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PROCESSUS STOCHASTIQUE COURS1: RAPPEL SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES Sana Younes

PROCESSUS STOCHASTIQUE COURS1: RAPPEL SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES Sana Younes Dridi younessana@yahoo.fr 1 Faculté des Sciences de Tunis Département des Sciences de l’Informatique Section M1 INFO OBJECTIF DU COURS Comprendre c’est quoi un processus stochastique Introduire le processus markovien Introduire le formalisme des files d’attentes Présentation des exemples de Modèles analytiques 2 EVALUATION Cours intégré Il faut prendre note en classe. Deux notes: DS et Examen Modélisation markovienne (cours processus stochastique) Vérification (cours méthodes formelles) 3 PLAN GÉNÉRAL DU COURS Rappels sur les variables aléatoires Processus de Poisson Processus stochastique Chaine de Markov à temps discret Chaine de Markov à temps continu Files d’attente 4 EXEMPLE INTRODUCTIF Une urne contient 20 billets: 4 billet de 10d, 4 billets de 20d et 12 billets perdants. Pour jouer au jeu le joueur doit dépenser 5d. Soit X la v.a associant le gain du joueur. Quelles sont les valeurs prises par X, xi? Quelle est la loi de probabilité de X? Calculez l’espérance mathématique, la variance et l’écart type de X? Ω= l’ensemble univers=l’ensemble des 20 billets Le cardinal de Ω= 20 Les valeurs prises par X : X(Ω)={-5, 5, 15} 5 EXEMPLE INTRODUCTIF La loi de probabilité de X est la probabilité associée à chacune des valeurs prises par X P(X=-5)=12/20= 0.6 P(X=5)=4/20=0.2 P(X=15)=4/20=0.2 E(X)=1 : lorsque le joueur joue un nombre de fois répété, son gain se rapproche à 1d (jeu favorable pour le joueur car le gain est positif) L’espérance est un paramètre de position La variance et l’écart type sont des paramètres de dispersion pour mesurer la dispersion de xi à la moyenne V(X)=64 (n’a pas la même unité que xi) σ(X)=8 (même unité que les valeurs de xi) 6 VARIABLES ALÉATOIRES Une variable aléatoire (v.a) est une variable pouvant prendre n’importe quelle valeur d’un ensemble déterminé de valeurs numériques, et à laquelle est associée une loi de probabilité. Une variable aléatoire peut être continue ou discontinue. 7 T3.6 Fonction de répartition F(x) = P[X £ x] La fonction de répartition d’une variable aléatoire X définie de - ¥ à + ¥ est la fonction F(x) définie par : lim x ® – ¥ F(x) = 0 lim x ® + ¥ F(x) = 1 0 £ F(x) £ 1 F(x) est non décroissante Propriétés : Densité de probabilité Lorsque la fonction de répartition F(x) est dérivable, sa dérivée f(x) est la densité de probabilité : f(x) = dF (x) dx Propriétés : F(x) = f(x) dx – ¥ x f(x) dx – ¥ + ¥ = 1 Variables aléatoires 8 EXEMPLE: V.A DISCRETE 9 EXEMPLE: V.A CONTINUE 10 T3.7 S d F Moment d’ordre k de la V.A X : E Xk = xk f(x) dx – ¥ + ¥ V[x] = x – E[x] 2 f(x) dx – ¥ + ¥ E[x] est l’espérance mathématique ou moyenne Variance de la V.A. X : Ecart-Type : s = V[x] Variables aléatoires E X = x f(x) dx – ¥ + ¥ ( ) [ ] i i E X x P X x        ( ) ( ) 2 i i V X x E X P X x     11 EXEMPLE V.A: TEMPS BON FONCTIONNEMENT Soit T: v.a associe le temps de bon fonctionnement d’un système S Fonction de répartition de T: F(t) = Prob(T ≤ t) = ∫0 t f(x)dx F '(t) = f(t) 0 ≤ F(t) ≤ 1 F(t) est la probabilité que le système ait une défaillance avant l'instant t. La probabilité de défaillance dans l’intervalle (t1,t2] est F(t2)-F(t1) 12 EXEMPLE: FONCTION DE DÉFAILLANCE 13 EXEMPLES: DENSITÉ DE PROBABILITÉ Q: Dites si cette fonction est une densité de probabilité: f( x) =3/x4si x∈[1, +∞ [ ;f ( x) = 0 sinon R:  f est continue positive Sa fonction de répartition: F(x)= − 1/x3+1 Les limites de F: lim x->+∞ F(x)=1 et F(1)=0 Donc f est une densité de probabilité Même question pour f (x) =xe−x si x∈[0; +∞ [; 0 sinon 14 EXEMPLES: DENSITÉ DE PROBABILITÉ Soit I l’intervalle [1 ;10] et fλ la fonction définie sur I par : fλ(t)= λt −2 1) Déterminer le réel λ pour lequel f λ est une densité de probabilité 2) Même question avec I = [1, +∞ [ 15 16 S d F Lois discrètes Loi Binomiale • p pour-cent de pièces défectueuses dans un lot et que l’on tire un échantillon de taille n, la loi binomiale B(n,p) donne la probabilité d’avoir k éléments défectueux dans l’échantillon. •Pour modéliser des systèmes avec n composants indépendants ou n essais pour effectuer une tache. P (X = K) = Cn k p k 1 – p n – k 0 £ k £ n; 0 £ p £ 1 p : probabilité de réalisation de l’événement X : v.a représente le nombre de réalisation de l’événement Fonction de répartition : Espérance mathématique : Variance : F(k) = P(X £ k) = Ci n pi 1 – p n – i S i = 0 k E[x] = n.p s2 [x] = n.p.(1 – p ) Principales lois de probabilité   ! ! ! k n n k n k C   La variable aléatoire prend des valeurs discrètes 17 S d F Loi de Poisson Fonction de répartition : Espérance mathématique : Variance : E[x] = m La v.a. représente le nombre d’événements (par exemple des pannes) qui se produisent dans l’intervalle [0, t[. • Un seul paramètre : le taux des arrivées m P(x = k) = e – m.mk k! P ( x £ k ) = e– m . mi i! S i = 0 k s2[x] = m Loi de Poisson 18 S d F Loi Exponentielle Loi Exponentielle Fonction de répartition : Moyenne : Variance : Densité de Probabilité : f(t) = l e – lt; l > 0; t > 0 Où λ est une constante positive et t le temps F(t) = 1 – e– lt E(x) = 1 l sx 2 = 1 l2 Lois Continues La variable aléatoire prend des valeurs continues 19 S d F Loi exponentielle Représentation graphique : l f(t) t Remarque : • C’est une loi, qui ne dépend que d’un paramètre l (ou q = 1/ l ) 20 S d F l = 0.00001 / h Sur un matériel électronique, on connaît le taux de défaillance : Trouver la probabilité de défaillance entre t 1 = 200 h et t 2 = 300 h. Loi exponentielle Exemple Probabilité de défaillance entre t 1 et t2 : F(t2)-F(t1) l.e– ltdt = e– lt1 – e– lt2 t1 t2 = e– 200 * 0.0001 – e– 300 * 0.0001 = 0.001 Solution 21 22 La v.a exponentielle est sans mémoire SPN: SITUATION DE CONFLIT 23 Pr{X>x}=1-Pr{X<x}=1-FX(x)=1-(1-e-λx)=e-λx * La loi N(0.1) est appelée loi normale réduite Loi Normale ou de Gauss N(m,s) Fonction de répartition : Moyenne : Variance : Densité de Probabilité : F(t) = 1 s 2p exp – 1 2 x – m s 2 – ¥ t dx E[x] = m Variance = s2 f(t) = 1 s 2p exp – 1 2 t – m s 2 ; – ¥ < t < + ¥; s > 0; – ¥ < m < + ¥ S d F 24 m t f(t) F(t) t 1 S d F Représentation graphique Loi Normale ou de Gauss N(m,s) f(t) = 1 s 2p exp – 1 2 t – m s 2 ; – ¥ < t < + ¥; s > 0; – ¥ < m < + ¥ 25 Fonction de répartition : Moyenne : Variance : Densité de Probabilité : La loi de Weibull dépend des trois paramètres suivants : γ : paramètre de position (décalage à l’origine) γ 0 (homogène au temps) ; β : paramètre de forme, β > 0 sans dimension (décide de l’allure globale de la loi) ; η : paramètre d’échelle (ou de durée de vie), η > 0 (homogène au temps). f(t) = b h t – g h b – 1 exp – t – g h b pour t ≥g F(t) =1 – exp – t – g h b pour t g F(t) = 0 pour t < g m = g + h G 1 + 1 b s2 = h2 G 1 + 2 b - G2 1 + 1 b Loi de Weibull S d F 26 uploads/Industriel/ cours-ps1.pdf