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My Ismail Mamouni Maths-MP R´ esum´ e de cours Courbes et Surfaces myismail.che

My Ismail Mamouni Maths-MP R´ esum´ e de cours Courbes et Surfaces myismail.chez.com mamouni.myismail@gmail.com R´ esum´ e de cours Courbes et Surfaces XM6-CPGE MY YOUSSEF RABAT LE 3 AVRIL 2010 Blague du jour : Faites vous partie de la nouvelle ´ economie ? La r´ eponse serait oui, si : • Quand vous perdez un copain de vue, c’est parce qu’il n’a pas d’adresse e-mail. Vous ignorez combien coˆ ute un timbre poste. • La plupart des blagues que vous connaissez, vous les avez rec ¸ues par mail. • Vous venez de lire cette liste en vous r´ ep´ etant a chaque ligne ”oui, c’est vrai ”, mais vous vous demandez d´ ej` a ` a qui vous allez envoyer ce lien ! Math´ ematicien du jour Monge Gaspard Monge (1746-1818), est un math´ ematicien franc ¸ais dont l’œuvre consid´ erable mˆ ele g´ eom´ etrie descriptive, analyse inﬁnit´ esimale et g´ eom´ etrie analytique. Il enseigne d` es l’ˆ age de seize ans les sciences phy- siques. Il joue un grand rˆ ole dans la R´ evolution franc ¸aise, il participe ` a la cr´ eation de l’´ Ecole normale, de l’´ Ecole polytechnique et de l’´ Ecole d’arts et m´ etiers. Sous l’´ egide de Bonaparte, il fˆ ut charg´ e de missions lors des campagnes d’´ Egypte et d’Italie. Remerciements : ` a David Delaunay (Paris) pour la source de ce r´ esum´ e de cours. Table des mati` eres 1 Courbes 1 1.1 Courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Courbes gauches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Surfaces 3 2.1 G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Surfaces usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2.1 Cylindres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2.2 Cˆ ones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2.3 Surfaces de r´ evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Courbes 1.1 Courbes planes On appelle arc plan (ou courbe plane ) param´ etr´ e(e) de classe Ck de R2 tout couple (γ) = (I, M) form´ e d’un intervalle I de R et d’une application M : I − → R2 t 7− → M(t) = (x(t), y(t)) de classe Ck. D´ eﬁnition Vocabulaire et notations. Soit (γ) = (I, M) un arc param´ etr´ e de classe Ck et t0 ∈I. • On pose alors γ(p)(t0) = dk− − → OM dtk (t0) = dkM dtk (t0) = − − → OM(k)(t0) = x(p)(t0)− → i + y(p)(t0)− → j , ∀0 ≤p ≤k . • Un point M(t0) de (γ) est dit r´ egulier si la vitesse en ce point − → V (t0) = x′(t0)− → i + y′(t0)− → j est non nulle. • (γ) est dit r´ egulier, si tous ses points son r´ eguliers. • Un point M(t0) de (γ) est dit bir´ egulier si l’acc´ el´ eration en ce point − → Γ (t0) = x′′(t0)− → i + y′′(t0)− → j est non nulle. • (γ) est dit bir´ egulier, si tous ses points son bir´ eguliers. 1 My Ismail Mamouni Maths-MP R´ esum´ e de cours Courbes et Surfaces myismail.chez.com mamouni.myismail@gmail.com • L’ensemble des points {M(t) = (x(t), y(t)), t ∈I} s’appelle support de l’arc pa- ram´ etr´ e. • L’application M : I − → R2 t 7− → M(t) = (x(t), y(t)) s’appelle param´ etrage admissible de (γ), il est dit normal quand ∥− → V ∥(t) = 1, ∀t ∈I. • On appelle changement de param´ etrage de (γ), tout de classe Ck-diﬀ´ eomorphisme ϕ : I − → J t 7− → u = ϕ(t) Dans ce cas l’application M ◦ϕ−1 : J − → R2 u 7− → M(u) = (x(ϕ−1(u)), y(ϕ−1(u))) est aussi un param´ etrage admissible de (γ). • Une notion relative ` a un arc invariante par changement de param´ etrage est qualiﬁ´ ee de g´ eom´ etrique. Le support d’un arc, la r´ egularit´ e et la bir´ egularit´ e d’un point sont des notions g´ eom´ etriques. La vitesse en un point n’est pas une notion g´ eom´ etrique, alors que la droite tangente est une notion g´ eom´ etrique. • Une notion relative ` a un arc invariante par changement de param´ etrage croissant est qualiﬁ´ ee de g´ eom´ etrique orient´ ee. Le sens de parcours d’un arc est une notion g´ eom´ etrique orient´ ee. Les demi-tangente sont des notions g´ eom´ etriques orient´ ees. Soit (γ) = (I, M) un arc param´ etr´ e de classe Ck et t0 ∈I. • On appelle abscisse curviligne d’origine M0 = M(t0) le long de l’arc (γ) l’ap- plication s : I − →R d´ eﬁnie par s(t) = Zt t0 ∥− → V (u)∥du • Soit A = M(a) et B = M(b) deux points de (γ), on appelle longueur de l’arc orient´ e ↷ AB, le r´ eel not´ e ℓ( ↷ AB), d´ eﬁni par : ℓ( ↷ AB) = s(b)−s(a) = Z b a ∥− → V (u)∥du D´ eﬁnitions Remarques : • L’abscisse curviligne et la longueur sont des notions g´ eom´ etriques orient´ ees. • Si de plus (γ) est r´ egulier, alors l’application s : I − → J t 7− → s = s(t) est un de classe Ck-diﬀ´ eomorphisme et l’application M : J − → R2 s 7− → M(s) = (x(s), y(s)) est un param´ etrage normal. • Le vecteur − → T = d− − → OM ds est un vecteur unitaire tangent ` a (γ) au point M(s) c’est une notion g´ eom´ etrique orient´ ee. • On pose − → T = cos α− → i +sin α− → j et − → T = −sin α− → i +cos α− → j , le rep` ere (M, − → T , − → N) est un rep` ere orthonorm´ e direct, appel´ e rep` ere de Frenet. • c = dα ds s’appelle la courbure de (γ) au point M = M(s). • Si M est bir´ egulier on pose : R = 1 c : rayon de courbure en M. Ω= M + R− → N : centre de courbure en M„ situ´ e toujours dans la partie convexe de la courbe. C(Ω, |R|) : cercle osculateur en M. D´ eﬁnition Formules ` a apprendre : • dx ds = cos α, dy ds = sin α. • d− → T ds = 1 R − → N, d− → N ds = −1 R − → T . • R = ∥− → V ∥ det(− → V , − → Γ ) . 2 My Ismail Mamouni Maths-MP R´ esum´ e de cours Courbes et Surfaces myismail.chez.com mamouni.myismail@gmail.com 1.2 Courbes gauches On appelle courbe gauche, tout arc param´ etr´ e ` a support dans R3, tous les notions d´ eﬁnies pour une courbe plane sont encore valable pour celle gauche, notamment les notions de vitesse, acc´ el´ eration, param´ etrage admissible, normal, abscisse cur- viligne, longueur d’un arc et orientation. D´ eﬁnition Formules ` a apprendre : L’arc est suppos´ e r´ egulier, et bir´ egulier ` a partir de la 3` eme propri´ et´ e. • − → T = d− − → OM ds , le vecteur unitaire tangent ` a la courbe. • c = ∥d− → T ds ∥, la courbure de la courbe. • Rc = 1 c, le rayon de courbure de la courbe. • − → T = d− → T ds /∥d− → T ds ∥, le vecteur unitaire normal ` a la courbe. • − → B = − → T ∧− → N, le vecteur unitaire binormal ` a la courbe. • Le rep` ere (M, − → T , − → N, − → B ) est un rep` ere uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-courbe-s-surfaces.pdf