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CFAI-CENTRE – BTS 1ère Année – 1 Correction du devoir sur les Nombres Complexes

CFAI-CENTRE – BTS 1ère Année – 1 Correction du devoir sur les Nombres Complexes Exercice 1 Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u ,v ) d’unité graphique: 2 cm. Soient A, B et C les points d’affixes respectives: zA = 3 + i; zB = -1 - i 3 et zC = -2. 1.a) Ecrire zA et zB sous forme trigonométrique. On a ห√૜൅࢏หൌට൫√૜൯² ൅૚² ൌ૛ donc on peut écrire : ࢠ࡭ൌ√૜൅࢏ൌ૛ቆ√૜ ૛൅࢏ ૛ቇൌ૛ቆ܋ܗܛቀ࣊ ૟ቁ൅࢏࢙࢏࢔ቀ࣊ ૟ቁቇൌ૛ࢋ࢏࣊ ૟ De même ࢠ࡮ൌെ૚െ࢏√૜ൌ૛ቀെ ૚ ૛െ࢏√૜ ૛ቁൌ૛൬܋ܗܛቀ ି૛࣊ ૜ቁ൅࢏࢙࢏࢔ቀ ି૛࣊ ૜ቁ൰ൌ૛ࢋି૛࢏࣊ ૜ et ࢠ࡯ൌെ૛ൌ૛ࢋ࢏࣊ b) Placer le point C et construire les points A et B dans le plan P. CFAI-CENTRE – BTS 1ère Année – 2 c) Déterminer la nature du triangle ABC. Prouvons que ฮ࡭࡮ ሬሬሬሬሬሬԦฮൌฮ࡭࡯ ሬሬሬሬሬԦฮ฻|ࢠ࡮െࢠ࡭| ൌ|ࢠ࡯െࢠ࡭| ൌ calcule facilement|ࢠ࡮െࢠ࡭|૛ൌหെ૚െ࢏√૜െ√૜െ࢏ห² ൌ൫૚൅√૜൯² ൅൫૚൅√૜൯² ൌ૛൫૚൅√૜൯² et |ࢠ࡯െࢠ࡭|૛ൌหെ૛െ√૜െ࢏ห² ൌ൫૛൅√૜൯² ൅૚ൌ૛൫૚൅√૜൯² donc le triangle (ABC) est isocèle de sommet A. 2. On pose a = z z A B . a) Ecrire a sous forme trigonométrique. Utilisons les formes exponentielles On sait que ࢠ࡭ൌ૛ࢋ࢏࣊ ૟ et ࢠ࡮ൌ૛ࢋି૛࢏࣊ ૜ d’où : ࢠ࡭ ࢠ࡮ൌ ૛ࢋ࢏࣊ ૟ ૛ࢋష૛࢏࣊ ૜ ൌࢋ࢏࣊ ૟ା૛࢏࣊ ૜ൌ ࢋ࢏૞࣊ ૟ b) On considère l’application f du plan dans lui-même , qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que z’ = e z i 5 6 Π . Caractériser géométriquement l’application f. L’application est une rotation de centre O et d’angle ૞࣊ ૟ 3. a) Déterminer les images des points A et B par f. ࢌሺ࡭ሻൌࢋ࢏૞࣊ ૟. ૛ࢋ࢏࣊ ૟ൌ૛ࢋ࢏૞࣊ ૟ା࢏࣊ ૟ൌ૛ࢋ࢏࣊ൌെ૛ൌࢠ࡯ ࢌሺ࡮ሻൌࢠ࡭ ࢠ࡮ . ࢠ࡮ൌࢠ࡭ b) En déduire l’image de la droite (AB) par f. L’image de la droite ሺ࡭࡮ሻ par l’application f est donc la droite ሺ࡯࡭ሻ, ࢌሺሺ࡭࡮ሻሻൌࢌሺሺ࡯࡭ሻሻ CFAI-CENTRE – BTS 1ère Année – 3 Exercice 2 On considère le nombre complexe a = e i 2 5 Π . 1. On note I, A, B, C, D les points du plan complexe d’affixes 1, a, a², a3, a4. Vérifier que a5 = 1 et montrer que IA = AB = BC = CD = DI. Placer les points I, A, B, C, D dans le plan complexe (unité: 4 cm). On a : ࢇ૞ൌቀࢋ૛࢏࣊ ૞ቁ ૞ ൌࢋ૛࢏࣊ൌ૚ On a : ࡵ࡭ൌ|ࢇെ૚| ࡭࡮ൌ|ࢇ² െࢇ| ൌ|ࢇሺࢇെ૚ሻ| ൌ|ࢇ||ࢇെ૚| ൌ|ࢇെ૚| ൌࡵ࡭ et de même : ࡮࡯ൌหࢇ૜െࢇ²หൌ|ࢇ||ࢇ² െࢇ| ൌ࡭࡮ ࡯ࡰൌหࢇ૝െࢇ૜หൌ|ࢇ|หࢇ૜െࢇ²หൌหࢇ૜െࢇ²หൌ࡮࡯ ࡰࡵൌหࢇ૝െ૚หൌ|ࢇ|หࢇ૝െ૚หൌหࢇ૞െࢇหൌ|૚െࢇ| ൌࡵ࡭ 2. a) Vérifier que, pour tout nombre complexe z: z5 - 1 = (z - 1)(1 + z + z2 + z3 + z4) simple distribution et simplification… et en déduire que: 1 + a + a2 + a3 + a4 = 0. (1) si on pose ࢠൌࢇ, on sait que ࢇ૞െ૚ൌ૙ (question 1°) alors comme ࢇ്૚ nécessairement on a : ૚൅ࢇ൅ࢇ² ൅ࢇ૜൅ࢇ૝ൌ૙ CFAI-CENTRE – BTS 1ère Année – 4 b) Montrer que a3 = a 2 et que a a 4 = et en déduire que: (a + a )² + (a + a ) - 1 = 0. (2) ࢇ૜ൌࢋ૟࢏࣊ ૞ൌࢋ૟࢏࣊ ૞ି૛࢏࣊ൌࢋି૝࢏࣊ ૞ൌቀࢋି૛࢏࣊ ૞ቁ ૛ ൌሺࢇ ഥሻ૛ ࢇ૝ൌࢋૡ࢏࣊ ૞ൌࢋૡ࢏࣊ ૞ି૛࢏࣊ൌࢋି૛࢏࣊ ૞ൌࢇ ഥ Alors de l’égalité ૚൅ࢇ൅ࢇ² ൅ࢇ૜൅ࢇ૝ൌ૙ et de ሺࢇ൅ࢇ ഥሻ² ൌࢇ² ൅૛ࢇࢇ ഥ൅ሺࢇ ഥሻ૛ൌࢇ² ൅૛൅ሺࢇ ഥሻ૛ on en déduit : ૚൅ࢇ൅ࢇ² ൅ሺࢇ ഥሻ૛൅ࢇ ഥൌ૙ ૛൅ࢇ൅ࢇ² ൅ሺࢇ ഥሻ૛൅ࢇ ഥെ૚ൌ૙ ࢇ² ൅૛൅ሺࢇ ഥሻ૛൅ࢇ൅ࢇ ഥെ૚ൌ૙ ሺࢇ൅ࢇ ഥሻ² ൅ሺࢇ൅ࢇ ഥሻെ૚ൌ૙ c) Résoudre l’équation: 4x² + 2x - 1 = 0 et en déduire, à partir de (2), la valeur exacte de cos 2 5 Π ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟. l’équation : ሺࢇ൅ࢇ ഥሻ² ൅ሺࢇ൅ࢇ ഥሻെ૚ൌ૙ peut s’écrire : ൬૛܋ܗܛ൬૛࣊ ૞൰൰² ൅൬૛܋ܗܛ൬૛࣊ ૞൰൰െ૚ൌ૙ ૝൬܋ܗܛ൬૛࣊ ૞൰൰ ૛ ൅૛܋ܗܛ൬૛࣊ ૞൰െ૚ൌ૙ En posant ࢄൌ܋ܗܛቀ ૛࣊ ૞ቁ, on a : ૝ࢄ² ൅૛ࢄെ૚൅૙ Les solutions réelles sont : ି૛േ૛√૞ ૡ comme ܋ܗܛቀ ૛࣊ ૞ቁ൐૙ on en déduit que : ܋ܗܛ൬૛࣊ ૞൰ൌെ૛൅૛√૞ ૡ uploads/Ingenierie_Lourd/ correction-devoir-sur-les-complexes.pdf