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BTS2 Estimation 2011-2012 1 Présentation du problème Exemple 1 Un fabricant de

BTS2 Estimation 2011-2012 1 Présentation du problème Exemple 1 Un fabricant de pétards pour feux d’artiﬁce désire connaître la proportion de pétards défectueux dans la production hebdomadaire qui est de 10 000 pétards. Doit-il faire griller ses 10 000 pétards pour connaître ce nombre ? Exemple 2 Une laiterie produit 1 million de yaourts par semaine. A la suite d’une rupture de la chaîne du froid dans la fabrication, il se produit une crainte de prolifération de la bactérie listéria monocytogene dans cette production. On estime que jusqu’à 5 % de la population peut être porteuse de listéria monocytogene dans les intestins, sans ressentir d’eﬀets de maladie. Par mesure de précaution, la laiterie est prête à détruire cette production si la proportion de yaourts infectés dépasse 1 %. Doit-on analyser un à un tout les yaourts pour détecter cette présence ? (ce qui reviendrait encore plus cher qu’une destruction pure et simple). En décidant de prélever un échantillon de 100 yaourts pour lequel on détermine la proportion de yaourts infectés ; que nous indique ce résultat ? Par exemple, que dire si la proportion de yaourts infectés est égale à de 2% ? 1. Aurait-on obtenu le même pourcentage en prélevant un autre échantillon ? 2. La taille 100 de l’échantillon est-elle suﬃsante au vu de la taille de la production ? 3. Quelle conﬁance accorder au fait que cette analyse ait conduit à une proportion de 2 % ? 4. Aurait-on gagné en ﬁabilité si l’on avait analysé 500, 1 000, 10 000 yaourts ? 2 Analyse d’un exemple Pour bien comprendre le phénomène analysons, en détail, un exemple avec une population réduite à 5 éléments et un échantillon de taille 2 : Ω= {2; 3; 6; 8; 11} 1. Calculons la moyenne m et l’écart type σ de cette population : m = 2 + 3 + 6 + 8 + 11 5 = 6 et σ2 = (2 −6)2 + (3 −6)2 + (6 −6)2 + (8 −6)2 + (11 −6)2 5 = 10, 8 2. Comment sont réparties les moyennes des échantillons de taille 2 ? Calculons ces moyennes , puis calculons la moyenne et l’écart type de ces moyennes. Echantillons de taille 2 (2 ;2) (2 ;3) (2 ;6) (2 ;8) (2 ;11) (3 ;2) (3 ;3) (3 ;6) (3 ;8) (3 ;11) (6 ;2) (6 ;3) (6 ;6) (6 ;8) (6 ;11) (8 ;2) (8 ;3) (8 ;6) (8 ;8) (8 ;11) (11 ;2) (11 ;3) (11 ;6) (11 ;8) (11 ;11) Moyennes des échantillons 2 2,5 4 5 6,5 2,5 3 4,5 5,5 7 4 4,5 6 7 8,5 5 5,5 7 8 9,5 6,5 7 8,5 9,5 11 Caractéristiques : m′ = 6 et σ′ 2 = 5, 4 = σ2 2 Propriété 1 Etant donné une population de taille N sur laquelle on étudie un caractère de moyenne m et d’écart type σ. Lorsque l’on prélève des échantillons de taille n assez grand ( n ≥30 ), la loi d’échantillonnage des moyennes peut être approchée par la loi N(m; σ √n) Propriété 2 Etant donné une population de taille N sur laquelle on étudie un caractère de fréquence p. Lorsque l’on prélève des échantillons de taille n assez grand ( n ≥30 ), la loi d’échantillonnage des fréquences peut être approchée par la loi N p; rpq n 1 Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré BTS2 Estimation 2011-2012 3 Applications Exercice 1 Supposons que les poids de 3000 étudiants d’une université sont distribués normalement avec une moyenne de 68 kg et un écart-type de 3 kg. On tire 80 échantillons de 25 étudiants chacun. 1. Quelles sont les valeurs espérées de la moyenne et de l’écart-type de la distribution d’échantillonnage résultante si le tirage des échantillons se fait avec remise ? 2. Dans combien d’échantillon peut-on s’attendre à trouver une moyenne comprise entre 66,8 et 68,3 kg ? 3. Dans combien d’échantillon peut-on s’attendre à trouver une moyenne inférieure à 66,4 kg ? Solution : 1. La distribution d’échantillonnage des moyennes des échantillons de taille 25 suit la loi normale de moyenne m′ = 68 et d’écart type σ′ = 3 √ 25 = 0, 6 2. Cherchons la probabilité d’avoir un échantillon dont la moyenne est entre 66,8 et 68,3 kg : 66, 8 ≤X ≤68, 6 ⇔66, 8 −68 0, 6 ≤X −68 0, 6 ≤68, 3 −68 0, 6 ⇔−2 ≤Z ≤0, 5 P(66, 8 ≤X ≤68, 6) = P(−2 ≤Z ≤0, 5) = π(0, 5) + π(2) −1 = 0, 6915 + 0, 9772 −1 = 0, 6687. Comme nous tirons 80 échantillons, on peut s’attendre à trouver une moyenne comprise entre 66,8 et 68,3 kg dans 80 × 0, 6687 ≃53 échantillons. 3. Cherchons la probabilité d’avoir un échantillon dont la moyenne est inférieure à 66,4 kg : X ≤66, 4 ⇔X −68 0, 6 ≤66, 4 −68 0, 6 ⇔Z ≤2, 67 P(X ≤66, 4) = P(Z ≤2, 67) = P(Z ≥2, 67) = 1π(2, 67 = 1 −0, 9962 = 00038. Comme nous tirons 80 échantillons, on peut s’attendre à trouver une moyenne inférieure à 66,4 kg dans 80 × 0, 0, 0038 ≃0 échantillon. Exercice 2 Une usine produit des billes de roulements. Ces billes ont un poids moyen de 5,02 g et un écart-type de 0,30 g. Quelle est la probabilité pour qu’un échantillon aléatoire de 100 billes choisies au hasard présente un poids total : 1. compris entre 496 et 500 g ? 2. supérieur à 510 g ? Solution : 1. Le poids total sera compris entre 496 et 500 g si le poids moyen est compris entre 4.96 et 5 g. La distribution d’échantillonnage des moyennes des échantillons de taille 100 suit la loi normale de moyenne m′ = 5.02 et d’écart type σ′ = 0.3 √ 100 = 0.03. 4.96 ≤X ≤5 ⇔4.96 −5.02 0.03 ≤X −5.02 0.03 ≤5 −5.02 0.03 ⇔−2 ≤Z ≤0, 67 P(4.96 ≤X ≤5) = P(−2 ≤Z ≤−0, 67) = P(0, 67 ≤Z ≤2) = π(2) + π(0, 67) = 0, 9772 −0, 7486 = 0, 2286. 2. Le poids total sera supérieur à 510 g si le poids moyen est supérieur à 5.1 . X ≥5.1 ⇔X −5.02 0.03 ≥5.1 −5.02 0.03 ⇔Z ≥2, 67 P(X ≥5.1) = P(Z ≥2, 67) = 1 −+π(2, 67) = 1 −0, 9962 = 0, 0038. Exercice 3 La machine à embouteiller a été mal réglée, une bouteille sur deux, en moyenne, ne comporte pas de capsule. Quelle est la probabilité pour que, dans une série de 120 bouteilles, la proportion de bouteilles sans capsule soit : 1. comprise entre 40 et 60% ? 2. de 5/8 ou plus ? Solution : Une bouteille sur deux, en moyenne, ne comporte pas de capsule donc la fréquence de bouteilles sans capsule est p = 0, 5. La loi d’échantillonnage des fréquences des échantillons de taille 120 suit une loi normale de moyenne 0.5, et d’écart type σ′ = r 0.5(1 −0.5) 120 = 0.0456. 1. 0.4 ≤X ≤0.6 ⇔0.4 −0.5 0.0456 ≤X −0.5 0.0456 ≤0.6 −0.5 0.0456 ⇔−2.19 ≤Z ≤2.19 P(0.4 ≤X ≤0.6) = P(−2.19 ≤Z ≤2.19) = 2π(2.19) −1 = 2 × 0, 9857 −1 = 0, 9714. 2. 5 8 = 0.625, donc X ≥0.625 ⇔X −0.5 0.0456 ≥0.625 −0.5 0.0456 ⇔Z ≥2.74 P(X ≥0.6) = P(Z ≥2.74) = 1 −π(2.74) = 1 −0, 996 = 0, 004. 2 Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré BTS2 Estimation 2011-2012 Exercice 4 La machine à embouteiller a été mal réglée, une bouteille sur deux, en moyenne, ne comporte pas de capsule. Un container contient 500 lots de 120 bouteilles. Combien peut-on espérer de lots contenant un nombre de bouteilles sans capsule : 1. comprise entre 40 et 60% ? 2. de 5/8 ou plus Solution : 1. D’après l’exercice précédent, parmi les lots de 120 bouteilles, on peut s’attendre à en avoir 97,14 % avec un pourcentage compris entre 40 et 60% de bouteilles sans capsule ; donc parmi 500 lots de 120 bouteilles, on peut s’attendre à en avoir environ 500 × 0, 9714 = 486 lots avec un pourcentage compris entre 40 et 60% de bouteilles sans capsule. 2. De même on peut s’attendre à en avoir environ 500 × 0, 004 = 2 lots avec un pourcentage de 5/8 ou plus de bouteilles sans capsule. Exercice 5 Un candidat aux élections a recueilli 46% des votes. 1. Quelle est la probabilité pour qu’un groupe de 200 personnes choisies au hasard lui ait donné une majorité ? 2. Quelle est la probabilité pour qu’un groupe de 1000 personnes choisies au hasard lui ait donné une majorité ? Solution : 1. La loi d’échantillonnage des fréquences des échantillons de taille 200 suit une loi normale de moyenne 0.46 et d’écart type σ′ = r 0.46(1 −0.46) 200 = 0.0352. Un groupe lui a donné la majorité signiﬁe que X > 0.5. X ≥0.5 ⇔X −0.46 0.0352 ≥0.5 −0.46 0.0352 ⇔Z ≥1.14 donc P(X ≥0.5) = uploads/Industriel/ 13-estimation-sol.pdf