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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université des Sciences et de la Technologie d’Oran –Mohammed BOUDIAF- Faculté d’Architecture et de Génie Civil Département de Génie Civil Spécialité : Génie Civil Polycopié de : Calcul des structures hyperstatiques Cours et exercices corrigés Présenté à L’Université des Sciences et de la Technologie d’Oran –Mohammed BOUDIAF- Par Mohammed MEKKI Maître de conférences B Filière Génie Civil Destiné aux étudiants Licence et Master en Génie Civil Année universitaire 2016/2017 www.GenieCivilPDF.com 2 TABLE DES MATIERES Introduction générale 4 CHAPITRE 1 : Calcul des structures hyperstatiques (statiquement indéterminées) 1.1. Structures isostatiques (statiquement déterminées) et hyperstatiques (statiquement indéterminées) 7 1.2. Exemple introductif 8 1.3. Liaisons surabondantes 9 1.4. Méthodes fondamentales de calcul des structures hyperstatiques 10 1.5. Calcul du degré d’hyperstacité 10 1.5.1. Méthode de la suppression des liaisons surabondantes 10 1.5.2. Méthode des contours fermés 11 1.5.3. Cas des poutres en treillis 12 1.6. Remarques importantes 13 CHAPITRE 2 : Méthode des trois moments 2.1. Méthode des trois moments 15 2.2. Principe de la méthode des trois moments 15 2.3. Calcul des moments fléchissant dans les appuis 16 2.4. Exercices 20 2.4.1. Exercice N° 2.1 20 2.4.2. Exercice N° 2.2 23 2.4.3. Exercice N° 2.3 25 2.4.4. Exercice N° 2.4 26 CHAPITRE 3 : Méthode des forces 3.1. Méthode des forces 32 3.2. Principe de la méthode des forces 32 3.3. Degré d’hyperstaticité 33 3.4. Système de base 33 3.5. Différentes possibilités des systèmes de base 33 3.6. Exemples 35 3.7. Equations canoniques 36 3.8. Evaluation des intégrales du type par l'emploi de tableaux 36 3.9. La procédure de la méthode des forces 42 3.10.11. Exercices 43 3.10.1. Exercice N°3.1 43 3.10.2. Exercice N°3.2 47 www.GenieCivilPDF.com 3 3.10.3. Exercice N° 3.3 49 3.10.4. Exercice N°3.4 52 CHAPITRE 4 : Méthodes des déplacements 4.1. Introduction 57 4.2. Nombre d’inconnus d’hyperstatique 57 4.3. Intérêt de la méthode des déplacements 57 4.4. Principe de la méthode des déplacements 58 4.5. Classification des structures 60 4.6. Principe du nœud fixe 61 4.7. Principe du nœud mobile 62 4.8. Sollicitations des barres 63 4.9. Les moments fléchissants et les réactions des barres soumises à des déplacements et des charges 65 4.10. Equations d’équilibre 66 4.11. Les étapes de la méthode des déplacements 67 4.12. Exercices 68 4.12.1. Exercice 4.1. 68 4.12.2. Exercice 4.2. 71 CHAPITRE 5 : Treillis hyperstatiques 5.1. Définition d’un treillis 75 5.2. Exemples de structures en treillis 75 5.3. Différentes catégories de treillis 76 5.4. Hypothèses de calcul d’un treillis 77 5.5. Différents systèmes de Treillis 77 5.5.1. Treillis isostatiques 77 5.5.2. Treillis hyperstatiques 77 5.5.2.1. Efforts intérieurs 77 5.6. Exercices 81 5.6.1. Exercice N°5.1 81 5.6.2. Exercice N° 5.2 84 5.6.3. Exercice N° 5.3 88 6. Conclusions 91 7. Références bibliographiques 91 www.GenieCivilPDF.com 4 Introduction générale : La résistance des matériaux, aussi appelée RDM, est une discipline particulière de la mécanique des milieux continus permettant le calcul des contraintes et des déformations dans les structures pour différents matériaux (machines, un système en génie mécanique, un bâtiment en génie civil). La RDM permet de calculer et de tracer les diagrammes des sollicitations d'une structure (détermination des équations des efforts internes de chaque élément de la structure (M, N et T) et d’en déduire le comportement global de la structure (déformations). L'objectif est de concevoir une structure qui répond aux trois exigences suivantes : sécurité, serviabilité et faisabilité. La RDM est une partie de la mécanique qui a pour objectif aussi le développement de modèles permettant de dimensionner les structures. Ces modèles sont élaborés dans le cadre d’hypothèses simplificatrices. Ils constituent le premier niveau des méthodes de calcul des structures. On retrouve deux systèmes de structures : - les structures isostatiques dites « statiquement déterminées ». - les structures hyperstatiques dites « statiquement indéterminées ». Les structures isostatiques sont celles ou les trois équations de la statique sont suffisantes à leur analyse. Dans ce cas, les actions (les réactions aux appuis et ou les moments) peuvent être calculées en utilisant tout simplement les équations d’équilibre. Par conséquent, les sollicitations internes, telles que : le moment de flexion, l’effort tranchant et l’effort normal peuvent être déduits en utilisant l’équilibre interne des sections. Par contre, pour les structures hyperstatiques les équations d’équilibre ne sont pas suffisantes pour déterminer les réactions d’appui et les actions internes. Cela veut dire que le nombre des inconnues (les réactions d’appui) est strictement supérieur au nombre d’équations d’équilibre. La différence entre le nombre des inconnues du problème et le nombre des équations d’équilibre est appelée le degré d’hyperstaticité du système ou de la structure. www.GenieCivilPDF.com 5 Dans ce polycopié de cours, l’intérêt est porté sur les méthodes de calcul de structures hyperstatiques ; il est nécessaire et obligatoire d’avoir une maîtrise et une connaissance parfaite des systèmes isostatiques. Ce support de cours se décompose en 5 chapitres. Dans le premier chapitre on retrouve une revue des connaissances préliminaires sur les structures isostatiques et hyperstatiques. Une introduction des méthodes fondamentales de calcul des structures hyperstatiques est présentée. Le second chapitre porte sur l’étude des poutres hyperstatiques par la méthode des trois moments (la méthode de Clapeyron). Au troisième chapitre, la méthode des forces est décrite pour le calcul des poutres, des portiques et des structures réticulées. La méthode des rotations pour le calcul des éléments fléchis, tels que les poutres et les portiques, a fait l’objet du quatrième chapitre. Et enfin le dernier chapitre concernera les treillis hyperstatiques. www.GenieCivilPDF.com 6 CHAPITRE 1 Calcul des structures hyperstatiques (statiquement indéterminées) www.GenieCivilPDF.com 7 1.1. Structures isostatiques (statiquement déterminées) et hyperstatiques (statiquement indéterminées) : Si nous considérons un corps (structure) arbitraire soumis à l'action d'un système de forces dans l'espace x, y, z (Figure 1.1), son équilibre d'ensemble peut être défini par les équations d'équilibre statique : Les équations algébriques    Les équations vectorielles   Les sommations se rapportent à toutes les composantes de forces et de moments par rapport aux trois axes de référence x y z. Nous pouvons donc écrire 6 équations d’équilibre dans le cas général d'un corps tridimensionnel. Lorsque toutes les forces agissent dans le même plan, seules trois équations d'équilibre sont exploitables. Figure 1.1. : Corps tridimensionnel soumis à un ensemble de forces Dans le cas des systèmes isostatiques, les composantes de réaction se calculent au moyen des équations d’équilibre de la statique seules (équilibre vertical , équilibre horizontal et équilibre des moments de rotation ). Dans le cas contraire où le nombre d’équations de la statique ne suffit pas pour déterminer les réactions (les inconnues), on est en présence d’une structure hyperstatique. www.GenieCivilPDF.com 8 1.2. Exemple introductif : Voici deux poutres (Figure 1.2. et 1.3.) qui ne diffèrent que par leurs appuis. Elles sont de longueur L et soumises à une charge uniformément répartie sur toute la longueur. Equilibre vertical : Equilibre horizontal : Equilibre de rotation Figure 1.2. : Structure isostatique Equilibre vertical : Equilibre horizontal : Equilibre de rotation Figure 1.3. : Structure hyperstatique - Poutre (Figure 1.2.) : 3 équations indépendantes linéaires ( , et ), 3 inconnues ( et : les réactions d’appui peuvent être calculées. - Poutre (Figure 1.3.) : 3 équations indépendantes linéaires ( , et ), 4 inconnues ( , et : il manque une équation pour calculer les réactions d’appuis. On dit que le système est une fois hyperstatique. Ainsi on définit le degré d’hyperstaticité d’un système comme une valeur qui donne le nombre d’inconnus supplémentaires. 1.3. Liaisons surabondantes : On appelle liaisons surabondantes, les liaisons supplémentaires qu’il faudrait supprimer du système hyperstatique pour obtenir un système isostatique. On a deux types de liaisons surabondantes : - Les liaisons surabondantes extérieures que l’on retrouve dans les appuis (les réactions). www.GenieCivilPDF.com 9 Figure 1.4. : Cadre simple - Les liaisons surabondantes intérieures sont celles qui proviennent des contours fermés (on ouvrant le contour les efforts internes deviennent des inconnues supplémentaires). Figure 1.5. : Portique à deux niveaux et une travée Le nombre de liaisons surabondantes représente le degré d’hyperstaticité du système. Figure 1.6.a: Portique hyperstatique Figure 1.6.b : Portique isostatique (6 liaisons supplémentaires d=6) (6 liaisons supplémentaires supprimées) www.GenieCivilPDF.com 10 1.4. Méthodes fondamentales de calcul des structures hyperstatiques : Nous avons vu précédemment qu’un système est hyperstatique si le nombre d'inconnues de liaison est supérieur au nombre d'équations issues de la statique. Cette différence est appelée le degré d'hyperstaticité du système. Pour étudier et analyser une structure de degré d’hyperstaticité d, il est nécessaire d’établir équations supplémentaires (dites équations de compatibilités). Les méthodes consistent à choisir un système de base à partir duquel on détermine le système isostatique (SI) le plus simple (Figure 1.7). Figure 1.7. : Calcul des systèmes hyperstatiques En raison de l’interdépendance entre les efforts et les déplacements, il en résulte deux manières d’aborder le calcul des structures hyperstatiques, c'est-à-dire : - soit en s’intéressant aux efforts (dans les liaisons surabondantes) (méthode des forces, chapitre 3), - soit en s’intéressant aux déplacements (méthode des déplacements, chapitre 4). 1.5. Calcul du degré d’hyperstaticité : Généralement, uploads/Ingenierie_Lourd/ calcul-des-structures-hyperstatiques-cours-et-exercices-corriges.pdf