 2016/2017 21 (O, i, j, k) , le vecteur r(t) = OM = x(t)i + y(t)j + z(t)k de module 2 2 2 OM x y z = + + . Son unité dans le Système International (S.I.) est le mètre (m). Les expressions de x(t), y(t) et z(t) s’appellent les équations horaires du mouvement. Remarque : Les vecteurs i , j et k sont constants en module et en direction quel que soit le temps t, donc leurs dérivées par rapport au temps sont nulles. b/ Définition de la trajectoire La trajectoire représente le lieu géométrique dans le repère considéré des différentes positions M du point matériel à chaque instant t. Mathématiquement, elle est décrite par une relation entre les coordonnées du point M dans laquelle le paramètre temps t n’apparaît pas : f(x,y,z) 0 = . II.2.2- VECTEUR VITESSE INSTANTANEE Le vecteur vitesse instantanée est défini comme étant la variation instantanée du vecteur position par rapport au temps, autrement dit, c’est la dérivée première par rapport au temps du vecteur position, soit : MM ' r dr dOM v(t) lim lim t 0 t 0 t t dt dt ∆ = = = = ∆→ ∆→ ∆ ∆ En coordonnées cartésiennes : x y z dx dy dz v(t) v(M) i j k v i v j v k dt dt dt = = + + = + + , avec x dx v dt = , y dy v dt = et z dz v dt = . Soit, en introduisant la notation de Newton dx x dt = ɺ : ɺ ɺ ɺ v(t) = xi + yj + zk Son module à l’instant t est : 2 2 2 v(t) x(t) y(t) z(t) = + + ɺ ɺ ɺ , unité dans S.I . : m/s. Remarques : 1/ Le vecteur MM ' r t t ∆ = ∆ ∆ s’appelle vecteur vitesse moyenne entre les positions M et M’ durant l’intervalle de temps ∆t. CH. II- Cinématique du point matériel & Mouvement relatif Ecole Nationale Polytechnique de Constantine (ENPC) Pr. D. THABET-KHIREDDINE - 2016/2017 22 2/ Le vecteur vitesse instantanée v(t) est tangent à la trajectoire au point M(t) et est dirigé dans le sens du mouvement. 3/ Si le module de v est constant dans le temps, on dit que le mouvement est « uniforme ». II.2.3- VECTEUR ACCELERATION INSTANTANEE Il est défini par la variation instantanée par rapport au temps du vecteur vitesse instantanée, autrement dit c’est la dérivée première par rapport au temps du vecteur vitesse instantanée, ou bien la dérivée seconde par rapport au temps du vecteur position : 2 2 2 2 dv d dOM d OM d r(t) (t) dt dt dt dt dt   γ = = = =     Soit, en coordonnées cartésiennes : x y z x y z dx dy dz i j k v i v j v k i j k dt dt dt γ = + + = + + = γ + γ + γ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ , avec x x v x γ = = ɺ ɺɺ , y y v y γ = = ɺ ɺɺ et z z v z γ = = ɺ ɺɺ. D’où : ɺɺ ɺɺ ɺɺ γ(t) = xi + yj + zk Son module est : 2 2 2 (t) x(t) y(t) z(t) γ = + + ɺɺ ɺɺ ɺɺ , unité dans S.I. : m/s2. Remarques : 1/ A partir de la définition du vecteur accélération dv dt γ = , on a : t 0 t 0 t 0 v(t t) v(t) v(M') v(M) v lim lim lim t t t ∆→ ∆→ ∆→ + ∆ − − ∆ γ = = = ∆ ∆ ∆ . Géométriquement, le vecteur v ∆ est toujours dirigé vers la concavité de la trajectoire. On en conclue que le vecteur accélération est dirigé vers la concavité de la trajectoire du point matériel. 2/ Mouvement accéléré ou retardé : Le mouvement est accéléré lorsque v(t) est une fonction croissante du temps, donc 2 v(t) est également une fonction croissante du temps, c’est-à-dire : 2 d v(t) 0 dt > . Or 2 2 v(t) v = donc 2 dv dv dv 0 2v. 0 v. 0 dt dt dt > ⇒ > ⇒ > ⇒ v.γ > 0. Et inversement, le mouvement est retardé ou décéléré lorsque v.γ < 0 . Exemple : mouvement de l’ascenseur au cours de la montée: CH. II- Cinématique du point matériel & Mouvement relatif Ecole Nationale Polytechnique de Constantine (ENPC) Pr. D. THABET-KHIREDDINE - 2016/2017 23 Etape I : démarrage de l’ascenseur de la position de repos : pendant un court instant, le mouvement est accéléré : les vecteurs v et γ sont dans le même sens, donc : v. 0 γ > . Etape II : La vitesse devient constante, donc 0 γ = : le uploads/Industriel/ chapitre-ii-cinematique-du-point-materie.pdf