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Ecole Nationale Polytechnique Cours d’Electronique pour Génie Industriel Départ

Ecole Nationale Polytechnique Cours d’Electronique pour Génie Industriel Département d’Electronique M. HADDADI 1 LOIS DES CIRCUITS Plutôt que de présenter un cours fastidieux à propos des lois des circuits, il est à mon sens préférable d’en découvrir quelques unes à travers un exemple : Calculez le courant qui passe dans la résistance RL Application numérique : E0=5V, R0= 10Ω, R1= 10Ω, R2=100Ω, I=100 mA , RL=50Ω I. APPLICATION DES LOIS GENERALES Les lois fondamentales sont les lois de KIRCHHOFF: i i V =0 ∑ pour les mailles et i i I =0 ∑ pour les nœuds. (Ces lois s'appliquent dans tous les cas, que les courants et tensions soient continus ou variables mais elles conduisent en général à de nombreuses équations et à de longs calculs. C'est pourquoi on cherche à les éviter en faisant appel à d’autres méthodes que je vous citerai à l’occasion.) Avant d’appliquer la loi des mailles, il faut transformer toutes les sources en sources de tension. Avec E=R2I (notez le sens !) , on obtient : • Loi des mailles : Maille I : (partant du point A par exemple) : +R1I1+R2I1+E-E0 +R0I0=0 Maille II : partant du même point : +RLIL-E-R2I1-R1I1=0 • Loi des noeuds: Au nœud A : +I0-I1-IL=0 Au nœud B : -I0+I1+IL=0 (C’est la même équation) Règle générale : Quand il y a n nœuds, on a (n-1) équations B R1 R2 I RL R0 E0 R1 R2 RL R0 E0 E I1 I0 IL I II A + + IL Ecole Nationale Polytechnique Cours d’Electronique pour Génie Industriel Département d’Electronique M. HADDADI 2 On a donc 3 équations et 3 inconnues. On obtient alors : L 0 0 1 0 1 2 L 0 1 2 R (E -E)-R E I = R (R +R )+R (R +R +R ) L 0 0 1 2 L L L 0 1 2 L 0 1 2 R (E -E)-R E R +R E I = + R R R (R +R )+R (R +R +R ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ et I0 =I1+IL ( Il n’y a aucun intérêt à simplifier ces expressions) A-N : I1= - 0,04929 A IL= 0,091549 A I0=-0,04225 A (Il faut écrire : I1≈ - 49,3 mA IL≈ 91,5 mA I0 ≈ 42,2 mA) Le signe moins "-" signifie que le courant réel circule dans le sens inverse à celui choisi II. APPLICATION DE LOIS SIMPLIFICATRICES Les lois générales (lois de KIRCHHOFF) s'appliquent dans tous les cas, que les courants et tensions soient continus ou variables mais elles conduisent en général à de nombreuses équations et à de longs calculs. C'est pourquoi on cherche à les éviter en faisant appel à diverses autres méthodes : ♦ La méthode des mailles indépendantes (qui évite d'écrire les équations aux nœuds). ♦ La méthode des nœuds, duale de la précédente. ♦ Le théorème de THEVENIN (ou son dual, le théorème de NORTON). ♦ Le théorème de superposition. Etc.. Appliquons ici la méthode des mailles indépendantes : On décompose le circuit en mailles auxquelles on affecte un courant fictif dit courant de maille. Les mailles, qui ne devront contenir que des sources de tension devront aussi être indépendantes, leur équation n'étant pas le résultat d'une combinaison linéaire d'autres équations. Dans notre cas, ce sont des mailles qui n'ont en commun qu'une seule branche. Il y en a deux : Notez que le courant de maille est fictif: le courant que l'on cherche est le courant réel. Par exemple, le courant de maille qui passe dans la résistance R1 et qui correspond à I1 vaut (I1- I2) Celui qui passe dans la résistance RL est I2: il correspond à IL Les équations sont les suivantes et il n’y en a que deux : Maille 1 : (partant du point A et dans le sens de la flèche) : R1(I1- I2) +R2(I1- I2)+E-E0+R0I1=0 Maille 2: RLI2 -E +R2(I2- I1)+ R1(I2- I1)=0 soit (R0+R1+R2) I1 –(R1+R2)I2=E0-E -(R1+R2)I1 +(R1+R2+RL)I2=E R1 R2 RL R0 E0 E I1 I0 IL I1 A + + I2 Ecole Nationale Polytechnique Cours d’Electronique pour Génie Industriel Département d’Electronique M. HADDADI 3 On trouve alors: I2= Numériquement, I2= 91,5 mA Comme I2, courant fictif, est égal au courant réel IL on a évidemment IL=91,5 mA Pour les autres courants, il faut d’abord trouver I1 : 1 2 L 2 1 1 2 (R +R +R ) -E = R +R I I I1=42,2 mA Les courants réels sont donc : I0=I1= 42,2 mA I1= I1- I2 =-49,3 mA Le courant I1 est donc dans le sens contraire (va dans le sens du nœud A) Autre méthode (sans doute la plus simple): On effectue des transformations sources de tension-sources de courant pour aboutir à un circuit simplifié (ici, c’est le diviseur de courant). Le cheminement est expliqué dans les figures a à d : Figure b : La source de courant I est transformée en source de tension E=R2I ; R1 et R2 sont en série et constituent une résistance unique R3=R1+R2 ( A-N : R3=110Ω) Figure c : Les sources de tension E0 et E sont transformées en sources de courant. 0 0 1 0 1 2 3 E E E I = et I = = R R +R R ( A-N : I0=0,5 A et I1=0,091 A) Figure d : La source I2 est évidemment la composition des sources I1 et I0 (on a I2=I1+I0 =0,59A) et R4 est égale à (R0//R3)= 9,16 Ω Le courant IL vaut donc (formule du diviseur de courant) : 4 L 2 L 4 R I =I R +R ( A-N : IL=91,5 mA ) I RL R0 E0 R1 R2 R0 R0 I0 E0 R1 R2 I1 R3 RL RL RL E I2 R4 (a) (b) (c) (d) IL 1 2 0 0 0 1 2 L L 1 2 (R +R )E +R E R (R +R +R )+R (R +R ) Ecole Nationale Polytechnique Cours d’Electronique pour Génie Industriel Département d’Electronique M. HADDADI 4 III. APPLICATION DU THEOREME DE THEVENIN Enoncé du théorème : "Si dans un réseau, on s'intéresse au courant qui passe dans une charge, on peut remplacer tout le réseau, à l'exception de cette charge, par une source de tension avec sa résistance interne. La fem de cette source de tension est égale à la tension qui existerait aux bornes de cette charge rendue infinie ("ddp à vide") et sa résistance interne est la résistance vue par la charge lorsque toutes les sources du réseau sont neutralisées". (Note : neutraliser une source consiste à supprimer son effet : pour ce faire, on court-circuitera une fem et on enlèvera une source de courant) Appliquons donc ce théorème à notre circuit qui va donc se simplifier en celui de droite : 1°) Détermination de la fem de Thèvenin : On a eth=R1I0+R2(I+I0) et eth=-R0I0+E0 d’où: 1 2 0 0 2 th 0 1 2 (R +R )E +R R I e = R +R +R A-N: eth=5,41V 2°) Détermination de la résistance de Thèvenin : On voit bien que la résistance vue entre les points A et B est constituée par R0 en parallèle avec (R1+R2) : 0 1 2 th 0 1 2 R (R +R ) R = R +R +R (Rth=9,16Ω) Le courant cherché est bien sûr th L th L e I = R +R (A-N : IL≈91,5 mA) RL Rth eth IL R1 R2 I RL R0 E0 A B E0 R1 R2 I R0 A B eth I0 I0 (I+I0) R1 R2 R0 A B R1 R2 R0 A B Ecole Nationale Polytechnique Cours d’Electronique pour Génie Industriel Département d’Electronique M. HADDADI 5 R1 R RL I1 I2 I αv v IL Un cas particulier important dans le théorème de Thèvenin : le cas des sources contrôlées En électronique, il existe des sources (de tension ou de couran)t qui ne sont pas indépendantes c’est à dire que la valeur de leur fem (ou de leur courant) n’est pas constante, mais dépend d’un paramètre quelconque qui pourrait être le courant dans une branche quelconque du circuit ou la tension en un nœud quelconque. Dans ce cas, il ne faut pas neutraliser de telles sources. Voyons un exemple : Trouvez le courant dans la résistance RL du circuit suivant : SOLUTION Par le calcul direct : Les équations du circuit sont les suivantes : R1I1+RLIL-v=0 (1) v=R2I2 (2) I=I1+I2 (3) I1+αv=IL (4) Pour trouver IL , nous chercherons à éliminer I1,I2 et v : (1) s’écrit R1I1 + RLIL-R2(I-I1)=0 soit (R1+R2)I1-R2I+RLIL=0 (5) (4) s’écrit I1+αR2(I-I1)=IL soit I1(1-αR2)=IL-αR2I (6) On trouve alors en remplaçant I1 tiré de (6) dans (5): ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + 2 2 1 2 2 2 2 1 1 ) ( 1 R R R R R I R R R R I L L α α α Pour simplifier, compte tenu que αR2>>1 , on trouve : I R uploads/Industriel/ lois-des-circuits.pdf