Contrôle des systèmes non-linéaires Pierre Rouchon Mines ParisTech Centre Autom

Contrôle des systèmes non-linéaires Pierre Rouchon Mines ParisTech Centre Automatique et Systèmes Mathématiques et Systèmes Tunis, Novembre 2010 Table des matières Motivations pratiques Rappel sur les systèmes dynamiques (EDO) Equations différentielles ordinaires et modélisation Stabilité au sens de Lyapounov Systèmes linéaires stationnaires Les systèmes autonomes dans le plan Schémas blocs (boucle ouverte, boucle fermée) Systèmes non linéaires du 1er ordre et régulateur PI Robustesse et systèmes lents/rapides Robustesse paramétrique d’un point d’équilibre Théorie des perturbations Système lent/rapide avec rapide stable Dynamiques négligées des capteurs et actionneurs Cascade de régulateurs Système lent/rapide avec rapide oscillant Robots complètement actionnés Le bras de robot Le cas général Commandabilité et stabilisation Systèmes linéaires de dimension finie Linéarisation par bouclage statique Systèmes différentiellement plats Références utiles Pourquoi le contrôle ? Très souvent, un système mécanique est difficile à piloter (comportement dynamique complexe, perturbations extérieures, mesures indirectes et bruitées , . . . ) Perturbations Mesures réelles Commandes réelles Grandeurs à piloter Machine réelle Opérateur Exemple : il est très difficile piloter un avion à décollage vertical directement à partir des manettes des gaz (essayez sur la simulation !) But du contrôle : Concevoir un contrôleur (qui sera matérialisé par un circuit électronique ou un programme informatique) transformant la machine réelle en une “machine virtuelle" facile à piloter et peu sensible aux perturbations. Le contrôleur s’intercale entre la machine et l’opérateur. Il manipule en permanence les commandes réelles en utilisant les mesures réelles et les ordres de l’opérateur. Opérateur Perturbations Mesures réelles Commandes réelles Commandes virtuelles Mesures virtuelles Grandeurs à piloter Contrôleur Machine réelle La démarche : ▶Modéliser la machine, c’est-à-dire décrire son comportement par des équations mathématiques ⇒on fait de la physique ▶Elaborer les équations du contrôleur à partir du modèle ⇒ on fait de l’ingénierie mathématique avec des simulations numériques ▶Réaliser matériellement le contrôleur ⇒on fait de l’électronique/informatique temps-réel Théorème de Cauchy et flot Soit d dt x = v(x, t) avec, pour chaque t, x 7→v(x, t) localement lipchitzienne pour chaque x, t 7→v(x, t) borné et intégrable. Alors pour tout x0 dans U, il existe a < 0 < b réels et une unique solution φ·(x0) : ]a, b[ − → U t − → φt(x0) avec x(0) = x0 (φ0(x0) = x0) : d dt (φt(x))|t=τ = v(φτ(x), τ) et φ0(x) = x Simulation numérique par le schéma le plus simple dite d’Euler explicite : xk+1 = xk + hv(xk, kh) où h est le pas de discrétisation en temps (petit par rapport aux temps caractéristiques) et xk est une approximation de x(kh). Première variation : sensibilité et calcul des dérivées Soit {φt} le flot associé à d dt x = v(x). Sa dérivée, notée Dxφt(x) ( matrice n × n ∂[φt]i ∂xj  ), est solution de d dt (Dxφt(x))t=τ = Dxv(φτ(x)) Dxφτ(x) avec comme condition initiale Dxφ0(x) = In. De plus Dxφt(x) · v(x) = v(φt(x)). Si v = v(x, t, λ) avec un dépendance en λ C1, alors le flot de v(·, λ), {φλ t } dépend aussi de λ de façon C1 : d dt  Dλφλ t (x)  t=τ = Dxv(φλ τ (x), λ) Dλφλ τ (x) + Dλv(φλ τ (x), λ) avec comme condition initiale Dλφλ 0(x) = 0. Calcul direct avec l’opérateur δ qui commute avec d dt : d dt δx = Dxvδx + Dλvδλ, δx(0) = δx0 Le robot le plus simple (fichier matlab : BrasRobot.m) Newton : équations différen- tielles ordinaires (EDO) : J d2 dt2 θ = −mgl sin(θ)−F( d dt θ)+u Oscillateur non-linéaire avec contrôle u et frottement F( d dt θ). Modélisation, simulation et forme d’état L ’équation du second ordre J d2 dt2 θ = −mgl sin(θ) −F( d dt θ) + u s’écrit sous la forme de deux équations du 1er ordre d dt θ = ω d dt ω = u/J −(mgl/J) sin θ −F(ω)/J. On note x = (θ, ω) l’état (les conditions initiales), u le contrôle et p1 = 1/J, p2 = mgl/J les paramètres et F le frottement. Exo: Quelles sont les équations différentielles vérifiées par les petites variations δθ(t) et δω(t) associées à de petites variations du contrôle δu(t) et de la masse δm ? Ensemble invariant et intégrale première ▶Soit A un sous-ensemble de l’espace d’état U. A est dit invariant (resp. positivement invariant) par le flot φt, si, pour tout t dans R (resp. dans [0, +∞[), φt(A) est inclus dans A. ▶On appelle intégrale première, une fonction C1 h : U →R telle que d dt [h(φt(x))] = 0 pour tout x dans U et pour tout t. Cette condition est équivalente à Dxh(x) · v(x, t) = 0 pour tout x dans U Exo: Pour d dt θ = ω, d dt ω = −(mgl/J) sin θ −F(ω)/J, monter Ap = {(θ, ω) | ω2/2 −(mgl/J) cos(θ) ≤p} est positivement invariant dès que F(ω) est du même signe que ω. Stabilité au sens de Lyapounov ▶Un point d’équilibre x (v(¯ x) = 0) de d dt x = v(x) est stable au sens de Lyapounov si, pour tout ε > 0, il existe η > 0 (dépendant de ε mais indépendant du temps t) tel que, pour tout x vérifiant ∥x −x∥≤η, ∥φt(x) −x∥≤ε pour tout t > 0. ▶Le point d’équilibre x est asymptotiquement stable au sens de Lyapounov s’il est stable au sens de Lyapounov et si de plus, pour tout x suffisamment proche de x, lim t→+∞φt(x) = x. 1ère méthode de Lyapounov, invariance de Lasalle Soient d dt x = v(x) , x ∈Rn (pour simplifier) et une fonction C1, V : Rn →[0, +∞[, telle que : ▶si x ∈Rn tend vers l’infini en norme, V(x) tend aussi vers l’infini ; ▶V décroît le long de toutes les trajectoires, dV dt ≤0. Alors, toutes les trajectoires sont définies sur [0, +∞[ et convergent asymptotiquement vers le plus grand ensemble invariant contenu dans l’ensemble défini par DxV · v = 0. En pratique on cherche les solutions du système sur-déterminé suivant : d dt x = v(x), DxV(x) · v(x) = 0. Exo: Pour d dt θ = ω, d dt ω = −(mgl/J) sin θ −F(ω)/J, monter que V(θ, ω) = ω2/2 −(mgl/J) cos(θ) est une fonction de Lyapounov. Calculer l’ensemble invariant de Lasalle. Lien avec le linéaire tangent (seconde méthode de Lyapounov) Autour de l’équilibre x le système linéarisé tangent est : d(∆x) dt = Dxv(x) ∆x où Dxv(x) = ∂vi ∂xj (¯ x)  1≤i,j≤n . ▶Si les valeurs propres de Dv(x) sont toutes à partie réelle strictement négative, alors x est un équilibre asymptotiquement stable au sens de Lyapounov. ▶Si l’une des valeurs propres de Dv(x) possède une partie réelle strictement positive alors x n’est pas un équilibre stable au sens de Lyapounov. Les valeurs propres de Dv(x) sont appelées exposants caractéristiques ; x est dit hyperbolique si tous ses exposants caractéristiques sont à partie réelle non nulle. Exo: Calculer les points d’équilibre de d dt θ = ω, d dt ω = −(mgl/J) sin θ −F(ω)/J ainsi que les exposants caractéristiques associés. Que peut-on dire de leur stabilité ? Systèmes linéaires d dt x = Ax x(t) = exp(tA)x(0), exp(tA) =  I + tA + t2 2!A2 + . . . + tk k!Ak + . . .  Propriété de l’exponentielle : exp(tA) exp(sA) = exp((t + s)A), d dt (exp(tA)) = exp(tA) A exp(PAP−1) = P exp(A)P−1 exp(A) = lim m→+∞  I + A m m , det(exp(A)) = exp(tr(A)) Portrait de Phases de systèmes linéaires plans Exo: dynamique de type gradient Soit U : Rn 7→R+ une fonction C2 infinie à l’infini (lim∥x∥7→+∞U(x) = +∞). On considère la dynamique de type gradient, d dt x = −∇U(x), où ∇U est le gradient de U dans Rn euclidien, i.e. ∇U est le vecteur colonne  ∂U ∂xi  i=1,...,n. ▶Montrer que U est un fonction de Lyapounov. ▶En déduire que les trajectoires sont définies sur [0, +∞[ et convergent vers les points critiques de U (i.e. les zéros de ∇U). ▶Soit ¯ x un point critique de U, i.e. un équilibre. Montrer que les valeurs propres en ¯ x sont toutes réelles. Discuter, en fonction de l’allure locale de U autour de ¯ x, la stabilité de ¯ x. ▶Reprendre les trois questions précédentes en prenant sur Rn une métrique qui n’est plus nécessairement euclidienne et donc définie par un champ de matrices symétriques définies positives x 7→G(x), la dynamique dérivant du potentiel U étant alors d dt x = −G−1(x)∇U(x). Comportements asymptotiques (thèse d’Henri Poincaré) Les quatre comportements asymptotiques possibles pour une trajectoire d’un système dynamique autonome défini dans le plan : Théorème (Critère de Bendixon) Soit R2 ∋x 7→v(x) ∈R2 une fonction continue et dérivable. On suppose que div(v)(x) = ∂v1 ∂x1 (x) + ∂v2 ∂x2 (x) < 0 pour presque tout x ∈R2. Soit t 7→x(t) une solution de d dt x = v(x) qui reste bornée pour les temps t positifs. Alors, sa limite quand t tend vers +∞est uploads/Industriel/ controle-des-systemes-non-lineaires.pdf

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Industrielsystème équations alors comme contrôle
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