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Mod´ elisation de la d´ ependance et simulation de processus en ﬁnance Mohamed

Mod´ elisation de la d´ ependance et simulation de processus en ﬁnance Mohamed Sba¨ ı To cite this version: Mohamed Sba¨ ı. Mod´ elisation de la d´ ependance et simulation de processus en ﬁnance. Math´ ematiques g´ en´ erales [math.GM]. Universit´ e Paris-Est, 2009. Fran¸ cais. <NNT : 2009PEST1046>. <tel-00451008v2> HAL Id: tel-00451008 https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-00451008v2 Submitted on 24 Nov 2010 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entiﬁc research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destin´ ee au d´ epˆ ot et ` a la diﬀusion de documents scientiﬁques de niveau recherche, publi´ es ou non, ´ emanant des ´ etablissements d’enseignement et de recherche fran¸ cais ou ´ etrangers, des laboratoires publics ou priv´ es. Th` ese pr´ esent´ ee pour l’obtention du titre de Docteur de l’Universit´ e Paris-Est Sp´ ecialit´ e : Math´ ematiques appliqu´ ees par Mohamed SBAI Mod´ elisation de la d´ ependance et simulation de processus en ﬁnance Th` ese soutenue le 25 novembre 2009 devant le jury : Vlad BALLY Examinateur Jean-David FERMANIAN Examinateur Emmanuel GOBET Rapporteur Benjamin JOURDAIN Directeur de th` ese Antoine LEJAY Rapporteur Francesco RUSSO Pr´ esident du jury R´ esum´ e La premi` ere partie de cette th` ese est consacr´ ee aux m´ ethodes num´ eriques pour la simulation de processus al´ eatoires d´ eﬁnis par des ´ equations diﬀ´ erentielles stochastiques (EDS). Nous com- men¸ cons par l’´ etude de l’algorithme de Beskos et al. [13] qui permet de simuler exactement les trajectoires d’un processus solution d’une EDS en dimension 1. Nous en proposons une extension ` a des ﬁns de calcul exact d’esp´ erances et nous ´ etudions l’application de ces id´ ees ` a l’´ evaluation du prix d’options asiatiques dans le mod` ele de Black & Scholes. Nous nous int´ eressons ensuite aux sch´ emas num´ eriques. Dans le deuxi` eme chapitre, nous proposons deux sch´ emas de discr´ etisation pour une famille de mod` eles ` a volatilit´ e stochastique et nous en ´ etudions les propri´ et´ es de conver- gence. Le premier sch´ ema est adapt´ e ` a l’´ evaluation du prix d’options path-dependent et le deuxi` eme aux options vanilles. Nous ´ etudions ´ egalement le cas particulier o` u le processus qui dirige la vo- latilit´ e est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck et nous exhibons un sch´ ema de discr´ etisation qui poss` ede de meilleures propri´ et´ es de convergence. Enﬁn, dans le troisi` eme chapitre, il est question de la convergence faible trajectorielle du sch´ ema d’Euler. Nous apportons un d´ ebut de r´ eponse en contrˆ olant la distance de Wasserstein entre les marginales du processus solution et du sch´ ema d’Euler, uniform´ ement en temps. La deuxi` eme partie de la th` ese porte sur la mod´ elisation de la d´ ependance en ﬁnance et ce ` a travers deux probl´ ematiques distinctes : la mod´ elisation jointe entre un indice boursier et les actions qui le composent et la gestion du risque de d´ efaut dans les portefeuilles de cr´ edit. Dans le quatri` eme chapitre, nous proposons un cadre de mod´ elisation original dans lequel les volatilit´ es de l’indice et de ses composantes sont reli´ ees. Nous obtenons un mod` ele simpliﬁ´ e quand la taille de l’indice est grande, dans lequel l’indice suit un mod` ele ` a volatilit´ e locale et les actions indivi- duelles suivent un mod` ele ` a volatilit´ e stochastique compos´ e d’une partie intrins` eque et d’une partie commune dirig´ ee par l’indice. Nous ´ etudions la calibration de ces mod` eles et montrons qu’il est possible de se caler sur les prix d’options observ´ es sur le march´ e, ` a la fois pour l’indice et pour les actions, ce qui constitue un avantage consid´ erable. Enﬁn, dans le dernier chapitre de la th` ese, nous d´ eveloppons un mod` ele ` a intensit´ es permettant de mod´ eliser simultan´ ement, et de mani` ere consistante, toutes les transitions de ratings qui surviennent dans un grand portefeuille de cr´ edit. Aﬁn de g´ en´ erer des niveaux de d´ ependance plus ´ elev´ es, nous introduisons le mod` ele dynamic frailty dans lequel une variable dynamique inobservable agit de mani` ere multiplicative sur les intensit´ es de transitions. Notre approche est purement historique et nous ´ etudions l’estimation par maximum de vraisemblance des param` etres de nos mod` eles sur la base de donn´ ees de transitions de ratings pass´ ees. Abstract The ﬁrst part of this thesis deals with probabilistic numerical methods for simulating the solution of a stochastic diﬀerential equation (SDE). We start with the algorithm of Beskos et al. [13] which allows exact simulation of the solution of a one dimensional SDE. We present an extension for the exact computation of expectations and we study the application of these techniques for the pricing of Asian options in the Black & Scholes model. Then, in the second chapter, we propose and study the convergence of two discretization schemes for a family of stochastic volatility models. The ﬁrst one is well adapted for the pricing of vanilla options and the second one is eﬃcient for the pricing of path-dependent options. We also study the particular case of an Orstein-Uhlenbeck process driving the volatility and we exhibit a third discretization scheme which has better convergence properties. Finally, in the third chapter, we tackle the trajectorial weak convergence of the Euler scheme by providing a simple proof for the estimation of the Wasserstein distance between the solution and its Euler scheme, uniformly in time. The second part of the thesis is dedicated to the modelling of dependence in ﬁnance through two examples : the joint modelling of an index together with its composing stocks and intensity-based credit portfolio models. In the forth chapter, we propose a new modelling framework in which the volatility of an index and the volatilities of its composing stocks are connected. When the number of stocks is large, we obtain a simpliﬁed model consisting of a local volatility model for the index and a stochastic volatility model for the stocks composed of an intrinsic part and a systemic part driven by the index. We study the calibration of these models and show that it is possible to ﬁt the market prices of both the index and the stocks. Finally, in the last chapter of the thesis, we deﬁne an intensity-based credit portfolio model. In order to obtain stronger dependence levels between rating transitions, we extend it by introducing an unobservable random process (frailty) which acts multiplicatively on the intensities of the ﬁrms of the portfolio. Our approach is fully historical and we estimate the parameters of our model to past rating transitions using maximum likelihood techniques. Remerciements Je tiens ` a remercier en premier lieu mon directeur de th` ese, Benjamin Jourdain, pour tout le temps qu’il m’a accord´ e durant ces trois derni` eres ann´ ees. Son encadrement exemplaire, sa rigueur scientiﬁque, la qualit´ e de ses relectures, sa constante bonne humeur ainsi que son soutien permanent ont ´ et´ e d´ ecisifs pour le bon d´ eroulement de ma th` ese. Je lui suis ´ egalement tr` es reconnaissant de m’avoir permis d’enseigner ` a l’´ Ecole des Ponts. ` A ce titre, je voudrai aussi remercier Jean-Fran¸ cois Delmas pour m’avoir permis d’intervenir dans le cours de probabilit´ es de l’ENSTA. Emmanuel Gobet et Antoine Lejay m’ont fait l’honneur d’accepter la rude tˆ ache de rappor- teur. Je les remercie pour leur lecture tr` es attentive du manuscrit et leurs remarques toujours constructives. J’ai aussi ´ et´ e tr` es honor´ e que Francesco Russo, Vlad Bally et Jean-David Fermanian aient accept´ e de faire partie de mon jury de th` ese. Qu’ils trouvent ici l’expression de ma profonde gratitude. Un grand merci ` a toute la famille du CERMICS, en particulier aux membres de l’´ equipe de Probabilit´ es. Je commencerai par Aur´ elien, Bernard et Jean-Fran¸ cois qui, chacun ` a sa fa¸ con, m’ont beaucoup aid´ e par leur conseils, encouragements et surtout par l’int´ erˆ et qu’ils ont port´ e ` a mes travaux. Merci ` a tous mes coll` egues doctorants pour tous les ´ echanges scientiﬁques et humains que nous avons pu d´ evelopper : je pense ` a Rapha¨ el avec qui j’ai eu grand plaisir ` a partager le mˆ eme bureau pendant les deux derni` eres ann´ ees de ma th` ese, ` a Abdelkoddous dont la bonne humeur contagieuse m’a souvent ´ et´ e b´ en´ eﬁque, ` a Jerome et Pierre pour nos innombrables discussions sur l’enseignement, l’informatique, la musique, le cin´ ema et bien d’autres sujets, mais aussi ` a tous ceux que j’ai cˆ otoy´ es : Jean-Philippe, Julien, Simone, Piergiacomo, Cristina, uploads/Industriel/ 46-sbai-pdf.pdf