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Séance 3 Optimisation de fonctions d’une seule variable 1-611-96 Modélisation e

Séance 3 Optimisation de fonctions d’une seule variable 1-611-96 Modélisation et Optimisation 1.7 Application Un problème de lot économique Étudier le cas suivant concernant la taille optimale d'une commande et répondre aux questions qui s’y rapportent. Le problème Une entreprise offrant au public un service de photocopie à 0,05 $ doit commander annuellement 1000 caisses de papier chez son fournisseur. Une caisse coûte 20 $. Ses clients viennent tout au long de l'année faire des photocopies chez elle, sans que l'on puisse pour autant observer des semaines nettement plus achalandées que d’autres. Par conséquent, la quantité de papier qu'elle utilise par semaine est globalement toujours la même. Cette entreprise cherche à minimiser les coûts reliés à la gestion du papier en stock. Faire une commande au fournisseur nécessite de remplir un bon de commande, de le transmettre au fournisseur et de réceptionner la commande. Toutes ces opérations reliées à une seule commande entraînent un coût de 125 $. S'il n'y avait pas de frais de stockage, la meilleure solution serait évidemment de faire une seule commande annuelle de 1000 caisses. Cependant, la surface utilisée pour l'entreposage des caisses de papier devant être louée, il serait préférable - de ce point de vue - d'avoir le moins de caisses de papier en stock afin d’éviter d'avoir à payer trop de frais de stockage. Le coût d'entreposage d'une caisse de papier pendant une année est de 50 $. Comme il faut prévoir un espace suffisamment grand pour recevoir toute commande, les frais de stockage correspondent à ceux découlant de la surface nécessaire pour recevoir une commande complète (même si l'espace n'est pas entièrement utilisé en tout temps). Le problème consiste donc à déterminer quelle quantité de caisses l'entreprise doit commander à chaque fois, tout en minimisant la somme des frais. La taille optimale de la commande est appelée un lot économique. Les questions a) Définir clairement la(les) variable(s) de décision. b) Sans encore utiliser de formule mathématique, écrire la fonction objectif. c) Écrire la formule mathématique correspondant aux frais de commande. d) Écrire la formule mathématique correspondant aux frais de stockage. e) Trouver le lot économique. © École des Hautes Études Commerciales, Montréal, Québec, 1999. 1 Séance 3 Optimisation de fonctions d’une seule variable 1-611-96 Modélisation et Optimisation Solution Données pertinentes • Achat de 1000 caisses par an au coût unitaire de 20 $. • Une commande coûte en frais fixes 125 $. • On utilise globalement la même quantité de papier par semaine. • Le coût de stockage est de 50 $ par caisse et par an. a) Variables de décision Les variables de décision peuvent être, soit x qui désigne le nombre de commandes par an, soit y qui désigne le nombre de caisses par commande (y est appelé le lot économique). Il existe une relation entre x et y donnée par : xy = 1000, c’est-à-dire : (nb caisses/commande) (nb commandes/an) = nb caisses/an. Nous utiliserons x comme variable de décision avec la relation y = 1000/x. b) Fonction objectif La fonction objectif à minimiser est donnée par : Fonction objectif = Frais de commandes + Frais de stockage + Frais d’achat fixes Remarque : il n’est pas nécessaire d’en tenir compte dans l’optimisation puisque les frais fixes apparaissent comme une constante dans la fonction objectif. Le point optimal x* demeure inchangé par une translation verticale de la fonction objectif ! c) Frais de commande Les frais de chaque commande sont de 125 $ ; avec x commandes par année, les frais de commande annuels sont donnés par : Frais de commande = x * 125 $. © École des Hautes Études Commerciales, Montréal, Québec, 1999. 2 x* f (x) f (x) + constante Séance 3 Optimisation de fonctions d’une seule variable 1-611-96 Modélisation et Optimisation d) Frais de stockage Les frais de stockage sont de 50 $ par caisse entreposée en tout temps, donc si on fait x commandes par année, le nombre de caisses entreposées à chaque commande est donné par y = 1000 / x et donc les frais de stockage sont de : Frais de stockage = (1000 / x) * 50 $. e) Minimisation de la fonction objectif La fonction objectif s’écrit de façon mathématique sous la forme : . 1000 0 , / 50000 125 ) ( ≤ < + = x x x x f La dérivée de f est donnée par : . 1000 0 , / 50000 125 ) ( 2 ' < < − = x x x f Le point stationnaire de donné par : . 20 400 0 / 50000 125 ) ( 2 2 ' = ⇔ = ⇔ = − = x x x x f La valeur de f (20) = 5000 $. Le point 0 est un point critique de la fonction f mais il n’est pas dans le domaine. Le point x = 1000 est une borne supérieure de la fonction f et la valeur de f en ce point est égale à 125 050 $. Le seul point candidat à être un minimum est le point stationnaire x* = 20. Pour déterminer sa nature, calculons la dérivée seconde de la fonction f : 1000 0 , / 0000 100 ) ( 3 ) 2 ( < < = x x x f ; la dérivée seconde est strictement positive sur 1000 0 < < x , donc la fonction f est convexe sur son domaine. Le point stationnaire x* = 20 est un minimum absolu. Le lot économique qui lui correspond est donné par y* = 1000/20 = 50 caisses à chaque commande. Exercice Tracez la fonction . 1000 0 , / 50000 125 ) ( ≤ < + = x x x x f avec Excel et déterminez le minimum absolu en utilisant le Solveur. © École des Hautes Études Commerciales, Montréal, Québec, 1999. 3 f(x ) (1; 50125) (20; 5000) 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 0 50 100 150 200 x Séance 3 Optimisation de fonctions d’une seule variable 1-611-96 Modélisation et Optimisation Problèmes résolus Problème 1 Une personne de 1m80 lance au-dessus de lui une balle vers le ciel avec une vitesse initiale de 25m/s. La distance séparant la balle du sol, t secondes après avoir été lancée, est donnée par la fonction suivante : f(t) = 1,80 + 25t − 5t2, pour t ≥ 0. Combien de secondes doivent s’écouler avant que la balle ne commence à redescendre? Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle ? Réponses Pour répondre aux questions, on doit tout d’abord déterminer la valeur de t qui maximise la fonction f(t). Trouvons les points stationnaires de f(t) : 5 , 2 0 10 25 0 ) ( ' 10 25 ) ( ' = ⇔ = − ⇔ = − = t t t f t t f Puisque f(t) est une fonction polynomiale du second degré, de la forme at2 + bt + c où a < 0, alors la fonction est concave ( t t f ∀ < − = ′ ′ 0 10 ) ( ). Ainsi, f(t) admet un maximum absolu en t = 2,5. Il s’écoulera donc 2,5 secondes avant que la balle n’atteigne une hauteur maximale de f(2,5) = 33,05 m et commence à redescendre. Problème 2 Vous décidez de vous construire une boîte en bois rectangulaire, ouverte sur le dessus, afin d’y ranger vos notes de cours importantes amassées durant votre baccalauréat. Vous voulez que deux côtés opposés soient carrés et que le volume de la boîte soit de 3000 cm3. Vous estimez le coût variable de fabrication à 0,03$ le centimètre carré pour la base (en bois plus résistant) et à 0,0125$ le centimètre carré pour les côtés. Quelles doivent être les dimensions de la boîte afin de minimiser le coût de fabrication ? Réponse Nous voulons minimiser la fonction de coût de fabrication qui dépend des dimensions de la boîte: la longueur (l), la largeur (L) et la hauteur (h). Nous savons que : 1- deux côtés sont carrés, donc h l = ; 2- le volume de la boîte est 3000 2 = × = × × h L h L l , donc 2 3000 h L = . Nous devons tout d’abord construire la fonction de coût à partir des données du problème. Coût total = coût du fond + 2(coût d’un coté carré) + 2(coût d’un coté rectangulaire) ; Où, coût d’un côté = (aire du coté) × (coût d’un mètre carré du matériau utilisé). L’aire du fond est h h h h L l L 3000 3000 2 = × = × = × et le coût du matériau pour le fabriquer est de 0,03$ le centimètre carré, le coût de fabrication du fond est donc de h h 90 03 , 0 3000 = × $. L’aire d’un côté carré est 2 h h l = × et le coût du matériau pour le fabriquer est de 0,0125$ le centimètre carré, le coût de uploads/Industriel/ 39404.pdf