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RACHID MESRAR PF5 2013-2014 Professeur de l’enseignement supérieur Bureau 37 Dé

RACHID MESRAR PF5 2013-2014 Professeur de l’enseignement supérieur Bureau 37 Département de physique Faculté des sciences Agadir Contact : r.mesrar@uiz.ac.ma ELASTICITE LINEAIRE Chapitre 1 : Cinématique des milieux continus RACHID MESRAR PF5 2013-2014 ELASTICITE LINEAIRE Plan du chapitre 1 A. Définitions B. Points de vue de Lagrange et l’Euler 1. Point de vue de Lagrange 2. Point de vue d’Euler 3. Relations entre les deux approches C. Dérivée particulaire 1. Appliquée à un champ scalaire 2. Autres applications D. Cinématiques particulières 1 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR Chapitre 1 A. Définitions Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR 2 A. Définitions Cinématique : Description mathématique du mouvement : GEOMETRIE + TEMPS = CINEMATIQUE On va donc s’intéresser à un milieu soumis à un mouvement au cours du temps. Système matériel : Ensemble de particules matérielles qui constitue l’objet de l’étude. Particule matérielle : Une particule matérielle est une petite région de l’espace composée de matière. Il ne faut pas la confondre avec la particule élémentaire, que l’on rencontre en physique fondamentale. Une particule matérielle est représentée mathématiquement par un point. elle n’a ni un volume nul, ni une masse nulle. Pourtant, La particule matérielle (ou point matériel) est donc le volume infinitésimal de matière située autour d’un point donné. 3 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR A. Définitions Domaine matériel : Un domaine matériel est une partie d’un système matériel qui peut se déplacer, mais qui contient toujours exactement les mêmes particules matérielles. A travers la frontière d’un domaine matériel, aucune matière ne rentre et aucune matière ne sort au cours du mouvement. Par conséquent, un domaine matériel est défini par une frontière fermée qui « suit » les particules lors de leur déplacement à tout instant. Domaine fixe : Un domaine fixe est le contraire d’un domaine matériel : il ne suit pas les particules dans leur mouvement, et reste toujours immobile. A travers la frontière d’un domaine fixe, il est tout à fait possible que de la matière rentre ou sorte au cours de son mouvement. 4 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR A. Définitions Domaine matériel : Domaine fixe : 5 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR A. Définitions ... ... .. ... ... ... .. .. .... .. .. Domaine matériel : ... ... ... .. .. ,,. ... ,,~ , , 1 f 1 l, , ,, ... .. - ... - ... - ... - ~ ~ - ~ - - - - , Domaine fixe : 6 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR A. Définitions Référentiel : Un référentiel est un observateur du mouvement. La plupart du temps on se placera dans un référentiel galiléen, défini comme celui dans lequel le principe fondamental de la dynamique est vérifié. Le référentiel terrestre sera supposé galiléen, même si, en réalité, il ne l’est pas complètement. Tout référentiel en translation rectiligne et uniforme par rapport au référentiel terrestre sera donc également considéré galiléen. Tout mouvement est défini par rapport à un référentiel. Un changement de référentiel modifie de manière drastique la description d’un mouvement. 7 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR Chapitre 1 B. Points de vue de Lagrange et d’Euler Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR 8 B. Points de vue de Lagrange et d’Euler 1. Point de vue de Lagrange Deux descriptions différentes d’un mouvement coexistent, chacune ayant ses avantages et ses inconvénients. On appelle ces points de vue les descriptions Lagrangienne et Eulérienne du mouvement. Joseph-Louis Lagrange 1736-1813 La première est plus adaptée à la mécanique mécanique des fluides, mais ce n’est pas figé. du solide et la deuxième est plus adaptée à la On va s’intéresser au mouvement d’un point repère de l’espace noté : M, qui se déplace au cours du temps dans un 9 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR B. Points de vue de Lagrange et d’Euler 1. Point de vue de Lagrange La description de Lagrange consiste à suivre une particule matérielle (identifiée par un point M) au cours de son mouvement, à partir de sa position d’origine. Cette description suppose donc qu’il y a un état du système que l’on suppose parfaitement connu, et que l’on nommera état initial ou état de référence. On suppose que cet état t = 0 . correspond au temps La position d’origine du point M est définie par son vecteur position (en majuscule). t> La position du point M (et de la particule associée) à un instant 0 est définie par son vecteur position (en minuscule). La position d’origine joue le rôle « d’étiquette » pour la particule associée au point M. Il permet t> 0 de l’identifier sans équivoque. La position de M à un instant s’écrire : quelconque peut donc de la particule qui était en Ce qui se traduit par : position à l’instant 10 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR B. Points de vue de Lagrange et d’Euler 1. Point de vue de Lagrange La description de Lagrange travaille donc sur la notion de trajectoire. La trajectoire de M est la ligne qui contient l’ensemble des positions du point matériel M au cours du temps. Très souvent, on oublie même de on un mentionner le temps t, et cherche simplement à comparer état initial et un état final. Dans notre exemple, on a : Etat initial : Etat final : à comparer Dans ce cas, le point de vue de Lagrange cherche 11 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR B. Points de vue de Lagrange et d’Euler 1. Point de vue de Lagrange La description de Lagrange permet de définir de manière rigoureuse les notions de vitesse et d’accélération d’une particule. La vitesse est la dérivation temporelle du vecteur position d’une particule identifiée par sa position initiale L’accélération est sa position initiale la dérivation temporelle du vecteur : vitesse d’une particule identifiée par représente la dérivation par rapport au temps pour fixé. Le symbole 12 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR B. Points de vue de Lagrange et d’Euler 2. Point de vue d’Euler La description d’Euler est radicalement différente de celle de Lagrange. On ne considère plus d’instant initial, et on n’essaie même plus de suivre une particule dans son mouvement. Cette description est bien adaptée à la cinématique d’un fluide, pour lequel il est difficile de définir un instant initial pour lequel les positions de toutes les particules seraient connues Leonard Euler 1707-1783 13 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR B. Points de vue de Lagrange et d’Euler 2. Point de vue d’Euler Dans la description d’Euler, on ne s’intéresse plus à un point M représentant une particule au cours de son mouvement, mais on indiquées par le vecteur position . s’intéresse à un point M fixe, dont les coordonnées sont La description du mouvement du milieu s’effectue par l’intermédiaire du vecteur vitesse : Cette vitesse est en fait la vitesse (au sens lagrangien) de la particule qui occupe la position à l’instant t. Il n’est donc nulle part fait mention D’une coordonnées initiale 14 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR B. Points de vue de Lagrange et d’Euler 3. Relations Lagrange-Euler On peut récapituler en disant que : -Les variables de Lagrange sont les coordonnées initiales l’instant t. , , et d’une particule et -Les inconnues de Lagrange sont les coordonnées actuelles particule. , , et de cette même -> On travaille avec une particule donnée, de position variable. -Les variables d’Euler sont les coordonnées spatiales , , et , et l’instant t. -Les inconnues d’Euler sont les composantes du vecteur vitesse , et . -> On travaille en un point constant, qui n’est jamais occupé par la même particule 15 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR B. Points de vue de Lagrange et d’Euler 3. Relations Lagrange-Euler On peut basculer d’une représentation à l’autre à l’aide des deux expressions suivantes : La première énonce que la position d’une particule à l’instant t=O est sa position initiale. La seconde énonce que la vitesse en un point et à un instant donnés est égale à la dérivée temporelle du vecteur position de la particule qui passe en ce point à cet instant précis. 16 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR Chapitre 1 C. Dérivée particulaire Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR 17 C. Dérivée particulaire 1. Appliquée à un champ scalaire La notion de dérivée particulaire, propre à la MMC. aussi appelée dérivée matérielle, est un outil mathématique Supposons un champ scalaire qui représente une grandeur physique : La dérivée matérielle exprime la variation de cette grandeur une particule dans son mouvement. lorsque l’on suit On note cette dérivée : On peut donc dire que la dérivée particulaire est une dérivée temporelle à constant. 18 Cours d’élasticité PF5 Rachid MESRAR C. Dérivée particulaire 1. Appliquée à un champ scalaire En description lagrangienne, la dérivée particulaire est une notion immédiate puisqu’elle suit une particule dans son mouvement : En eulérien c’est plus compliqué, car cette position initiale est inconnue. En revanche, très bien calculer une dérivée partielle en un uploads/Industriel/ lineaire.pdf