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Page 1 sur 5 IUT D'ÉVREUX M1403 MATHÉMATIQUES 1 PACKAGING 1ère ANNÉE FEUILLE DE

Page 1 sur 5 IUT D'ÉVREUX M1403 MATHÉMATIQUES 1 PACKAGING 1ère ANNÉE FEUILLE DE TD N°2 VARIABLES ALÉATOIRES EXERCICE 1 : la roulette Au jeu de la roulette les 37 issues possibles 0, 1, 2, …,36 sont équiprobables. On peut miser sur un numéro ou sur des familles de numéros. Le numéro 0 est vert, 18 numéros sont rouges et les 18 numéros restants sont noirs. A la roulette, le 0 n’est ni pair ni impair. On se propose de comparer trois stratégies de jeu.  Stratégie 1 : un joueur mise 10 € sur « rouge ». Si un numéro rouge sort, il gagne le double de sa mise, sinon il perd sa mise.  Stratégie 2 : un joueur mise 10 € sur un numéro. Si ce numéro sort, il gagne 36 fois sa mise, sinon il perd sa mise.  Stratégie 3 : un joueur mise 10 € sur « 12 P ». Si l’un des numéros 1, 2, …, 12 sort, il gagne le triple de sa mise, sinon il perd sa mise. On note :  X1 la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur avec la stratégie 1 ;  X2 la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur avec la stratégie 2 ;  X3 la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur avec la stratégie 3. On arrondira les variances et les écarts-types à 1 près. ①a) Déterminer la loi de probabilité de X1 . b) Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de X1. ②a) Déterminer la loi de probabilité de X2. b) Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de X2. ③a) Déterminer la loi de probabilité de X3. b) Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de X3. ④ Interpréter les espérances. Comparer les écarts-types et donner la stratégie qui permet de « gagner gros ». EXERCICE 2 : un week-end Une agence de voyage propose des formules week-end à Londres au départ de Paris pour lesquelles le transport et l’hôtel sont compris. Les clients doivent choisir entre les deux formules : « avion + hôtel » ou « train + hôtel » et peuvent compléter ou non leur formule par une option « visites guidées ». Une étude a produit les données suivantes : • 28 % des clients optent pour la formule « avion + hôtel » sans l'option « visites guidées » ; • 12 % des clients optent pour la formule « avion + hôtel » avec l'option « visites guidées » ; • 30 % des clients optent pour la formule « train + hôtel » sans l'option « visites guidées ». L'agence pratique les prix (par personne) suivants : On interroge au hasard un client de l’agence ayant souscrit à une formule week-end à Londres. Soit X la variable aléatoire égale au coût total, en euros, d'un week-end à Londres pour le client. ① Déterminer la loi de probabilité de X. ② Calculer l'espérance de X. Interpréter le résultat. ③ Quel montant moyen du chiffre d’affaires l’agence de voyage peut-elle espérer obtenir avec 50 clients qui choisissent un week-end à Londres? EXERCICE 3 : une entreprise Le nombre d'articles fabriqués dans l'année par une entreprise est une variable aléatoire X d'espérance 1000 et de variance 200. Le coût de fabrication de chaque article est de 50 € et les frais fixes annuels de fabrication s'élèvent à 10000 €. On note Y la variable aléatoire égale au coût annuel total de fabrication. ① Exprimer Y en fonction de X. ② En déduire l’espérance, la variance et l’écart-type de Y (arrondir à 1 près). Interpréter l’espérance de Y. Formule « avion + hôtel » : 390 € Formule « train + hôtel » : 510 € Option « visites guidées » : 100 € Page 2 sur 5 EXERCICE 4 : un catalogue Un catalogue par correspondance propose un choix de trois boîtes différentes. 20 % des boîtes sont vendues à 30 €, 30 % à 20 € et le reste à 10 €. La variable aléatoire X associe à la commande d’une boîte choisie au hasard son prix catalogue. On arrondira les écarts-types à 0,1 près. ①a) Déterminer la loi de probabilité de X. b) Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de X. Interpréter l’espérance de X. ② Lors d’une campagne de promotion, une réduction de 20 % est appliquée au prix catalogue mais avec une participation aux frais d’envoi de 2 €. On note Y la variable aléatoire qui prend pour valeur le montant dû pour la commande d’une boîtes pendant cette campagne. a) Exprimer Y en fonction de X. b) En déduire l’espérance, la variance et l’écart-type de Y. Interpréter l’espérance de Y. EXERCICE 5 : le tir à l'arc Un concurrent participe à un concours de tir à l’arc, sur une cible circulaire. À chaque tir, la probabilité qu’il atteigne la cible est égale à 0,8. Le concurrent tire 10 flèches. On considère que les tirs sont indépendants. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où le joueur a atteint la cible. On arrondira les résultats à 10- 3 près. ① Quelle est la loi de probabilité de X ? Justifier. ②a) Calculer la probabilité que le concurrent atteigne au moins 6 fois la cible. b) Calculer la probabilité que le concurrent atteigne 9 fois la cible. c) Calculer la probabilité que le concurrent atteigne au plus 7 fois la cible. d) Calculer la probabilité que le nombre de fois où le concurrent a atteint la cible soit compris entre 5 et 8 (inclus). ③ Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de X. Interpréter l’espérance de X. EXERCICE 6 : des bons de commande Dans une entreprise de vente par correspondance, il arrive que des bons de commande comportent une erreur. On désigne par X la variable aléatoire, qui à une journée donnée, associe le nombre de bons erronés. On admet que X suit la loi de Poisson de paramètre 5. On arrondira les résultats à 10- 3 près. ① Calculer la probabilité qu'un jour donné il y ait 8 bons erronés. ② Calculer la probabilité qu'un jour donné il y ait au plus 6 bons erronés. ③ Calculer la probabilité qu'un jour donné il y ait entre 2 et 7 bons erronés (inclus). ④ Calculer la probabilité qu'un jour donné il y ait au moins 3 bons erronés. ⑤ Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de X. Interpréter l’espérance de X. EXERCICE 7 : des bouchons Une machine fabrique plusieurs milliers de bouchons cylindriques par jour. On admet que la probabilité qu'un bouchon, prélevé au hasard dans la production d'une journée, soit défectueux est 0,05. On prélève au hasard un échantillon de 80 bouchons, on assimile ce tirage à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de bouchons défectueux. On arrondira les résultats à 10- 3 près. ①a) Quelle est la loi de probabilité de X ? Justifier. b) Calculer la probabilité qu'aucun bouchon de cet échantillon ne soit défectueux. ② On souhaite approcher la loi suivie par X par une loi de Poisson P (λ ). a) Les conditions nécessaires pour effectuer cette approximation sont-elles vérifiées ? b) Déterminer le paramètre λ de cette loi de Poisson. ③ On note Y la variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ obtenu à la question ②b). a) Calculer la probabilité qu'au moins 10 bouchons de cet échantillon soient défectueux. b) Quel est le nombre moyen de bouchons défectueux dans un tel échantillon ? Page 3 sur 5 EXERCICE 8 : une usine Dans une usine de conditionnement, une machine remplit à la chaîne des bouteilles. On admet que 2 % des bouteilles sont non conformes au cahier des charges. On prélève au hasard un échantillon de 400 bouteilles. On suppose que le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement, associe le nombre de bouteilles non conformes. On arrondira les résultats à 10- 3 près. ①a) Quelle est la loi de probabilité de X ? Justifier. b) Calculer la probabilité qu'au moins 5 bouteilles du prélèvement soient non conformes. ② On souhaite approcher la loi suivie par X par une loi de Poisson P (λ ). a) Les conditions nécessaires pour effectuer cette approximation sont-elles vérifiées ? b) Déterminer le paramètre λ de cette loi de Poisson. ③ On note Y la variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ obtenu à la question ②b). a) Calculer la probabilité que le nombre de bouteilles non conformes soit compris entre 4 et 10 (inclus). b) Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de Y. Interpréter l’espérance de Y. EXERCICE 9 : temps d'attente Le standard téléphonique d'un grand magasin limite la durée d'attente en transférant le plus vite possible les appels sur d'autres postes. Le temps d'attente est compris entre 10 secondes et 1 minute. uploads/Industriel/feuille-de-td-n02-variables-aleatoires.pdf