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P a g e | 105 PARTIEL N°4 TRANSFORMATION DE LAPLACE & LOIS DE PROBABILITE BTS2

P a g e | 105 PARTIEL N°4 TRANSFORMATION DE LAPLACE & LOIS DE PROBABILITE BTS2 Exercice –BTS-2002 : 7 points La fonction échelon unité U est définie par est définie par : ( ) 0 0 ( ) 1 0 t si t t si t          U U . On considère le système «entrée-sortie» représenté ci-dessous : e(t) s(t) On note s le signal de sortie associé au signal d’entrée e. Les fonctions s et e sont des fonctions causales, c’est à dire qu’elles sont nulles pour 0 t  . On admet que les fonctions s et e admettent des transformées de Laplace, notées respectivement S et E. La fonction de transfert H du système est définie par : ( ) ( ) ( ) S p H p E p   . On considère le signal d’entrée e défini par : ( ) ( ) 2 ( 1) ( 2) ( 2) e t t t t t t       U U U et la fonction de transfert H définie sur ]0; [  par 1 ( ) 1 H p p  . 1. Tracer la courbe représentative de la fonction e dans un repère orthonormal ; , O i j        . 2. Pour 0 p  , déterminer ( ) E p . 3. Déterminer les nombres réels a , b et c tels que, pour tout 0 p  , on ait : 2 2 1 1 ( 1) a b c p p p p p      On admet que 2 2 2 ( 1) 1 p p p p     4. a. Déterminer ( ) S p puis ( ) s t . b. En déduire que la fonction s est définie par : 2 ( ) 0 0 ; ( ) 1 0 1; ( ) 3 (1 2 ) 1 2 ; ( ) (1 2 ) 2 t t t s t si t s t t e si t s t t e e si t s t e e e si t                      5. On rappelle que la notation ( ) f areprésente la limite de la fonction f lorsque la variable t tend vers a par valeurs supérieures : ( ) lim ( ) t a f a f t     . De même, ( ) lim ( ) t a f a f t     . a. Calculer (1 ) s , (1 ) s , (2 ) s , (2 ) s . Que peut-on en conclure pour la fonction s lorsque t = 1 et t = 2? b. Calculer '( ) s t sur chacun des intervalles ] 0 ;1[ , ]1;2[ et ] 2 ; [  . On admet que ' s est strictement positive sur ] 0 ;1[ et] 2 ; [ . Déterminer le signe de '( ) s t sur l’intervalle ]1;2[ . c. Calculer la valeur exacte de (ln(1 2 )) s e  . Déterminer lim ( ) t s t  et dresser le tableau de variation de la fonction s sur ] 0 ;1[ . Exercice 2 - Génie optique : 2006 : 9 points Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A Une entreprise produit, en grande quantité, des appareils. Chaque appareil fabrique peut présenter deux défauts que l’on appellera défaut a et défaut b . On prélève un appareil au hasard dans la production d’une journée. On note A l’événement : « l’appareil présente le défaut a » et B l’événement : « l’appareil présente le défaut b » . Les probabilités des événements A et B sont ( ) 0,03 p A  et ( ) 0,02 p B  ; on suppose que ces deux événements sont indépendants. P a g e | 106 1. Calculer la probabilité de l’événement 1 E : « l’appareil présente le défaut a et le défaut b ». 2. Calculer la probabilité de l’événement 2 E : « l’appareil est défectueux, c’est- à- dire qu’il présente au moins un des deux défauts ». 3. Calculer la probabilité de l’événement 3 E : « l’appareil ne présente aucun défaut ». 4. Sachant que l’appareil est défectueux, quelle est la probabilité qu’il présente les deux défauts ? Le résultat sera arrondi au millième. Dans les parties B et C, les résultats seront à arrondir au centième. Partie B Les appareils sont conditionnes par lots de 100 pour l’expédition aux distributeurs de pièces détachées. On prélève au hasard un échantillon de 100 appareils dans la production d’une journée. La production est suffisamment importante pour que l’on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 appareils. Pour cette partie, on considère que, à chaque prélèvement, la probabilité que l’appareil soit défectueux est 0,05. On considère la variable aléatoire 1 X qui, à tout prélèvement de 100 appareils, associe le nombre d’appareils défectueux. 1. a. Justifier que la variable aléatoire 1 X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoire 1 X . 2. On suppose que l’on peut approcher la loi de 1 X par une loi de Poisson de paramètre. a. On choisit 5  ; justifier ce choix. b. En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité qu’il y ait au plus deux appareils défectueux dans un lot. Partie C Les appareils sont aussi conditionnes par lots de 800 pour l’expédition aux usines de montage. On Prélève au hasard un lot de 800 appareils. On considère la variable aléatoire 2 X qui, à tout prélèvement de 800 appareils, associe le nombre d’appareils défectueux. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire 2 X par la loi normale de moyenne 40 et d’écart type 6,2 . 1. Déterminer la probabilité qu’il y ait au plus 50 appareils défectueux dans le lot. 2. Déterminer le réel a tel que 2 ( ) 0,01 p X a   . En déduire, sans justification, le plus petit entier k tel que la probabilité que le lot comporte plus de k appareils défectueux soit inférieure a 0,01. Exercice 3 : 4 points Une entreprise produit des batteries de téléphones portables. Au cours de la production peuvent apparaître deux défauts indépendants que l'on appellera défaut A et défaut B. La probabilité que le défaut A apparaisse vaut 0,02 et celle que le défaut B apparaisse vaut 0,01. 1. Calculer la probabilité qu'une batterie soit défectueuse c'est-à-dire qu'elle comporte au moins un des deux défauts. 2. On prélève au hasard dans la production un échantillon de 100 batteries. La production est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. Soit X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille 100, associe le nombre de batteries défectueuses. a. Quelle est la loi de probabilité de X ? Donner son espérance mathématique et sa variance. b. On admet que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson. Quel est la paramètre de cette loi de Poisson ? En utilisant cette approximation, calculer la probabilité que l'échantillon comporte plus de deux batteries défectueuses. 3. On s'intéresse dans cette question à la durée de décharge des batteries. On note y la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 batteries, associe la moyenne des durées de décharge. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de paramètre 80 m  et 0,4  . Calculer la probabilité: (79 81) P Y   . P a g e | 107 Questions supplémentaires b) Déterminer le réel a tel que ( ) 0,95 P Y a   . On donnera la valeur décimale approchée à 2 10près par défaut de a. c) Calculer la probabilité de l'événement « ( 80) Y  sachant que (( 79,34) Y  ) ». CORRIGE Exercice 1 1. t 0 1 2 ( ) t t U 0 t t t 2 ( 1) t   U 0 0 2  2  ( 2) ( 2) t t    U 0 0 0 ( 2) t   ( ) e t 0 t 2 t  0 2 3 -1 0 1 1 x y 2. Si 0 p  : ( ( )) ( ( )) 2 ( ( 1)) (( 2) ( 2)) e t t t t t t       L L L L U U U . 1 ( ( )) pa t a e p    L U et 2 1 ( ( )) t t p  L uploads/Industriel/ transformation-de-laplace-et-lois-de-probabilites-bts-2e-annee.pdf