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Asservissement et R´ egulation AU2 - GM 207 G´ enie M´ ecanique, Novembre , 200

Asservissement et R´ egulation AU2 - GM 207 G´ enie M´ ecanique, Novembre , 2005 ABDELKADER CHAARI Chapter 1 Notions g´ en` erales 1.1 Introduction De nos jours, diﬀ´ erentes raisons ´ economiques, s´ ecuritaires et sociales, on a souvent ten- dance ` a r´ eduire ou ` a supprimer l’intervention de l’homme dans des proc´ ed´ es industriels. Par une telle action, nous obtenons ce que l’on appelle dans la litt´ erature de la commande des syst` emes un syst` eme automatique. Un syst` eme est dit automatique lorsqu’il accomplit une tˆ ache d´ etermin´ ee sans n´ ecessiter l’intervention humaine. La vari´ et´ e et la complexit´ e des syst` emes ne cessent d’´ evoluer. Nous vivons dans un monde o` u l’automatisation prend une place tellement importante que notre mode de vie doit s’y adapter continuellement. Nous subissons cette ´ evolution de l’automatisation quotidiennement, que ce soit dans le milieu professionnel ou domes- tique. Il est par cons´ equent naturel d’accorder une attention particuli` ere aux syt` emes automatiques. 1.2 Terminologie de l’automatique Les principes d’automatique sont souvent utilis´ es dans nos tˆ aches quotidiennes. A titre d’exemple,citons le cas de la conduite d’un v´ ehicule automobile. En eﬀet, en conduisant un v´ ehicule, on cherche souvent ` a lui assurer une vitesse et une direction d´ et´ ermin´ ees. De telles grandeurs sont impos´ ees par les conditions de circulation sur la route. En ce qui concerne le r´ eglage de la vitesse du v´ ehicule, le conducteur se ﬁxe une vitesse, soit ` a titre d’exemple 100 Km/h. La comparaison ` a tout instant de cette vitesse de r´ ef´ erence avec celle lue sur le cadran g´ en` ere une diﬀ´ erence appel´ e erreur, qui indique de combien la vitesse du v´ ehicule diﬀ` ere de la vitesse d´ esir´ ee. A partir de cet ´ ecart, le conducteur prend une d´ ecision, la plus simple se r´ esumant ` a: • appuyer sur la p´ edale d’acc´ el´ eration lorsque l’´ ecart est positif: En eﬀet, en ap- puyant sur la p´ edale, le conducteur augmente le d´ ebit d’essence, ce qui entraˆ ıne l’augmentation de la vitesse de d´ eplacement lin´ eaire du v´ ehicule. Le conducteur se rend compte de ce changement en lisant de fa¸ con permanente le cadran. 3 • retirer le pied de la p´ edale lorsque l’´ ecart est n´ egatif: Le retrait du pied de la p´ edale produit un eﬀet inverse ` a celui obtenu lorsqu’on appuie sur la p´ edale. Ainsi, par des actions appropri´ ees sur la p´ edale, le conducteur est capable de r´ egler la vitesse du v´ ehicule ` a la valeur d´ esir´ ee. Des ph´ enom` enes incontrˆ olables, tels que les changements des conditions de route ( pentes, virages, etc..) obligent souvent le conducteur ` a r´ eajuster le r´ eglage de la vitesse de son v´ ehicule. Ces actions ext´ erieures sont souvent appel´ ees des perturbations ou parasites du syst` eme. Le r´ eglage de la direction du v´ ehicule est assur´ e par le r´ eglage de la position angulaire du volant. Ainsi, si le conducteur d´ ecide de tourner ` a gauche , il doit tourner son volant vers la gauche, et le v´ ehicule va suivre cette direction ` a condition qu’il poss` ede une vitesse non nulle. Apr` es un certain temps, le conducteur doit tourner progressivement son volant vers la droite pour aligner les roues et ainsi faire suivre au v´ ehicule la direction d´ esir´ ee. Il faut noter qu’il existe un certain couplage entre le r´ eglage de la vitesse et celui de la direction. Cet exemple n’est pas un syst` eme automatique, mais il illustre le principe d’op´ eration des syst` emes automatiques. Dans cet exemple, on retrouve: Figure 1.1: Sch´ ema fonctionnel d’un syst` eme automatique • Le syst` eme ` a commander ( v´ ehicule ), ses grandeurs d’entr´ ee ( position de la p´ edale, position angulaire du volant), ses grandeurs de sortie ( vitesse du v´ ehicule, orien- tation du v´ ehicule ); et ses grandeurs parasites (condition de la route, vent, etc ..); • l’organe de mesure ou capteur ( cadran de vitesse et vision humaine ) n´ ecessaire ´ a la mesure de la vitesse et de la direction du v´ ehicule; • le correcteur ( repr´ esent´ e par l’humain dans cet exemple) qui est l’organe d’intelligence de la structure de commande employ´ ee. Sa fonction consiste d’abord ` a d´ eterminer l’erreur entre la grandeur ` a commander et la grandeur de r´ ef´ erence, puis ` a agir en cons´ equence pour minimiser sette erreur. La premi` ere ´ etape est faite ` a l’aide d’un organe portant le nom de comparateur. En g´ en` eral, en automatique, un tel syst` eme est souvent repr´ esent´ e par le sch´ ema fonc- tionnel de la ﬁgure 1.1. En supprimant l’intervention humaine, on obtient un syst` eme asservi . 1.3 Notion de syst` eme Un syst` eme, aggr´ egation d’´ el´ ements interconnect´ es, est constitu´ e naturellement ou artiﬁ- ciellement aﬁn d’accomplir une tˆ ache pr´ ed´ eﬁnie. Son ´ etat est aﬀect´ e par une ou plusieurs variables, les entr´ ees du syst` eme. Le r´ esultat de l’action des entr´ ees est la r´ eponse du syst` eme qui peut ˆ etre caract´ eris´ ee par le comportement d’une ou plusieurs variables de sorties. Le syst` eme complet ou un des ´ el´ ements le composant est g´ en´ eralement repr´ esent´ e sch´ ematiquement par un sch´ ema fonctionnel consistant en un rectangle auquel les signaux d’entr´ ee repr´ esent´ es par des ﬂ` eches entrantes sont appliqu´ es. L’action des entr´ ees produit de mani` ere causale des eﬀets mesur´ es par les signaux de sortie repr´ esent´ es par des ﬂ` eches sortantes. Notons ainsi que la notion de syst` eme est indissociable de celle de signal. Figure 1.2: Sch´ ema fonctionnel Les entr´ ees aﬀectant un syst` eme peuvent ˆ etre de nature diﬀ´ erente. Les unes ont pour but d’exercer des actions entrainant le fonctionnement souhait´ e du syst` eme; ce sont les commandes. Les autres entr´ ees troublent le fonctionnement d´ esir´ e et sont d´ eﬁnies comme des perturbations. Figure 1.3: Commandes e(t) et perturbations d(t) Chaque ´ el´ ement constitutif de l’ensemble syst` eme peut ˆ etre caract´ eris´ e par un nombre ﬁni de variables et l’interd´ ependance des variables caract´ erisant chaque ´ el´ ement peut ˆ etre exprim´ ee sous la forme d’une loi math´ ematique. Ainsi la relation entre les entr´ ees et les sorties du syst` eme est lexpression des lois de la physique associ´ ees au syst` eme, c’est ` a dire la combinaison des lois math´ ematiques pr´ ec´ edentes. L’ensemble des lois math´ ematiques r´ egissant la causalit´ e entre les entr´ ees et les sorties du syst` eme constitue le mod` ele math´ ematique du syst` eme. La mod´ elisation, ´ etape pr´ eliminaire de l’analyse d’un syst` eme quelconque, ind´ ependamment de sa nature physique, de sa composition et de son degr´ e de complexit´ e comporte donc les ´ etapes suivantes: • identiﬁcation des variables pertinentes pour la caract´ erisation de chaque ´ el´ ement constituant le syst` eme, • caract´ erisation des relations entre ces variables, • repr´ esentation math´ ematique des int´ eractions entre les ´ el´ ements ` a travers la repr´ esentation math´ ematique des int´ eractions entre les variables, • formation d’un syst` eme de relations entre les variables caract´ erisant le syst` eme comme un tout, • formation d’un syst` eme de relations entre les variables d’entr´ ee et les variables de sortie. Il est important de remarquer que tous ces aspects de l’analyse des syst` emes ainsi que ceux d´ evelopp´ es par la suite sont abord´ es en th´ eorie des syst` emes d’un point de vue abstrait plutˆ ot que d’un point de vue physique. Cela signiﬁe qu’en th´ eorie des syst` emes, l’identit´ e physique des variables associ´ ees ` a un syst` eme importe moins que les relations math´ ematiques entre ces mˆ emes variables. 1.3.1 Syst` emes lin´ eaires Introduction Une classe particuli` ere dont l’importance pratique est remarquable est celle des syst` emes d´ ecrits par des ´ equations diﬀ´ erentielles lin´ eaires. On parle alors de syst` emes lin´ eaires. Si elle n’est strictement que rarement v´ eriﬁ´ ee en pratique, cette hypoth` ese de lin´ earit´ e peut ˆ etre accept´ ee pour de nombreux syst` emes ´ evoluant autour d’une position d’´ equilibre sous l’hypoth` ese des faibles d´ eviations. Un processus de lin´ earisation est alors n´ ecessaire. D´ eﬁnition Un syst` eme est dit lin´ eaire, tout syst` eme r´ egi par une ´ equation diﬀ´ erentielle lin´ eaire ` a coeﬃcients constants: any(n)(t) + ... + a1y(1)(t) uploads/Industriel/ mon-cour-automatique.pdf