Devoir Dynamique et parasismique des structures .     Devoir: Dynamique et

Devoir Dynamique et parasismique des structures .     Devoir: Dynamique et parasismique des structures R´ ealis´ e par: AL ABDALI Abdelhamid SAADI Youssef LAGHDID Omar Encadr´ e par: Mme AZMI Fili` ere: 3` eme ann´ ee GC Option : Ing´ enierie de bˆ atiment Al abdali & Saadi     1 EHTP Devoir Dynamique et parasismique des structures EXERCICE 1 : x y O 1 2 3 x0 y0 Figure 1−´ El´ ement triangulaire plan ` a 3 nœuds L’´ el´ ement triangulaire plan ` a 3 nœuds de cˆ ot´ es x0 = 4 m et y0 = 3 m et d’´ epaisseur unitaire t.Le vecteur d´ eplacement nodaux est donn´ e par: − → u T = {u1, v1, u2, v2, u3, v3} 1. Les fonctions d’interpolation pour cet ´ el´ ement triangulaire: On a l’´ el´ ement est ` a trois nœuds,donc les d´ eplacements ui et vi s’´ ecrivent, en utilisant les coordonn´ ees g´ en´ eralis´ es:  u = α1 + α2x + α3y v = β1 + β2x + β3y Soit sous la forme matricielle:  u v  =  α1 + α2x + α3y β1 + β2x + β3y  =  1 x y 0 0 0 0 0 0 1 x y          α1 α2 α3 β1 β2 β3         ⇐ ⇒u = φ · α Les d´ eplacements nodaux sur chaque nœud de coordonn´ ees (xi, yi) pour i ∈{1, 2, 3}s’´ ecrivent donc :  ui = α1 + α2xi + α3yi vi = β1 + β2xi + β3yi , i ∈{1, 2, 3} Soit sous la forme matricielle:         u1 v1 u2 v2 u3 v3         =         1 x1 y1 0 0 0 0 0 0 1 x1 y1 1 x2 y2 0 0 0 0 0 0 1 x2 y2 1 x3 y3 0 0 0 0 0 0 1 x3 y3                 α1 α2 α3 β1 β2 β3         ⇐ ⇒b u = A · α = ⇒α = A−1 · b u Al abdali & Saadi     2 EHTP Devoir Dynamique et parasismique des structures En particulier, on a (x1, y1, x2, y2, x3, y3) = (0, 0, 4, 0, 0, 3). Les deux matrices A et A−1 sont donn´ ees par: (On a utilis´ e le logiciel Maple 15 pour calculer A−1) A =             1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 1 0 3             ⇐ ⇒A−1 = 1 12             12 0 0 0 0 0 −3 0 3 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 12 0 0 0 0 0 −3 0 3 0 0 0 −4 0 0 0 4             Soit:         α1 α2 α3 β1 β2 β3         = 1 12             12 0 0 0 0 0 −3 0 3 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 12 0 0 0 0 0 −3 0 3 0 0 0 −4 0 0 0 4                     u1 v1 u2 v2 u3 v3         Et la matrice d’interpolation est donn´ ee par: N = φ · A−1 Soit: N =  1 x y 0 0 0 0 0 0 1 x y  · 1 12             12 0 0 0 0 0 −3 0 3 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 12 0 0 0 0 0 −3 0 3 0 0 0 −4 0 0 0 4             N = " 1 −x 4 −y 3 0 x 4 0 y 3 0 0 1 −x 4 −y 3 0 x 4 0 y 3 # = " N1 0 N2 0 N3 0 0 N1 0 N2 0 N3 # 2. Cet ´ el´ ement fait partie d’une structure en b´ eton de module d’´ elasticit´ e E = 32 GPa et de coefficient de Poisson ν = 0.15 et les d´ eformations sont planes en ´ elasticit´ e lin´ eaire. (a) La matrice B : On a le tenseur de d´ eformation s’´ ecrit sous la forme: ϵ = L · u ⇐ ⇒   ∂ ∂x 0 0 ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ ∂y    u v  =   ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y + ∂v ∂x   Al abdali & Saadi     3 EHTP Devoir Dynamique et parasismique des structures La matrice B est donn´ e par :B = L · N B =   ∂ ∂x 0 0 ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ ∂y   " N1 0 N2 0 N3 0 0 N1 0 N2 0 N3 # =   ∂N1 ∂x 0 ∂N2 ∂x 0 ∂N3 ∂x 0 0 ∂N1 ∂y 0 ∂N2 ∂y 0 ∂N3 ∂y ∂N1 ∂x ∂N1 ∂y ∂N2 ∂x ∂N2 ∂y ∂N3 ∂x ∂N3 ∂y   B =   −1 4 0 1 4 0 0 0 0 −1 3 0 0 0 1 3 −1 4 −1 3 1 4 0 0 1 3  = 1 12   −3 0 3 0 0 0 0 −4 0 0 0 4 −3 4 3 0 0 4   (b) La matrice K : On a par d´ efinition de la matrice K: K = Z D BT · C · BdD Dans le cas des d´ eformations plans , on aura : C = E (1 + ν) (1 −2ν)   1 −ν ν 0 ν 1 −ν 0 0 0 1−2ν 2   K = Ex0y0t 2(1 + ν) (1 −2ν)×             3 32 −1/8 ν −1/24 + 1/6 ν −3 32 + 1/8 ν 0 0 −1/24 −1/24 + 1/6 ν 1/6 −2/9 ν −1/6 ν + 1/24 0 0 −1/18 −3 32 + 1/8 ν −1/6 ν + 1/24 3 32 −1/8 ν 0 0 1/24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1/24 −1/18 1/24 0 0 1/6 −2/9 ν             K =             2880 61 −640 61 −2880 61 0 0 −1600 61 −640 61 5120 61 640 61 0 0 −6400 183 −2880 61 640 61 2880 61 0 0 1600 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1600 61 −6400 183 1600 61 0 0 5120 61             3. On consid` ere que l’´ el´ ement est soumis ` a son poids propre ρg et ` a une charge uniforme q sur le cot´ e 1 −3 : Al abdali & Saadi     4 EHTP Devoir Dynamique et parasismique des structures (a) Le vecteur force de surface RS: RS = Z S N TFdS = Z 3 0 Z 1 0 N TFdydz RS = Z 3 0 Z 1 0 " N1 0 N2 0 N3 0 0 N1 0 N2 0 N3 #T  q 0  dydz En tenant compte que le chargement est appliqu´ e sur le cot´ e 1 −3 d´ efinie par x = 0 et 0 ≤y ≤3 . Soit: RS = Z 3 0 Z 1 0 " 1 −y 3 0 0 0 y 3 0 0 1 −y 3 0 0 0 y 3 #T  q 0  dydz Soit : RS =  3q 2 0 0 0 3q 2 0 T (b) Le vecteur force de volume RB: RB = Z D ρN TfdD = Z 4 0 Z 3 0 Z 1 0 uploads/Ingenierie_Lourd/ azmi.pdf

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