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v Amortisseurs de FRAHM… PALUSSIERE David ICAM site de Vendée 13/10/2009 Minith

v Amortisseurs de FRAHM… PALUSSIERE David ICAM site de Vendée 13/10/2009 Minithèse Dynamique des structures INTRODUCTION AUX AMORTISSEURS FRAHM .................................................................... 2 Modélisation .............................................................................................................................................. 4 APPROCHE THÉORIQUE .......................................................................................................... 4 EXEMPLES D’APPLICATION .................................................................................................... 8 Dans les bâtiments ................................................................................................................................... 8 Dans l’industrie ......................................................................................................................................... 8 Dans l’automobile ..................................................................................................................................... 8 Dans les applications modernes et variées ............................................................................................ 8 CONCLUSION ............................................................................................................................. 9 Les inconvénients ..................................................................................................................................... 9 Les avantages ........................................................................................................................................... 9 BIBLIOGRAPHIE ........................................................................................................................ 9 Livres ........................................................................................................................................................ 9 Sites Internet ............................................................................................................................................. 9 ANNEXE I : BREVET DÉPOSÉ PAR HERMAN FRAHM (PATENT # 989958) EN 1911 ....... 10 Introduction aux amortisseurs FRAHM Un système sur lequel agit une force d'alternance régulière et de fréquence constante peut être soumis à des vibrations impactant les performances et la longévité de l'équipement, notamment en condition de résonance. Pour améliorer une telle situation, il existe plusieurs méthodes. La plus logique semble tout d’abord d’essayer d'éliminer la force excitatrice mais la plupart du temps ce n'est pas pratique ou bien impossible. Une autre solution consiste à changer la masse ou la raideur du système afin de le tenir à l'écart de la condition de résonance, mais dans certains cas cela aussi semble peu réaliste. Une troisième possibilité est dans la mise en place d’un amortisseur de FRAHM où d’un absorbeur de vibrations dynamique. C’est cette dernière solution que porte notre étude. On désigne sous le nom de FRAHM un dispositif permettant d’atténuer, sur une gamme de fréquences déterminées, les vibrations d’un système mécanique. Cet amortisseur de vibration dynamique a été inventé en 1909 par Hermann FRAHM (US Patent # 989958, délivré en 1911 : Annexe I). L’optimisation de ce type d’amortisseur est de limiter le mouvement de la masse principale dans une gamme de fréquence aussi large que possible, correspondant aux fréquences d’utilisation. C’est ce que nous allons étudier dans la partie théorique. Je me suis permis d’écrire 7 pages au lieu de 5 car les calculs prennent de la place et je préférais une mise en page aéré. Page 2/18 Sommaire Introduction aux amortisseurs FRAHM Amortisseurs de FRAHM Page 3/18 Amortisseurs de FRAHM Modélisation Dans la figure ci-contre, nous allons assimiler le couplage 1 k , 1 m comme la représentation schématique d’une machine ou d’un système à l’étude, avec la force t F ω sin 0 agissant dessus. L’amortisseur quand à lui, consiste à un petit système vibrant similaire au précédent mais de couple 2 k , 2 m et suspendu à la masse principale. La fréquence naturelle m k / du système secondaire est choisi égale à la fréquence ω de la force d’excitation. FRAHM démontre que le mouvement de la masse principale est réduite à zéro, et que le petit système de couple 2 k , 2 m vibres de tel manière que ses oscillations sont à tout instant égales et opposées à t F ω sin 0 . Les forces sont annulées sur la masse principale qui ne vibre plus. En d’autres termes, l’atténuation des vibrations du système principale est obtenue par un transfert d’énergie sur le système auxiliaire. Pour démonter cette affirmation, je vais décrire une approche théorique d’un amortisseur de FRAHM jusqu’à sa représentation graphique. Approche théorique Principe Fondamental de la Dynamique : Toujours sur la base de la figure ci-dessus et pour correspondre à notre maquette, je vais démontrer l’efficacité « théorique » d’un amortisseur de FRAHM en régime permanent. Tout d’abord, on peut écrire les équations du principe fondamental de la dynamique : ) cos( ) ( 2 1 2 1 1 1 1 t F x x k x k x m ω = − + +   (1) 0 ) ( 2 1 2 2 2 = − + x x k x m   (2) Il apparaît uniquement les membres 1 x   , 1 x et 2 x   , 2 x et non les dérivés 1 x  et 2 x  . En effet, une fonction cosinus reste une fonction cosinus après 2 dérivations. On cherche à amortir le système principal ( 1 m , 1 k ) en diminuant son amplitude pour sa période de résonance. Pour cela on doit déterminer l’amplitude 1 A en fonction du système secondaire ( 2 m , 2 k ). Page 4/18 Approche théorique Amortisseurs de FRAHM Equation différentielle Les déplacements en régime permanents sont des fonctions harmoniques de même pulsation que la force excitatrice. On peut écrire : ) cos( 1 1 1 ϕ ω − = t X x (3) ) cos( 2 2 2 ϕ ω − = t X x (4) La solution la plus simple consiste à rechercher les déplacements 1 x et 2 x dont 1 X et 2 X sont les parties réelles. On obtient : t j t j j t j e A e e X e X x ω ω ϕ ϕ ω . . . 1 1 ) ( 1 1 1 1 = × = = − − (5) t j t j j t j e A e e X e X x ω ω ϕ ϕ ω . . . 2 2 ) ( 2 2 2 2 = × = = − − (6) On peut dire que la force complexe est t j e F f ω . = . A partir de cela et des équations (1),(2) et (5),(6), il est possible d’écrire les relations suivantes : F A A k A k A m = − + + − ) ( ² 2 1 2 1 1 1 1 ω (7) 0 ) ( ² 2 1 2 2 2 = − + − A A k A m ω (8) *Rq : Les parties imaginaires apparaitraient si on avait un amortissement. Ces équations permettent de déterminer les nombres complexes 1 A et 2 A , et donc les amplitudes 1 X et 2 X . L’amortisseur de Frahm consiste à diminuer l’amplitude du mouvement de la masse principale, soit diminuer 1 A . A partir de l’équation (7), on peut écrire : ) ² ) ² )( ² (( ) ² ( 2 2 2 2 1 1 2 2 1 k m m k m k m k F A ω ω ω ω − − − − = Simplification de l’expression On va ensuite modifier l’expression précédente avec les équations ci-dessous afin de pouvoir exprimer l’amplitude pour faire ressortir les termes qui nous intéressent, a savoir ε β α , , , , 1 k F . 1 2 m m = ε Rapport entre la masse de l’amortisseur et la masse principale 1 1 1 m k = ω Pulsation propre de l’oscillateur principal 2 2 2 m k = ω Pulsation propre de l’amortisseur auxiliaire 1 2 ω ω α = Rapport entre les pulsations propres 1 ω ω β = Rapport entre la pulsation forcé et la pulsation de l’oscillateur principal Page 5/18 Amortisseurs de FRAHM 1 1 k F X s = Déplacement statique de la masse principale s X X 1 1 = µ Facteur d’amplification dynamique du mouvement de la masse principale Avec les différentes équations précédentes, il est possible de retranscrire l’amplitude A1 de la façon suivante : ²) ² ²) 1 ²)( ² (( ²) ² ( . 1 1 β εα β β α β α − − − − = k F A On peut ensuite chercher le facteur d’amplification dynamique de la masse principale μ 1 1 ²) ² ²) 1 ²)( ² (( ²) ² ( . k F k F β ε α β β α β α µ − − − − = et ²) ² ²) 1 ²)( ² (( ²) ² ( β εα β β α β α µ − − − − = Tracer ) (β µ Prenons pour valeur : 1 = α , ce qui signifie que la pulsation propre de l’amortisseur est égale à celle de l’oscillateur principal. 005 . 0 = ε , ce qui signifie que la masse de l’oscillateur est 20 fois plus faible que la masse principale On obtient ainsi la courbe suivante *Rq : Cas d’un système sans amortisseur de FRAHM (courbe marron) ²) 1 ( 1 . 1 1 1 ω m k F A − = et ²)² 1 ( 1 β µ − = Page 6/18 Amortisseurs de FRAHM μ β P Q La courbe marron pointillée montre la réaction du déplacement de la masse principale non amortis seule. Notons que lorsque la fréquence d’excitation correspondant à la fréquence propre, la réponse est infinie. La courbe bleue correspond au système amorti (déplacement de la masse principale, après que l'absorbeur dynamique ait été attaché). Notons que la masse principale à un déplacement nul à la fréquence d’excitation d'origine. Remarquez également qu'il ya maintenant deux fréquences de résonance nouvelles correspondant aux deux modes propres de vibration du système. Dans le mode de fréquence inférieure (β<1) les masses se déplacent dans la même direction, en phase avec l’une avec l'autre. Dans uploads/Industriel/ rapport-de-dynamique-2.pdf