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Page 1/8 EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / P. Lestuzzi EXERCICE 10 - Corrigé - CORRIGE EXERCICE No 10 A. Figure. Déplacements des étages. 1. Avec une répartition linéaire de forces sur les deux étages, on a : 1 2 2 f F f F =   =  1 2 3 5 F x k F x k  =     =   Le quotient de Rayleigh s’écrit comme suit : 2 2 j j j R j j j F x m x ω =   Ce qui donne : 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 2 (3 10) 9 25 (9 25) j j j j j j F F F F x F F k k k F F F m x m m m k k k = ⋅ + ⋅ = + = ⋅ + ⋅ = +   Avec : 1 2 20000 m m kg = = et 5 1 1 2 3 12 2 180.10 EI k k k N m h = = = = 2 13 344.2 34 R k m ω = ⋅ = 18.55 / R rad s ω = 2.952 n f Hz = x2=(f1+f2)/k + f2/k x1=(f1+f2)/k Page 2/8 EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / P. Lestuzzi EXERCICE 10 - Corrigé - 2. 1 2 f mg f mg =   =  1 2 2 0.022 3 0.033 mg x m k mg x m k  = =     = =   L’évaluation du quotient de Rayleigh par la formule simplifiée donne : [ ] [ ] 1 2 2 0.033 2 0.182 0.364 N T s x m s = ⋅ = ⋅ = ⋅ = 1 1 2 17.26 / rad s T π ω ⋅ = = 2.747 n f Hz = 3. L’estimation de la fréquence fondamentale de la structure obtenue en appliquant des forces réparties linéairement est très proche de la fréquence exacte 2.951 n f Hz = ( 1 18.54 rad s ω = ). La formule simplifiée du quotient de Rayleigh est moin précise. B. Calcul des fréquences propres d’un système à deux degrés de liberté Une adaptation de la méthode des déplacements est utilisée. Page 3/8 EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / P. Lestuzzi EXERCICE 10 - Corrigé - Sous la forme matricielle le système d’équations s’écrit : 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 n k k k m x k k m x ω   + −         − =         −           Afin de trouver les valeurs propres le déterminant doit s’annuler : ( ) 2 1 2 1 2 4 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 det 0 0 n n n n k k m k m m k k m k m k k k k m ω ω ω ω + − −   =  − + + + =   − − Avec 1 2 2 2 m m m = = et 1 2 1.5 1.5 ( 2000 40000 / ) k k k m t et k kN m = = = = 2 4 2 9 3 0 4 4 n n k k m m ω ω   − + ⋅ =     Les solutions sont : ,1 ,2 9 33 9 33 40000 2.85 ; 6.07 8 8 2000 n n n k rad rad m s s ω ω ω     ± ±     = ⋅ = ⋅  = =                     Page 4/8 EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / P. Lestuzzi EXERCICE 10 - Corrigé - C. Page 5/8 EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / P. Lestuzzi EXERCICE 10 - Corrigé - Page 6/8 EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / P. Lestuzzi EXERCICE 10 - Corrigé - Page 7/8 EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / P. Lestuzzi EXERCICE 10 - Corrigé - 24k -8k -8k 9k 3k -2k -2k 27k/2 3 12EI si k h = 3 9 8 mn k k K k k −     =   −     0 mn MX K X + = ɺɺ 1 1 1 2 2 2 0 24 8 0 0 8 9 0 M x x k k Soit M x x k k −         + =         −         ɺɺ ɺɺ Page 8/8 EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / P. Lestuzzi EXERCICE 10 - Corrigé - 3 16 5 6 5 2 7 mn EI K h −   =   −   0 mn MX K X + = ɺɺ 1 1 1 3 2 2 2 0 16 5 0 6 0 5 2 0 7 M x x EI M x x h −         + =         −         ɺɺ ɺɺ uploads/Ingenierie_Lourd/ 10-exercice-corrige-okk.pdf