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Chapitre 2 : MEF appliquée aux poutres 2.1Méthode directe pour les structures à

Chapitre 2 : MEF appliquée aux poutres 2.1Méthode directe pour les structures à éléments discrets: A. Introduction La méthode directe est une approche pour des systèmes discrets, basée sur la méthode des rigidités. Elle est de loin le procédé le plus simple pour introduire les concepts de base de MEF et présente les avantages suivants :  Application de concept physique (équilibre des forces, conservation d’énergie, conservation de masse,…) directement à des éléments discrets.  Facile dans son interprétation physique.  Ne demande pas de concept ou de manipulation mathématique sophistiquée. Son application est limitée à un certain nombre de problèmes pour lesquelles les lois d’équilibre et de conservation peuvent être facilement exprimées en termes des quantités physiques que l’on désire obtenir (déplacements). En général, les systèmes à treillis et les portiques sont constitués d’éléments discrets d’eux- mêmes selon le sens physique et sont de parfaits exemples pour illustrer la méthode. B. Elément fini barre (Treillis plan de barres) Le système à treillis est formé d’un ensemble membrures appelé barres, qui sont sollicités par des efforts agissant le long de leur axe moyen. Le schéma statique de la barre impose la présence de rotules aux deux extrémités (nœuds). Ce sont les premiers éléments présentés par la MEF suivi des éléments poutres assemblés en ossature. Figure 2.1 : (a) Structure à treillis représentant une ferme de toiture. (b)Modèle d’élément barre 1 i k j F u Pente k C. Elément ressort linéaire : L’élément barre possède des caractéristiques similaires à celles d’un ressort élastique. Figure 2.2 : Analogie barre- ressort On considère que chaque élément de structure se comporte comme un ressort élastique c'est- à-dire que la relation charge déplacement est linéaire. Figure2.3 : Déformation d’un ressort élastique On appelle k la raideur (rigidité) qui correspond à la pente du graphe charge –déplacement. Force F Pente k Déplacement u de l’extrémité Figure2.4 : Relation force /déplacement d’un ressort élastique Connaissant la valeur de la rigidité et de la charge appliquée on a les relations : F=k .u↔u=1 k . F D. Formulations en éléments finis : D.1. Matrice de rigidité élémentaire 2 Figure 2.5 : Ressort équivalent d’une barre à deux rotules Convention de signes : Cette même convention est adoptée pour les charges et les déplacements. -(f,u) +(f,u) Figure 2.6 : Convention de signes Equilibre de la barre nous donne: Noued1 :f 1=−k . (u2−u1) Noued2 :f 2=k . (u2−u1) Ecriture matricielle pour un élément : { f 1 f 2}=[ k −k −k k ].{ u1 u2} signifie que ¿. Avec : Vecteur résultant des forces nodales : Matrice de rigidité élémentaire : Vecteur résultant des déplacements nodaux Remarque1: Une colonne de Ke représente le vecteur charge qui doit être appliqué aux nœuds de l’élément pour obtenir un état de déformation où le degré de liberté nodal est égal à 1 alors que les autres sont nuls. Exemple : u1=0etu2=1 3 { f 1 f 2}=[ k −k −k k ].{ 0 1}=k .{ −1 1 } Donc le produit ¿. représente la 2ème colonne de Ke D.2 Matrice de rigidité d’un ensemble d’éléments (Assemblage) : Il est question dans cette étape de décider comment les matrices de rigidités élémentaires sont combinées ensembles pour former la matrice d’une structure composée de plusieurs éléments. Pour la simplicité de l’analyse étudions dans un premier temps le système de deux barres colinéaires de caractéristiques différentes assimilées aux deux ressorts colinéaires. Figure 2.7 : Système à deux ressorts colinéaires aux extrémités libres Pour étudier le système à deux ressorts colinéaires il suffit d’étudier chaque ressort (élément) tout seul, puis de faire assemblage. Donc la modélisation est la suivante (Figure 2.7). Figure 2.7 : Système à deux ressorts séparés 4 Elément 1: { f 1 (1 ) f 2 (1 )}=[ K1 −K 1 −K1 K1 ].{ u1 u2}é quivalent ⇔ { f 1 (1) f 2 (1) 0 } =[ K 1 −K1 0 −K1 K1 0 0 0 0] .{ u1 u2 0} (1) Elément 2 : { f 1 (2 ) f 2 ( 2)}=[ K2 −K 2 −K2 K 2 ].{ u2 u3}é quivalent ⇔ { 0 f 1 (2 ) f 2 (2 )} =[ 0 0 0 0 K 2 −K2 0 −K 2 K2 ] .{ 0 u2 u3} (2) (1)+(2) nous donne :{ f 1 (1) f 2 (1 )+f 1 (2 ) f 2 (2) } =[ K1 −K 1 0 −K1 K1+K2 −K 2 0 −K 2 K 2 ] .{ u1 u2 u3} ={ F1 F2 F3} Avec fi j- Forces internes agissant au nœud i de l’élément j (i,j=1,2) ¿[ K1 −K1 0 −K1 K1+K 2 −K2 0 −K2 K2 ] ;={ u1 u2 u3} et={ F1 F2 F3} Cette opération est l’opération d’assemblage des matrices de rigidité élémentaires, la matrice est appelée matrice de rigidité de la structure, le vecteur est le vecteur des inconnues de déplacements et le vecteur est le vecteur des forces extérieures : .=¿ Mise en œuvre pratique La première étape consiste à écrire les deux matrices de rigidité des deux éléments en repérant les lignes et les colonnes de chaque matrice par les inconnues de déplacements associées : u1 u2 [ K1]=[ K1 −K1 −K1 K1 ] u1 u2 u2 u3 [ K2]=[ K2 −K2 −K2 K2 ] u2 u3 On range ensuite dans la matrice de rigidité de la structure chaque terme des deux matrices à la ligne et la colonne correspondante : 5 u1 u2 u3 ¿[ K1 −K1 0 −K 1 K1+K 2 −K2 0 −K2 K 2 ] u1 u2 u3 Le système à résoudre est alors .=¿ La deuxième étape consiste à faire le bilan des déplacements et des forces connus et inconnus. En prenant un encastrement à l’extrémité gauche et en appliquant une force F à l’extrémité droite (figure 2.8), on a : Figure 2.8 : Système à deux ressorts colinéaires à une extrémité encastrée ¿{ u1 u2 u3} ¿0,connu inconnu inconnu ¿{ F1 F2 F3} inconnu ,r é actionàl' encastrement ¿0 ¿F Si le déplacement est connu en un nœud alors la force est inconnue, si la force est connue alors le déplacement est inconnu. La troisième étape est la résolution du système d’équations complet afin de déterminer toutes les inconnues 6 [ K1 −K1 0 −K1 K1+K2 −K 2 0 −K2 K 2 ] .{ 0 u2 u3} ={ F1 0 F} F1=−K 2 K 1 F u3−u2= 1 K2 F et u2= 1 K 1 F d ' oùu3=K 1+K 2 K1 K2 F Avec K1= E1S1 L1 et K 2=E2S2 L2 Application : Soit le système de deux barres colinéaires de caractéristiques différentes assimilées aux deux ressorts colinéaires, figure 2.9, tel que : Figure 2.9 : Système à deux ressorts colinéaires sollicités en traction Le nœud 1 est fixe et les nœuds 2 et 3 supportent deux forces concentrées F2 = 75N et F3 = 50N. Déterminez les déplacements aux nœuds libres et la réaction à l’appui sachant que les raideurs des deux ressorts sont k1 = 50N/mm et k2 = 75N/mm. Barre encastrée et soumise son poids propre Soit une barre [AB] encastrée en A et soumise son poids propre (figure 2.10). Soit une charge volumique ⃗ f =ρg ⃗ x c'est-à-dire ⃗ F=ρgv ⃗ x=ρgS.L⃗ x 7 Barre soumise àson poids propre On discrétise la barre en quatre éléments de longueur l= L 4 telle qu’elle indique la figure 2.12 8 Le champ un solution du problème discrétisé est solution du système d’équations : { F1 F2 F3 F4 F5} = { R+ ρgLS 8 2 ρgLS 8 2 ρgLS 8 2 ρgLS 8 ρgLS 8 } =4 ES L [ 1 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 1 ]{ 0 u2 u3 u4 u5} La résolution du système peut se faire de la manière suivante : R+ ρgLS 8 =−4 ES L u2 2ρgLS 8 = 4 ES L (2u2−u3) 2ρgLS 8 = 4 ES L (2u3−u4−u2) 2ρgLS 8 = 4 ES L (2u4−u3−u5) ρgLS 8 =4 ES L (u5−u4) Après un calcul tout fait, on trouve : u2=7 ρg L 2 32 E u3=12 ρgL 2 32 E u4=15 ρgL 2 32E u5=16 ρg L 2 32 E Et R=−ρgLS Élément barre pour le calcul des treillis plans Les barres composant un treillis plan sont positionnées arbitrairement dans l’espace et font des angles différents avec le repère global de la structure (⃗ X ,⃗ Y ) (Fig. I.7). On note θ l’angle entre l’axe ⃗ X du repère global et l’axe ⃗ x du repère local à la barre. Le vecteur déplacement d’un point de la barre s’écrit dans le repère local 9 10 uploads/Ingenierie_Lourd/ chapitre-2-mef-appliquee-aux-poutres.pdf