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Probabilités et Statistiques LAI2-LFI2-LF STIC2 Institut Supérieur d’Informatiq

Probabilités et Statistiques LAI2-LFI2-LF STIC2 Institut Supérieur d’Informatique et Mathématiques Monastir Département des Mathématiques AU 2019-2020 Série 4 :Estimation ponctuelle-Estimation par intervalle de conﬁance Exercice 1 Soit pX1, X2, .., Xnq un n-échatillon d’une variable aléatoire X discrète de loi déﬁnies pour tout k P N par PpX “ kq “ θk p1 ` θqk`1, où θ est un paramètre positif. Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance et étudier ses proprités (biais, convergence, eﬃcacité). Exercice 2 Soit X une variable aléatoire dont densité de probabilité déﬁnie par fpxq “ " 2 θp1 ´ x θq, si 0 ď x ď θ ; 0, sinon. où θ est un paramètre strictement positif, et soit pX1, X2, .., Xnq un n-échantillon de la même loi que X et indépendants. Déterminer, par la méthode des moments, un estimateur du paramètre θ et étudier ses proprités. Exercice 3 Soit X une variable aléatoire dont la densité de probabilité est déﬁnie par fpxq “ " 0, si x ď 0 ; λ θk xk´1 expp´ x θq, si x ą 0. où θ est un paramètre réel strictement positif, k un entiel naturel non nul et λ une constante réelle. 1. Déterminer la constante λ. 2. Montrer que T “ 1 n řn i“1 Xi est l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ d’un n-échantillon de la variable X. 3. Calculer l’éspérance mathématique et la variance de T. Que peut-on conclure ? 4. Calculer la quantité d’information de Fisher. En déduire que T est eﬃcace. Exercice 4 Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernouilli de paramètre p inconnu. Pour estimer p on considère l’estimateur de la moyenne empirique Xn “ 1 n řn i“1 Xi obtenu à partir d’un n-échantillon de X. 1. Déterminer la loi de la variable Y “ nXn. Exprimer EpY q, VpY q et EpY 2q en fonction de n et p. 1 Probabilités et Statistiques LAI2-LFI2-LF STIC2 2. Comment appelle-t-on la méthode d’estimation qui nous perment de considérer Xn comme estimateur de p. 3. Préciser les caractéristique de Xn (biais, convergence, éﬃcacité). 4. X 2 n est-il un estimateur sans biais de p2 ? Sinon, donner un estimateur sans biais de p2. Exercice 5 Trois cabinets d’étude sont chargés d’évaluer le coût moyen de fabrication de la production d’une entreprise. Chacun propose un estimation sans biais de ce coût moyen à partir d’un estimateur personnel Ui, pour i “ 1, 2, 3. U1, U2 et U3 sont considérés indépendants. Compte tenu d u sérieus plus ou moins grand de chaque cabinet, il s’avère que l’écart type de U1 est la moitié de U2 et un tiers de celui de U3. 1. enﬁn de compte, les trois cabinets se réunissent et proposent comme estimateur global l’une des combinaison suivantes T1 “ 1 3U1 ` 1 3U2 ` 1 3U3, T2 “ U1, T3 “ 3 5U1 ` 1 5U2 ` 1 5U3. a) Quels sont, parmi ces trois estimateurs, ceus qui sont sans biais ? b) Calculer la variance de chacun de ces estimateurs et comparer leur eﬃcacité. Quel est selon vous, le meiller de ces estimateurs ? 2. Sachant que l’estimateur global doit être une combinaison linéaire de U1, U2 et U3, c’est à dire de la forme Tg “ aU1 ` bU2 ` cU3, a, b, c P R, a) Déterminer les conditions que doivent vériﬁer pa, b, cq pour que l’estimateur Tg soit sans biais et d’eﬃcacité maximale. b) Admettons que a “ 34 49 et que c “ 4 49, déterminer la valeur de b et donner l’expression du meilleur estimateur T du coût de fabrication de la production de l’entreprise. Exercice 6 On veut étudier la proportion p de gens qui vont au cinéma chaque mois. On prend donc un échantillon de taille n “ 100. Soit N le nombre de personnes dans l’échantillon qui vont au cinéma mensuellement. 1. Quelle est la loi de N ? Par quelle loi peut-on l’approcher et pourquoi ? En déduire une approximation de la loi de F “ N{n. 2. On observe une proportion f de gens qui vont chaque mois au cinéma. Donner la forme d’un intervalle de conﬁance pour p, de niveau de conﬁance 1 ´ α. 3. Applications : pour f “ 0, 1 donner les intervalles de conﬁance pour chacun de ces cas a) 1 ´ α “ 90%. b) 1 ´ α “ 95%. c) 1 ´ α “ 98%. Exercice 7 Soit a P r0, 2 ? 3s et X „ Ur0, as. On considère pX1, .., Xnq un n-échantillon de variables de même loi que X et indépendantes. On cherche un intervalle de conﬁance de a{2 au niveau de conﬁance 99% (niveau de risque 1%). On note Xn la moyenne empirique. 2 Probabilités et Statistiques LAI2-LFI2-LF STIC2 1. Rappeler la moyenne m de X et montrer que VpXq “ a2 12. En déduire la moyenne et l’espérance de Xn. 2. En déduire que Pp|Xn ´ a 2| ą 0.1q ď 100 n . 3. Déterminer enﬁn n pour que rXn ´ 0, 1, Xn ` 0, 1s soit un intervalle de conﬁance de a 2 au niveau de conﬁance 99%. 4. Par quelle loi peut-on approcher celle de X1000 ? 5. Déterminer t pour que P ´ ´ t ď ? 12 a 100pXn ´ a{2q ď t ¯ ě 0.99 et en déduire un autre intervalle de conﬁance de a 2 au niveau α. 3 uploads/Industriel/ s-5-19-pdf.pdf