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Elément Identification paramétrique des systèmes dynamiques 1  I. INTRODUCTION

Elément Identification paramétrique des systèmes dynamiques 1  I. INTRODUCTION serait irréaliste de vouloir traiter toutes les approches d‟identification pour tous les classes de systèmes dynamiques rencontrées en situation réelle ; comme il serait illusoire de vouloir cerner tous les aspects pratiques du processus d‟identification sur un seul exemple. Toutes fois, l‟idée d‟adoption d‟un système unique, sous réserve de consistance, pour la validation des méthodes d‟identification est très attrayante aussi bien d‟un point de vue scientifique que pédagogique dans la mesure où : (i) le système en question peut être utilisé comme support de comparaison de plusieurs approches, et ainsi sortir les élèves-ingénieurs du cadre académique et les mettre en situation de réelle en les initiant au développement de modèles réalistes sur des exemples concrets, et (ii) permet de traiter toutes les étapes nécessaires pour accomplir le processus d‟identification, qui dans bien d‟ouvrages sont réduites à l‟étape d‟estimation qui en fait ne constitue qu‟une étape parmi bien d‟autres [1]. C‟est dans ce contexte que nous proposons de mener les activités pratiques sur l‟identification sur le système-test réel de Wiener- Hammerstein. Il s‟agit en fait d‟une chaine de mesure électronique (the Silver-box, Vandersteen, 1997) faisant office de la chaine de retour de l‟asservissement d‟un procédé réel. Cet exemple est d‟une grande importance dans la mesure où il permet de couvrir pratiquement tous les types de modèles traités en séances de cours à savoir : les modèles linéaires, bien que le vrai système soit non linéaire, et les modèles non linéaires de Wiener, de Hammerstein, et de Wiener- Hammerstein. Plusieurs solutions ont été développées et dont les plus représentatives ont été présentées à symposium SYSID 2006, et un numéro spécial de la revue Control engineering practice (CEP) de IFAC lui a été consacrée en 2012 [2] ; à noter qu‟une approche évolutionnaire permettant d‟identifier aussi bien les paramètres que les structure des différents blocs linéaires et non linéaires vient d‟être introduite par Naitali et Giri en 2015 [3]. Dans le présent travail, on se propose d‟identifier les paramètres d‟un modèle linéaire dite Best Linear Approximation (BLA) qui approxime au mieux le modèle de comportement d‟un système non linéaire de type Wiener-Hammerstein. La description vraie des blocs électroniques (linéaires et non linéaires) composant le système A. Naitali (e-mail: a.naitali@ um5s.net.ma). réel (Benchmark), est détaillée dans le papier [1]. Les signaux d‟entrées/sorties collectés dans les conditions indiquées dans le papier sont disponibles sur la page web d‟IFAC dédiée à ce Benchmark. Dans cette ébauche, et pour des raisons pédagogiques les taches de travail demandées aux élèves- ingénieurs sont ordonnancées, pour chaque situation comme suit :  Conception de l‟essai d‟identification (s‟il y‟a lieu),  Analyses temporelle et fréquentielle, des signaux constituant l‟ensemble des données d‟apprentissage qui, dans le contexte des signaux discrétisés, se résument à des résultats statistiques,  Choix du type du modèle à adopter pour l‟explication des données d‟apprentissage  Sélection de la structure du modèle adopté  Utilisation ou bien développement de l‟algorithme d‟estimation ou bien d‟apprentissage des paramètres du modèle considéré.  Validation et Test du model construit, et réitération du processus d‟identification si nécessaire. Remarque : les aspects pratiques de ces activités et Tips seront communiqués aux élèves-ingénieurs lors de la séance de lancement de l‟activité. II. CONCEPTION ET IMPLANTATION DE L‟ESSAI D‟IDENTIFICATION A. Implémentation numérique et test du benchmark Afin de pouvoir valider les modèles qu‟on projette de construire, développer une implémentation numérique du benchmark en utilisant la description vraie du système précisée dans le papier [1]. 1) Définir puis calculer les vrais paramètres des fonctions de transfert discrètes des blocs linéaires d’entrée et de sortie. 2) En utilisant les caractéristiques technologiques de la diode modélisée par le bloc non linéaire, Trouver l’expression d’une fonction analytique qui permet d’approximer sa caractéristique de transfert. 3) En utilisant les résultats des questions précédentes implémenter un modèle numérique de simulation et tester le en l’attaquant par deux peignes de Dirac de période appropriée TD fixe (à préciser) dont (i) un de petite amplitude U1 qui n’excite que les blocs linéaires et (ii) et Activité pratique d’Identification de la BLA du Benchmark de Wiener-Hammerstein A. Naitali, ENSAM, UM5R IL Elément Identification paramétrique des systèmes dynamiques 2 l’autre de forte amplitude U2 qui active l’état non linéaire de la diode. 4) Tracer les signaux d’E/S sur la figure 1 en y précisant les propriétés des signaux d’entrée. B. Conception de l’essai d’identification La conception de l‟essai d‟identification, „„Identification experiment‟‟ (IEXP) consiste à synthétiser un signal excitant persistant „„Persistently Exciting (PE) qui fait transiter le système par tous ses états (ou presque) c.à.d. qui excite suffisamment tous les régimes de fonctionnement du processus. Le problème posé par cette synthèse peut être formulé comme suit : Etant donné un modèle adopté pour représenter le système, Trouver une séquence d‟échantillons de commande qui soit PE au sens de l‟approche d‟identification envisagée, et qui permet en outre de faire fonctionner le système sans violation des contraintes de sécurité, de temps et d‟énergie imposées par le contexte de la situation. Dans cette partie, le système est supposé être quasi- linéaire, et par conséquent il est modélisé par un seul bloc linéaire représentant la dynamique combinée des filtres d‟entrée et de sortie de la description vraie du système donnée en [1]. 1) Quels sont les modèles linéaires qui peuvent être utilisés pour capturer la composante linéaire du comportement (non linéaire) du système ? Pour chacun des modèles citer le principe de l’algorithme d’estimation des paramètres de ces modèles. 2) Dans une première approche, on utilise le fait que les sous-systèmes linéaires d’entrée et de sortie sont du 3 ordre. Ce qui revient à supposer que l’élément non linéaire est approximé par une droite d’une certaine pente inconnue. Montrer que dans ces conditions, le problème d’identification revient à identifier l’ensemble par un système linéaire du 6ème ordre. 3) En régime linéaire le modèle ARX du benchmark se réduit à une fonction de transfert de 6ème ordre. Spécifier dans ces conditions, les propriétés de deux types de séquences qui garantissent les conditions de PE requises pour la convergence des estimés des paramètres vers leurs vraies valeurs. 4) Simuler puis tracer sur les figures 2 et 3 les réponses du modèle de W-H aux signaux d’excitation définis. 5) Proposer une structure matérielle et logicielle minimale à base de DSP qui permet de générer le signal d’excitation conçu, de l’appliquer à l’entrée de commande du procédé à identifier, de capturer et d’enregistrer les signaux d’entrée et de sortie considérés. C. Analyse statistique des enregistrements des E/S En considérant la classe des signaux d‟entrée adopté pour le benchmark [1], 1) caractériser ce signal des points de vues temporel, fréquentiel et statistique, vérifier ensuite que le signal de commande respecte bien les contraintes de sécurité. 2) vérifier (et démontrer à titre d’exercice) que le segment de données d’estimation est excitant persistant au sens de la définition de persistance introduite en cours, III. IDENTIFICATION DE LA COMPOSANTE LINEAIRE : (BLA) 1) En utilisant les algorithmes standard d’estimation locale relever puis tracer, pour un ordre allant de 1 à une valeur maximale que l’on précisera, les erreurs d’estimation et de validation les différents modèles linéaires envisagés (OE, ARX, ARMAX, BJ, and SS). 2) Sélectionner pour chacun des modèles utilisés la structure la plus appropriée en utilisant le critère de l’erreur de prédiction finale ou ‘Final Prediction error’ (PFE) d’Akaike 3) Préciser les performances des modèles sélectionnés i.e. les propriétés statistiques des erreurs d’estimation, de validation et de test. IV. TRAVAIL DE COMMUNICATION SCIENTIFIQUE Rédigez un petit papier à quatre pages (2 colonnes) composé de 5 sections : une section introductive, une section pour la présentation du Benchmark, une troisième qui décrit le système utilisé pour l‟acquisition et le traitement de conditionnement des signaux d‟E/S, et qui illustre ses propriétés aussi bien dans le domaine temporel que spectral. Rédigez en suite deux sections : l‟une pour la présentation de l‟approche d‟identification projetée (la classe de modèles : type et structure, et l‟algorithme d‟estimation), et une autre qui présente les résultats d‟identification obtenus. Terminer cette dernière section par une petite discussion critique qui met en évidence les avantages et inconvenants de l‟approche adoptée. En fin mettre en forme le papier, compléter les références et procéder à une auto évaluation avant de le présenter à l‟équipe. Terminer le papier par une discussion sur les informations et conclusions qui peuvent être tirées de cette présentation. Le papier doit nécessairement débuter par un titre suivi des noms et affiliation des auteurs, d‟un petit résumé et de quelques mots clés (5 au plus), et terminé par une liste de références. Plusieurs documents patrons (Template) qu‟on peut utiliser pour la mise en forme du texte sont téléchargeables depuis les sites officiels d‟IEEE et d‟IFAC. REFERENCES [1] J. Schoukens , J. Suykens , L. Ljung, “WIENER-HAMMERSTEIN BENCHMARK”, IFAC Call For Paper. [2] Special Section, Wiener-Hammerstein System Identification Benchmark, Control Engineering Practice, Volume 20, Issue 11, pp. 1095-1246 November 2012. [3] A. Naitali and F. Giri, „„Wiener–Hammerstein system identification – an evolutionary approach‟‟, International Journal of uploads/Ingenierie_Lourd/ ap-sysyd-2021.pdf