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Probabilités Loi Binomiale Productique des alliages moulés Une machine fabrique

Probabilités Loi Binomiale Productique des alliages moulés Une machine fabrique en série des pièces métalliques de forme cylindrique. On admet que la machine fabrique 20 pièces par heure et on suppose que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production soit défectueuse est 0,05. On désigne par X la variable aléatoire qui, à toute production horaire de 20 pièces, associe le nombre de pièces défectueuses de cette production (on assimile la production de 20 pièces à un prélèvement aléatoire avec remise). X suit une loi binomiale. a) Calculer l'espérance mathématique et la variance de X. b) Déterminer à 3 10− près la probabilité P(X ≤ 1).  Informatique industrielle Une entreprise dispose d'un parc de 25 machines du même type, fonctionnant indépendamment les unes des autres. Au cours d'une journée, une machine peut être en panne ou fonctionner correctement. La probabilité qu'une machine de ce type soit en panne au cours d'une journée est 0,035. Soit X la variable aléatoire qui, à une journée choisie au hasard, associe le nombre de machines tombées en panne parmi les 25 utilisées. On admettra que cette variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres n = 25 et p = 0,035. a) Calculer l'espérance mathématique et la variance de X. b) Déterminer à 3 10− près les probabilités des événements suivants : - aucune machine ne tombe en panne un jour donné ; - au moins deux machines tombent en panne un jour donné.   1  Probabilités Loi Binomiale Études et économie de la construction Une entreprise de travaux publics a un parc total de 150 camions. Après avoir parcouru un certain kilométrage, chaque camion est immobilisé pour une révision d'une journée. On a établi que la probabilité qu'un camion soit immobilisé une journée est p = 0,015. Les camions sont immobilisés indépendamment les uns des autres. On désigne par Y la variable aléatoire qui, à l'ensemble des 150 camions, associe le nombre de camions immobilisés un jour donné. La variable aléatoire Y suit une loi binomiale. a) Déterminer les paramètres de la loi suivie par la variable aléatoire Y. b) Calculer la probabilité d'avoir trois camions immobilisés le même jour. En donner une valeur approchée à 3 10− près. c) Si on considère un très grand nombre de journées, en moyenne combien y-a-t’il de camions immobilisés le même jour ?  Bâtiment Étude de l'absentéisme dans une entreprise du bâtiment. Dans cet exercice chaque probabilité demandée sera calculée à 3 10− près . Une agence d'une entreprise du bâtiment emploie vingt personnes. Une étude statistique permet d'admettre qu'un jour donné la probabilité qu'un employé donné soit absent est 0,05. On admet que les absences des employés survenues un jour donné sont indépendantes les unes des autres. On note X la variable aléatoire qui, à chaque jour, associe le nombre d'employés absents. 1° Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. 2° Calculer la probabilité des événements suivants : a) E1 : un jour donné il y a exactement trois absents ; b) E2 : un jour donné il y a strictement plus de deux absents ; c) E3 : un jour donné le nombre d'absents est compris entre trois et six (bornes comprises). 3° Calculer l'espérance mathématique notée E(X) de la variable aléatoire X. Que représente E(X) ?   2  Probabilités Loi Binomiale Mise en œuvre des plastiques Une usine fabrique des tubes fluorescents. Elle a testé les durées de vie de 400 tubes fluorescents. On obtient le tableau suivant : DUREE DE VIE (en heures) [300, 400[ [400, 500[ [500, 600[ [600, 700[ Nombre de tubes fluorescents 8 52 58 76 DUREE DE VIE (en heures) [700, 800[ [800, 900[ [900, 1000[ [1000, 1100[ [1100, 1200[ Nombre de tubes fluorescents 68 62 48 22 6 1° a) Calculer la moyenne, la variance et l'écart type de cette série statistique. On fera les calculs en supposant que dans chaque classe les éléments sont situés au centre. Aucun résultat intermédiaire n'est demandé. b) L'entreprise garantit que les tubes ont une durée de vie supérieure ou égale à 400 heures. Les tubes qui ne répondent pas à ces conditions sont dits défectueux. Donner le nombre de tubes défectueux dans la série statistique précédente puis le pourcentage d'éléments défectueux de cette série statistique. 2° L'entreprise vend ces tubes par lots de 20. On considère désormais que la probabilité qu'un tube soit défectueux est 0,02. Soit X la variable aléatoire qui à chaque lot de 20 tubes prélevés au hasard (avec remise), associe le nombre de défectueux. On suppose que X suit une loi binomiale. a) Quelle est la probabilité, que dans un lot, il n'y ait aucun tube défectueux (on donnera le résultat à 4 10− près). b) Quelle est la probabilité, que dans un lot il y ait au plus deux tubes défectueux (on donnera le résultat à 4 10− près).   3  Probabilités Loi Binomiale Groupement B 2000 Une entreprise industrielle utilise de grandes quantités d'un certain type de boulons. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre de la tête ou le diamètre du pied d'un boulon est conforme à la norme en vigueur. Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront donnés à 10 – 2 près. Dans un lot de ce type de boulons, 96% ont le diamètre de la tête conforme. On prélève au hasard 10 boulons de ce lot pour vérification du diamètre de leur tête. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 boulons. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 10 boulons, associe le nombre de boulons conformes pour le diamètre de la tête. a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. b) Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un boulon ne soit pas conforme pour le diamètre de la tête. On donnera la valeur décimale arrondie à 3 10− près.  Bâtiment Une enquête réalisée par la Sofres en 1991 permet d'estimer que la probabilité qu'une lettre, choisie au hasard dans le courrier d'une entreprise, parvienne à son destinataire en France, le lendemain, est 0,7. Dans la suite on ne considère que les lettres à destination de la France. A l'agence de Marne-la-Vallée d'une grande entreprise de Bâtiment on admet que l'on expédie 100 lettres par jour. On note X la variable aléatoire qui, à un jour choisi au hasard, associe le nombre de lettres qui parviendront à leur destinataire le lendemain. On suppose que les acheminements de ces lettres se font en toute indépendance. a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. b) Calculer l'espérance mathématique de X puis l'écart type de X. c) Calculer la probabilité que 60 lettres exactement, sur les 100 expédiées un jour choisi au hasard, parviennent à leur destinataire le lendemain. Pour ce calcul, on prendra C 60 100 = 1,375. 10 28.   4  Probabilités Loi Binomiale Maintenance Un sac contient 100 billes : 36 sont rouges, les autres sont bleues. Une épreuve consiste à tirer 50 fois de suite une bille au hasard dans ce sac, à constater sa couleur et à la remettre dans le sac avant le tirage de la boule suivante. Soit X la variable aléatoire associant à chaque épreuve le nombre de boules rouges tirées. Montrer que X suit une binomiale, calculer ses paramètres, son espérance mathématique et sa variance. Calculer la probabilité de l'événement " X = 2 ".  Microtechniques Un atelier produit en grande série des pièces cylindriques. On se place dans la situation où le pourcentage de pièces défectueuses de la production est 5 %. On prélève des lots de 50 pièces par tirages aléatoires, assimilés à des tirages avec remise. On désigne par X la variable aléatoire associant à chaque lot de ce type le nombre de pièces défectueuses du lot. 1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ? 2. Quelle est la probabilité qu'un tel lot de 50 pièces contienne au plus une pièce défectueuse ?  Industries graphiques Dans une imprimerie, le bureau de fabrication dispose de 9 machines dédiées au devis informatisé. 12 fabricants passent (indépendamment les uns des autres) 2/3 de leur temps au bureau et 1/3 à l'extérieur. Soit X la variable aléatoire qui, à un instant aléatoire, associe le nombre de fabricants présents au bureau au même instant. 1° Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? 2° Quelle est la probabilité que tous les fabricants se trouvent au bureau au même instant ? 3° Quelle est la probabilité qu'à un instant donné, tous les fabricants présents au bureau puissent disposer d'une machine de devis informatisé. On donnera une valeur approchée des résultats à 4 10− près.   5  Probabilités Loi Binomiale Groupement C Dans une usine, on utilise conjointement deux machines uploads/Industriel/ loi-binomiale 1 .pdf