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Probabilités - Problèmes de synthèse Statistiques et lois usuelles Productique

Probabilités - Problèmes de synthèse Statistiques et lois usuelles Productique des alliages moulés Une machine fabrique en série des pièces métalliques de forme cylindrique. A) Dans un lot de 100 pièces on a mesuré les diamètres de chaque pièce et on a obtenu le tableau suivant : diamètre en mm effectif [15,5 ; 15,7[ 2 [15,7 ; 15,9[ 11 [15,9 ; 16,1[ 68 [16,1 ; 16,3[ 16 [16,3 ; 16,5[ 3 En faisant l'hypothèse que, pour chaque classe, les valeurs observées sont égales à celle du centre de la classe, calculer ( à 3 1 0 − mm près) une valeur approchée de la moyenne et l'écart type des diamètres des pièces de l'échantillon. B) On admet que la machine fabrique 20 pièces par heure et on suppose que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production soit défectueuse est 0,05. On désigne par X la variable aléatoire qui, à toute production horaire de 20 pièces, associe le nombre de pièces défectueuses de cette production (on assimile la production des 20 pièces à un prélèvement avec remise). X suit une loi binomiale. a - Calculer l'espérance mathématique et la variance de X. b - Déterminer à 3 1 0 − près la probabilité P(X ≤ 1). C) On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque pièce tirée au hasard dans la production, associe la mesure en millimètres de son diamètre. A la suite de contrôles statistiques on estime que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne µ = 16 et d'écart type σ = 0,14. a - Déterminer la probabilité P(Y < 16,2). b - Déterminer la probabilité P(Y > 15,7). c - On accepte les pièces dont le diamètre appartient à l'intervalle [15,7 ; 16,2]. Quelle est la probabilité qu'une pièce, tirée au hasard dans la production soit acceptée ? Quel rebut peut-on prévoir sur un lot de 1000 pièces ? Dans cette question on donnera des valeurs approchées des probabilités à 4 1 0 − près.      1     Probabilités - Problèmes de synthèse Biotechnologie Une entreprise fabrique en grande série des pipettes de laboratoire. Ces pipettes sont calibrées. On s'intéresse à la fiabilité de la calibration à l'aide d'un test gravimétrique Toutes les probabilités demandées seront données au centième le plus proche. 1ère partie : 1. On teste 23 pipettes pour lesquelles on obtient les résultats suivants : Volume en µ l 99,6 99,7 99,8 100 100,1 100,2 100,3 100,4 Nombre de pipettes 1 1 2 8 7 2 1 1 Donner l'écart type et la moyenne de cette série de mesures. 2ème partie : On appelle X la variable aléatoire qui à toute pipette, choisie au hasard, associe le résultat du test en µ l. On considère que X suit la loi normale de moyenne 100 et d'écart type 0,16. 1° Calculer la probabilité d'obtenir le résultat du test dans l'intervalle [99,7 ; 100,3]. 2° Déterminer le nombre positif a, au dixième près, tel que 80 % des mesures appartiennent à l'intervalle [100 – a ; 100 + a]. 3ème partie : On refuse toutes les pipettes pour lesquelles le volume obtenu lors du test est strictement supérieur à 100,3 µ l ou strictement inférieur à 99,7 µ l. La probabilité qu'une pipette soit défectueuse est égale à 0,06. Dans un lot d'un très grand nombre de pipettes, on effectue un contrôle sur 50 pipettes choisies au hasard. On appelle alors Y la variable aléatoire qui, à tout lot de 50 pipettes associe le nombre de pipettes défectueuses. On assimile les prélèvements de 50 pipettes à des tirages de 50 pipettes avec remise. 1° Quelle est la loi de probabilité de Y ? 2° On suppose désormais que l'on peut approcher la loi de probabilité de Y par une loi de Poisson. a) Préciser le paramètre de cette loi. b) Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucune pipette défectueuse dans le lot ? c) Quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 4 pipettes défectueuses dans le lot ?      2     Probabilités - Problèmes de synthèse Biochimiste Les questions 1 et 2 peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre. 1° Au cours d’une répartition de pénicilline en flacons sur une machine automatique, on prélève à intervalles plus ou moins réguliers, un flacon dont on pèse le contenu, au dixième de milligramme. On prélève ainsi un échantillon de 250 flacons dont les masses des contenus exprimées en mg se répartissent en 20 classes comme suit : classes effectifs classes effectifs [116,5 ; 117,5[ 2 [126,5 ; 127,5[ 25 [117,5 ; 118,5[ 3 [127,5 ; 128,5[ 22 [118,5 ; 119,5[ 4 [128,5 ; 129,5[ 14 [119,5 ; 120,5[ 10 [129,5 ; 130,5[ 15 [120,5 ; 121,5[ 10 [130,5 ; 131,5[ 10 [121,5 ; 122,5[ 16 [131,5 ; 132,5[ 7 [122,5 ; 123,5[ 20 [132,5 ; 133,5[ 5 [123,5 ; 124,5[ 23 [133,5 ; 134,5[ 5 [124,5 ;125,5[ 21 [134,5 ; 135,5[ 4 [125,5 ; 126,5[ 30 [135,5 ; 136,5[ 4 a) Calculer la moyenne x la variance Vx et l’écart type σ x de cette série statistique en supposant que dans chaque classe, tous les éléments sont situés au centre. ( x et σ x seront exprimés à 10 - 3 près par défaut). b) Quel est le pourcentage de flacons ayant un contenu dont la masse est de moins de 125,5 mg ? 2° Cet échantillon a permis de prendre pour estimation des paramètres de la population correspondante : la moyenne µ = 126 , l’écart type σ = 4 . Soit X la variable aléatoire qui, à tout flacon prélevé au hasard, associe la masse de son contenu, exprimée en milligrammes. On suppose que X suit la loi normale n (126, 4). a) Calculer à 4 1 0 − près les probabilités : P(X < 125) P(118 < X < 134) P(X > 129,2) b) On a utilisé un sel de pénicilline titrant 1600 unités au milligramme. L’activité moyenne par flacon est 201.600 unités. Pour obéir aux prescriptions des normes en vigueur, l’activité trouvée par flacon doit être au moins de 95 pour cent de celle annoncée sur l’étiquette, soit 200.000 unités. b1) Quelle est la masse u du contenu du flacon correspondant à cette activité minimum ? (On exprimera la réponse à 3 1 0 − près par défaut ). b2) Quelle est la proportion moyenne de flacons dans la population ayant une masse inférieure à cette masse u ? (C’est-à-dire calculer P(X < u) ).      3     Probabilités - Problèmes de synthèse Industries des matériaux souples Les deux parties A et B sont indépendantes. Une machine produit des boutons en grande quantité. Partie A 1° On considère que la variable aléatoire X qui, à tout bouton, pris au hasard dans la production, associe son diamètre en mm, suit la loi normale de moyenne µ = 21 et d'écart type σ = 0,23. Un bouton est considéré comme étant de qualité inférieure si son diamètre n'est pas dans l'intervalle [20,5 ; 21,5]. Calculer le pourcentage prévisible de boutons de qualité inférieure. 2° On admet que la probabilité qu'un bouton pris au hasard dans la production soit de qualité inférieure est 0,03. On constitue des plaques de 50 boutons pris au hasard dans la production. On note Y la variable aléatoire qui, à toute plaque de 50 boutons, associe le nombre de boutons de qualité inférieure qu'elle contient. La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler le prélèvement de 50 boutons à un prélèvement aléatoire avec remise. a) Quelle est la loi suivie par Y ? b) Calculer la probabilité de n'avoir dans une plaque aucun bouton de qualité inférieure. (réponse arrondie à 3 1 0 −). c) On décide d'approcher la loi de Y par une loi de Poisson. Préciser son paramètre et calculer, dans le cadre de cette approximation, la probabilité d'avoir au moins 3 boutons de qualité inférieure dans une plaque. Partie B La machine se dérègle au fil du temps et on décide donc de noter chaque jour le pourcentage de boutons de qualité inférieure produit par cette machine. Jours : xi 1 2 3 4 5 6 % de boutons : yi 2,5 2,6 2,8 3,3 3,2 3,4 1° Représenter cette série statistique double par un nuage de points en portant en abscisses xi et en ordonnées yi avec comme unités graphiques 1 cm pour un jour en abscisses et 2 cm pour 1 % en ordonnées. 2° a) Donner une équation de la droite de régression de y en x. (les coefficients la caractérisant seront donnés à 1 1 0 − près). b) Tracer cette droite sur le graphique de la question 1. 3° On suppose que l'équation précédente est une bonne représentation du phénomène "déréglage de la machine" étudié (du ler au 15ème jour). Estimer le pourcentage de boutons de qualité inférieure produits, au 8ème jour, uploads/Industriel/ lois-problemes-de-synthese.pdf