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PUBLICATIONS MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUES DE RENNES MICHÈLE ARTAUD À propos d

PUBLICATIONS MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUES DE RENNES MICHÈLE ARTAUD À propos de la transposition institutionnelle d’un objet mathématique Publications de l’Institut de recherche mathématiques de Rennes, 1991, fascicule S6 « Vième école d’été de didactique des mathématiques et de l’informatique », , p. 47-52 <http://www.numdam.org/item?id=PSMIR_1991___S6_47_0> © Département de mathématiques et informatique, université de Rennes, 1991, tous droits réservés. L’accès aux archives de la série « Publications mathématiques et informa- tiques de Rennes » implique l’accord avec les conditions générales d’utili- sation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce ﬁchier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ - 47 - THEME 2 T r a v a u x d i r i g é s : "A propos de la transposition institutionnelle d'un objet mathématique" par Michèle ARTAUD I.R.E.M., Aix-Marseille (C.E.T.F.I) 163, avenue de Luminy 13009 MARSEILLE L'objectif de cette séance de travaux dirigés était d'illustrer la troisième partie du cours de Gilbert Arsac relative à la théorie de la transposition institutionnelle. Pour cela, nous avons choisi d'étudier un problème relevant du champ de problèmes suivant : Etude de la genèse et de Vécologie dun objet O vivant dans une institution I non mathématique, O étant regardé dans I comme un objet mathématique. Il s'agissait pour les participants d'enquêter collectivement - tout en étant dirigés - à propos d'un problème particulier qui leur était proposé, afin de commencer de faire émerger une technique d'étude des problèmes du champ. Nous présentons ci-après l'organisation de la séance dans une forme volontairement schématique comportant trois parties : le problème proposé ; un corrigé de ce problème ; la présentation sommaire d'une technique d'étude de ce type de problèmes. 1. Le problème à étudier Soit I l'institution « recherche en économie » et soit O l'objet « matrice positive ». Ce problème a pour objet l'étude de la genèse et de l'écologie de O dans I. Les données dont on dispose sont fournies par les documents suivants : -Document 1 : Ph. Michel (1988), Cours de mathématiques pour économistes, Economica : Chapitre 9, Matrices positives, pp. 169-195. -Document2 : M. Morishima(1964), Equilibrium Stability, and Growth, Oxford University Press : Appendix, Generalisations of the Perron-Frobenius Theorems for Non-negative Square Matrices, pp. 195-196, et References. -Document3 : GJL. Shackle (1967), The Years of High Theory : Invention and Tradition in Economic Thought, 1926-1939, Cambridge University Press, pp. 7-9. - Document 4 : Gantmacher (1966), Théorie des matrices, tome 2, Questions spéciales et applications, Dunod, Paris : Chapitre 13, Matrices à éléments non- négatifs, pp. 46-51, et bibliographie. -Document5: D.Gale (1989), The Theory of Linear Economie Models, The University of Chicago Press : Chapitre 9, Linear Models of production, pp.294-297. 1. Centre d'économie et des techniques du financement - 48 - Dans tout ce qui suit, on note Ej l'école associée à I, c'est-à-dire l'institution didactique qui forme les acteurs de I. Première partie 1. On admettra ici que la présence dans Ej d'un objet ayant le statut d'enjeu didactique implique sa présence dans I. a) Montrer, en se référant principalement au document 1, que l'objet O est présent dans I, et qu'il y est reconnu comme objet mathématique. b) En utilisant le document 4, montrer que l'objet O est présent dans l'institution mathématique, IM. 2. A l'aide des documents 1 et 5, précisez l'écotope de I dans lequel vit O. Quelles raisons ont amenées la présence de O dans cet écotope ? 3. Quelles raisons ont pu faire émerger O comme objet institutionnel dans I ? Deuxième partie On admettra que la présence de O dans I et dans IM résulte de l'un des deux processus suivants : (TI) : L'objet O a été créé dans IM puis importé dans I. (C'est un processus de transposition institutionnelle.) (CT) : L'objet O a été créé dans I puis repris par IM. (C'est un processus de contre- transposition.) En argumentant votre réponse, indiquez duquel de ces deux types de processus résulte la présence de O dans I et dans IM. Troisième partie On admettra que c'est le processus (TI) qui explique la présence de O dans I. 1. Montrer, à l'aide du document 2, que le passage de l'objet O de IM dans I s'est accompagné d'un travail spécifique de cet objet de la part de I. 2. Quelles raisons ont pu motiver ce travail de création institutionnelle accompagnant le processus de transposition institutionnelle ? 3. Que pouvez-vous dire des acteurs de I qui ont effectué ce travail ? Quatrième partie Dans cette partie nous étudions le processus de transposition didactique (c'est-à-dire d'importation de I dans Ei) dont O a été l'objet 1. A propos du livre de Gale (document 5), P. A. Samuelson, prix Nobel en 1970, a écrit : « Gale's Linear Economie Models instructed past generations of economists. Today's beginners and experts will want it handy on their library shelves - that's canny personal finance ! ». En vous aidant de cette observation, dites pourquoi on peut situer le point de départ du processus de transposition didactique dans la noosphère de I. 2. Montrer que le travail transpositif engagé dans la noosphère de I provoque l'apparition d'un nouvel objet, celui de matrice productive. 3. Montrer que l'objet mathématique étudié dans le document 1 n'est pas l'objet O = « matrice positive » mais bien l'objet O' = « matrice productive ». 4. Pourquoi le document 1 s'intitule-t-il pourtant matrices positives ? (On admettra ici que l'objet O' n'est pas reconnu par IM). - 49 - 2. Corrigé Première Partie 1. a) L'objet 0, matrice positive, apparaît dans un chapitre du Cours de mathématiques pour économistes de Ph. Michel [document 1] ; il en est, semble-t-il, l'objet d'étude puisque ce chapitre s'intitule « Matrices positives ». O est donc présent, en tant qu'objet mathématique, dans l'école associée à I, E\. Or la présence dans Ei de O comme enjeu didactique implique sa présence dans I, d'après l'hypothèse faite dans l'énoncé. b) Dans la Théorie des matrices de Gantmacher [document 4], l'auteur consacre un chapitre aux matrices non négatives. L'objet est donc présent dans l'institution mathématique. 2. Dans le document 1, sous le titre du chapitre, Ph. Michel écrit : « En économie, les matrices de coefficients techniques (définissant les consommations intermédiaires dans un système de production linéaire) sont des matrices à termes positifs ou nuls. » L'objet O intervient donc dans la modélisation des systèmes de productions linéaires. Ceci est confirmé par le document 5, dans lequel l'auteur écrit (p. 295) : « A consumption matrix A for a simple linear model may be any non-negative square matrix ». L'écotope de I dans lequel vit O est donc le domaine des modèles linéaires de production. La modélisation, en termes de production, est la suivante [document 1 et document 5]. On considère une économie qui est divisée en n industries, chaque industrie produisant un bien et un seul et consommant le produit des autres industries (elle-même comprise). Appelons xi la quantité de bien i produit par l'industrie i (xi est positif ou nul), et an la quantité de bien i nécessaire pour produire une unité de bien j (a¡j est positif ou nul). On fait alors l'hypothèse que la production est linéaire, soit encore que la quantité de bien i consommé par l'économie sera Ij anxj, ou, en écriture matricielle, AX, où les matrices A et X sont positives. C'est donc 1 hypothèse de linéarité du modèle de production qui suscite l'apparition des matrices. Les coefficients de ces matrices étant positifs, l'objet en jeu est alors l'objet « matrice positive ». 3. On peut distinguer deux raisons principales pour lesquelles O a été identifié par I. La première est que l'objet « matrice » est bien identifié par IM. On peut donc penser que I a reconnu l'objet « matrice », éventuellement dans le but d'accroître la reconnaissance de l'économie comme science, la spécification « matrices positives » venant du fait que leurs coefficients sont tous positifs. La seconde tient à la modélisation elle-même [document 1 et document 5]. L'économiste cherche à obtenir un programme de production X qui soit tel que l'économie soit productive, c'est-à-dire qu'elle produise plus qu'elle ne consomme. Ce qui s'écrit, en termes matriciels, qu'il faut trouver X £ 0 tel que X - A X = C^0, soit X tel que X(I - A) = C > 0. La problématique dans laquelle est engagé l'objet O engendre donc des problèmes à propos de O. Il est alors normal qu'il soit identifié, pour pouvoir être travaillé. Deuxième partie La présence de O dans I et IM peut s'expliquer de plusieurs manières. O peut avoir été créé dans IM puis importé dans I quand le besoin s'en est fait sentir (quand on a commencé à étudier les modèles de production linéaires). Dans ce cas, un processus de transposition institutionnelle aurait importé O de IM dans I. C'est le processus (TI). 2. uploads/Industriel/ psmir-1991-s6-47-0.pdf