Chapitre 3 : Variables Aléatoires Discrètes et Continues Ayoub Insa Correa, Ph.

Chapitre 3 : Variables Aléatoires Discrètes et Continues Ayoub Insa Correa, Ph.D. Unité de Recherche et Formation en Sciences de l’Ingénieur Université de Thiès Semestre 1, Année académique 2014-2015 Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 1/52 Plan du Chapitre 3 : Cas discret (v.a.d) ▶Définition d’une fonction de probabilité (fonction de masse de probabilité ou distribution de probabilité) ▶Fonction de répartition (fonction de distribution cumulative) ▶Histogramme de probabilité ▶Espérance mathématique (moyenne), variance et écart-type Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 2/52 Plan du Chapitre 3 : Cas continu (v.a.c) ▶Définition d’une fonction de densité de probabilité ▶Fonction de répartition (fonction de distribution cumulative) ▶Espérance mathématique (moyenne), variance et écart-type ▶Théorème de Tchebytchev Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 3/52 Motivation : Jusqu’ici, nous avons étudié des phénomènes aléatoires dont les espaces échantillonnaux sont décrits par des lettres (P , F , D, N etc...). Toutefois, il est important d’affecter une valeur numérique au résultat d’une expérience aléatoire pour travailler plus efficacement sur des espaces échantillonnaux plus grands. Nous travaillerons avec des nombres grâce à la notion de variable aléatoire. Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 4/52 Objectifs du chapitre 3 1. Définir, aussi bien pour les variables aléatoires discrètes que continues, les notions de fonction de probabilité (ou fonction de masse de probabilité ou distribution de probabilité) et densité de probabilité ; 2. Illustrer par des exemples pratiques ces notions et tester leur maîtrise par des exercices à faire en classe ou chez soi ; 3. Définir et utiliser les notions de fonction de répartition et histogramme de probabilité ; 4. Définir et interpréter les notions d’espérance mathématique (moyenne) et variance puis étudier leurs applications. Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 5/52 Définition d’une variable aléatoire Une variable aléatoire est une fonction qui, à tout élément de l’espace échantillonnal, associe un nombre réel. Nous utiliserons : ▶une lettre majuscule pour désigner toute variable aléatoire (par exemple X ou Y) et une lettre minuscule (x ou y par exemple) pour spécifier la valeur que peut prendre cette variable aléatoire ; ▶les abréviations v.a., v.a.d. et v.a.c. pour désigner, respectivement, les notions de variables aléatoires, variables aléatoires discrètes et variables aléatoires continues Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 6/52 Exemple de variable aléatoire 2 boules sont tirées successivement sans remise d’une urne qui contient 4 boules rouges et 3 boules noires. Les résultats possibles et les valeurs x de la variable aléatoire X, qui représente le nombre de boules rouges, sont : ————————————————– Espace échantillonnal x ————————————————– RR 2 RN 1 NR 1 NN 0 Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 7/52 Autre exemple de variable aléatoire Soit X, la v.a définie par le temps d’attente, en heures, qui s’écoule entre le passage de deux chauffards successifs qui seront arrêtés par des gendarmes sur la route nationale 1 (RN 1). Cette v.a. prend toutes les valeurs pour lesquelles x ≥0. Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 8/52 Définitions préliminaires ▶Si un espace échantillonnal contient un nombre fini de possibilités ou une suite infinie contenant autant d’éléments que les nombres entiers (on dit qu’il est dénombrable), il est appelé espace échantillonnal discret ; ▶Si un espace échantillonnal contient un nombre infini de possibilités égal au nombre de points d’un segment de droite, il est appelé espace échantillonnal continu. Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 9/52 Définition d’une v.a.d. Une v.a. est dite discrète si l’ensemble de ses résultats possibles est fini ou dénombrable. L ’image de X est notée RX. Remarques : Dans la plupart des problèmes pratiques, les v.a.d. représentent des données comptées (nombre de pièces défectueuses, produits, nombre de victimes annuelles d’accidents sur une autoroute etc..) tandis que les v.a. continues représentent des données mesurées (hauteurs possibles, poids, températures, distances, périodes de vie etc..). Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 10/52 Distribution de probabilité d’une v.a.d. Une v.a.d. prend ses valeurs avec une certaine probabilité. L ’ensemble des couples ordonnés (x, p(x)) est une fonction de probabilité, une fonction de masse de probabilité ou une distribution de probabilité d’une v.a.d. X si : 1. p (x) ≥0 ∀x 2. P x p (x) = 1 3. p (x) = P (X = x) ∀x Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 11/52 Exemple 1 Soit une expérience aléatoire où une pièce de monnaie équilibrée est jetée en l’air trois fois. Si X représente le nombre de fois où la pièce de monnaie tombe sur le côté pile, alors : X(PPP) = 3, X(PPF) = 2, X(PFF) = 1, X(FPP) = 2, X(FPF) = 1, X(FFP) = 1 et X(FFF) = 0. Ainsi l’image de X est RX = {x : x = 0, 1, 2, 3}. Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 12/52 Exercice 1 Une cargaison de 8 micro ordinateurs similaires destinée à un détaillant contient 3 unités défectueuses. Si une école fait un achat aléatoire de 2 de ces ordinateurs, trouver la distribution de probabilité du nombre d’ordinateurs défectueux. Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 13/52 Exercice 2 Si 50% des voitures vendues par un concessionnaire sont équipées d’airbags (coussins de sécurité), trouver une formule de la distribution de probabilité du nombre de voitures avec airbags parmi les 4 prochaines voitures vendues par ce concessionnaire. Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 14/52 Représentation de la distribution de probabilité d’une v.a.d. Si la fonction p(x) constitue la fonction de probabilité (aussi appelée une fonction de masse ou loi de probabilité) de la v.a. X, X est représentée sous forme tabulaire, graphique ou mathématique. Soit le cas où la v.a. X représente le nombre de fois où la pièce de monnaie tombe sur le côté pile. Représentons par exemple la distribution de probabilité de X sous forme d’un tableau et d’un diagramme. On rappelle que l’image de X est RX = {0, 1, 2, 3}. Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 15/52 Représentation sous forme de tableau ———————— x p(x) ———————— 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 16/52 Représentation sous forme de diagramme (en barres) 0 1 2 3 1/8 3/8 3/8 1/8 Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 17/52 Histogramme de probabilité d’une v.a.d. Au lieu du dessin des points (x, p(x)), des rectangles sont plus fréquemment construits. Les rectangles sont construits de telle sorte que leurs bases, d’égale largeur (une unité par exemple), sont centrés sur chaque valeur x et leurs hauteurs sont égales aux valeurs correspondantes de probabilités données par p(x). Les dessins sont faits de telle sorte qu’il n’y ait pas d’espace entre les rectangles. Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 18/52 Représentation sous forme d’histogramme de probabilité 1 2 0 3 4 1/16 2/16 3/16 4/16 5/16 6/16 f(x) x 1 2 Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 19/52 Exercice d’application Un lot de 7 téléviseurs contient 2 unités défectueuses. Un hôtel fait un achat aléatoire de 3 téléviseurs. Si x est le nombre d’unités défectueuses achetées par l’hôtel, trouver la distribution de probabilité de la v.a.d. X. Exprimer graphiquement les résultats sous forme d’histogramme de probabilité. Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 20/52 Fonction de répartition d’une v.a.d. Dans beaucoup de problèmes, on souhaite calculer la probabilité que la valeur observée d’une v.a. X soit inférieure ou égale à un certain nombre réel x. Définition : La fonction de distribution cumulative F(x) d’une v.a.d. X de distribution de probabilité p(x) est définie par : F (x) = P (X ≤x) = P u≤x p (u) pour −∞< u < ∞ Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 21/52 Exercice 3 On reprend l’énoncé de l’exercice 2. 1. Trouver la fonction de distribution cumulative de la v.a. X ; 2. Utiliser F(x) pour vérifier que p(2) = 3/8 ; 3. Dessiner la courbe de la fonction F(x). Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 22/52 Espérance mathématique ou moyenne d’une v.a.d. ▶La moyenne (ou espérance mathématique) d’une v.a. X est d’une importance spéciale en Statistique parce qu’elle décrit l’endroit où la distribution de probabilité est centrée (i.e la tendance centrale) ; ▶La valeur moyenne n’est pas nécessairement le résultat d’une expérience aléatoire. Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 23/52 Exemple 2 Soit une expérience aléatoire où 2 pièces de monnaie équilibrées sont jetées en l’air 16 fois et X le nombre de fois où le côté Pile apparait par jet. Supposons que cette expérience ait abouti à : ▶Aucune face Pile 4 fois ▶Une face Pile 7 fois ▶Deux faces Pile 5 fois La valeur moyenne des côtés Pile obtenus par jet de 2 pièces de monnaie est alors : (0)(4)+(1)(7)+(2)(5) 16 = 1.06 Chapitre 3 : Variables Aléatoires Simples 24/52 Autre façon de voir l’exemple précédent En reécrivant le quotient précédent, nous avons : (0) 4 16  + (1) 7 16  + (2) 5 16  Remarques : ▶ 4 16, 7 16 et 5 16 sont les fractions des jets qui donnent 0, 1 et 2 Pile, respectivement. Ce sont aussi les fréquences relatives de valeurs différentes de X de notre expérience aléatoire ; uploads/Ingenierie_Lourd/ chapitre-3-variables-aleatoires-v2-mai-2015.pdf

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