Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Cours de Géométrie pour l'architecte Conçu et élaboré par Marie Bouazzi Marie B

Cours de Géométrie pour l'architecte Conçu et élaboré par Marie Bouazzi Marie BOUAZZI Ecole Nationale d'Architecture et d'Urbanisme & Université Virtuelle de Tunis Dernière mise à jour : 11 05 2007 La symétrie plane Accueil LA SYMÉTRIE PLANE La symétrie Idées et vocabulaire __________ Exemples de symétrie Un exemple de symétrie bilatérale • Expressions • Symétrie exacte, symétrie approximative • Figure et axe : définition par le dessin • Définitions mathématiques • Mathématiques-dessin : aller/ retour Autres exemples • Axes en mathématiques, axes en architecture • Dissymétrie, asymétrie Début de généralisation mathématique __________ Groupe de symétrie d'une figure Définition Pourquoi des similitudes ? Groupes de symétrie et types de régularité Pourquoi des isométries ? EXERCICES • Page 1 • Page 2 Page suivante LA SYMÉTRIE PLANE La symétrie Dessin de Viollet-le-Duc Ce n'est pas un hasard si nous avons choisi de mettre au programme de mathématiques pour l'architecte la symétrie. D'une part en effet l'étude de la symétrie, qui est un exercice de manipulation des figures et des transformations géométriques pouvant se faire sans beaucoup de connaissances ni d'expérience, permet particulièrement bien de comprendre quels objets concrets et quelles opérations concrètes sont représentés par les opérations et les objets mathématiques. D'autre part, l'étude de la symétrie est en elle-même d'un très grand intérêt. Car le monde est rempli de formes symétriques. file:///C|/architecture/Sy1/Sy1.htm (1 of 3)01/06/2005 04:41:17 • La symétrie plane • Page 3 • Page 4 • Page 5 • Page 6 __________ Isométries planes Généralités Réflexions Rotations • Rotations, angles • Mesure des angles • Invariants des rotations Symétrie axiale orthogonale, symétrie centrale Déplacements, antidéplacements Composition de réflexions Réflexions glissées Liste complète des isométries EXERCICES • Page 1 • Page 2 • Page 3 • Page 4 __________ Similitudes planes Généralités Homothéties Similitudes directes, similitudes indirectes Liste des similitudes EXERCICES • Page 1 • Page 2 __________ Feuille de vigne inscrite dans un pentagone régulier Cristaux de neige Feuille de liseron Bourgeons de maronnier Rayon de miel Scolopendre, pousse d'Angroecum et coquille de turitelle Coquille de Nautile Maille élémentaire d'un réseau cristallin cubique à faces centrées Image au microscope électronique d'un cristal organique Chapeau de paille tressée Fenêtre d'une mosquée du Caire Palais du Bardo Tunis Monde de la nature, monde des techniques, monde des arts, partout apparaît, à des degrés plus ou moins grands, la symétrie. Il ne s'agit pas ici seulement de la symétrie bilatérale, qui se traduit en géométrie dans l'espace par un plan de symétrie et en géométrie plane par un axe. En français littéraire, le mot symétrie possède un sens large d'harmonie des proportions, d'équilibre, de régularité, et c'est de cette notion générale assez vague que nous allons traiter. Bien sûr la feuille de liseron, représentée ci- dessus, est symétrique. Mais, au sens littéraire, tous les objets qui illustrent cette page le sont aussi. Nous allons voir que l'idée générale de symétrie, au sens littéraire vague, peut se traduire d'une manière précise au moyen d'un concept mathématique général de symétrie qui contient, comme cas particulier, la symétrie bilatérale, et qui permet de décrire d'une manière exacte chaque type de régularité. Accueil Suite Marie Bouazzi - ENAU & UVT file:///C|/architecture/Sy1/Sy1.htm (2 of 3)01/06/2005 04:41:17 • La symétrie plane - Introduction Page suivante LA SYMÉTRIE PLANE La symétrie Dessin de Viollet-le-Duc Ce n'est pas un hasard si nous avons choisi de mettre au programme de mathématiques pour l'architecte la symétrie. D'une part en effet l'étude de la symétrie, qui est un exercice de manipulation des figures et des transformations géométriques pouvant se faire sans beaucoup de connaissances ni d'expérience, permet particulièrement bien de comprendre quels objets concrets et quelles opérations concrètes sont représentés par les opérations et les objets mathématiques. D'autre part, l'étude de la symétrie est en elle-même d'un très grand intérêt. Car le monde est rempli de formes symétriques. file:///C|/architecture/Sy1/sy_intr.htm (1 of 2)01/06/2005 04:41:17 • La symétrie plane - Introduction Feuille de vigne inscrite dans un pentagone régulier Cristaux de neige Feuille de liseron Bourgeons de maronnier Rayon de miel Scolopendre, pousse d'Angroecum et coquille de turitelle Coquille de Nautile Maille élémentaire d'un réseau cristallin cubique à faces centrées Image au microscope électronique d'un cristal organique Chapeau de paille tressée Fenêtre d'une mosquée du Caire Palais du Bardo Tunis Monde de la nature, monde des techniques, monde des arts, partout apparaît, à des degrés plus ou moins grands, la symétrie. Il ne s'agit pas ici seulement de la symétrie bilatérale, qui se traduit en géométrie dans l'espace par un plan de symétrie et en géométrie plane par un axe. En français littéraire, le mot symétrie possède un sens large d'harmonie des proportions, d'équilibre, de régularité, et c'est de cette notion générale assez vague que nous allons traiter. Bien sûr la feuille de liseron, représentée ci-dessus, est symétrique. Mais, au sens littéraire, tous les objets qui illustrent cette page le sont aussi. Nous allons voir que l'idée générale de symétrie, au sens littéraire vague, peut se traduire d'une manière précise au moyen d'un concept mathématique général de symétrie qui contient, comme cas particulier, la symétrie bilatérale, et qui permet de décrire d'une manière exacte chaque type de régularité. Accueil Suite Marie Bouazzi - ENAU & UVT file:///C|/architecture/Sy1/sy_intr.htm (2 of 2)01/06/2005 04:41:17 • Symétrie - Vocabulaire LA SYMÉTRIE PLANE Page précédente Page suivante Idées et vocabulaire En arabe, à l'heure actuelle, le vocabulaire mathématique exprimant l'idée de symétrie n'est pas unifié. Symétrie se dit ÇáÊäÇÙÑ dans l'enseignement primaire tunisien, ÇáÊãÇËá dans l'enseignement primaire et secondaire marocain et dans certains documents tunisiens, ÇáÇäÚßÇÓ en Egypte. Or, aucun de ces trois mots n'exprime ni l'idée générale de rapport harmonieux des parties d'un tout, ni l'idée mathématique générale. Contemplons par exemple une coupe plane de coquille de nautile. Figure extraite de WEYL H., Symétrie et mathématique moderne, Flammarion, Paris, 1964 On peut dire, en français littéraire, que cette spirale avec ses cloisonnements "présente une belle symétrie", qu'elle est régulière, que ses proportions sont harmonieusement équilibrées, et cette idée s'exprime en termes de symétrie mathématique (comme Hermann Weyl l'explique dans son livre, et comme nous allons le faire, nous aussi, dans les pages suivantes). Pourtant, il est évident que cette spirale cloisonnée n'est pas " ãÊäÇÙÑ " (l'idée de vis-à-vis correspond à une symétrie bilatérale, et ce n'est pas de ce type de symétrie qu'il s'agit ici). Elle n'est pas non plus " ãäÚßÓ " (l'idée de reflet optique, d'objet et d'image inversée comme par une réflexion dans un miroir, n'a rien à voir avec la régularité de la spirale). L'idée de " ÊãÇËá " ne convient pas non plus, car s'il est vrai que la spirale est cloisonnée en une série de compartiments semblables, ce n'est pas la similitude des compartiments répétés qui crée la symétrie, mais la régularité de la répétition. Quels termes arabes expriment alors l'idée générale de symétrie ? Certains auteurs scientifiques modernes emploient le mot ÓíãÊÑíÉ . Mais, puisque l'idée – ainsi que ses noms anglais et français symmetry/symétrie – remonte à l'antiquité grecque, on peut chercher dans les textes arabes anciens quels mots ont été employés pour exprimer ce concept. ÇáÜÜÜÊäÇÓÈ et ÇáÅÚÜÊÏÇá par exemple. On peut lire en effet dans le livre d'optique d'Ibn El Haïthem des phrases telles que " ÈÜá ÇáÜÜÊÜÜäÜÜÜÜÇÓÜÜÜÜÈ ÝÜÜÞÜÜØ ÞÜÜÏ íÜÜÝÜÜÚÜÜÜá ÇáÜÍÜÜÜÓÜÜÜÜÜä ", ou encore que " áÃä ÇáÜßÜÜÑÉ ÃÚÏá file:///C|/architecture/Sy1/sy_voc.htm (1 of 2)01/06/2005 04:41:18 • Symétrie - Vocabulaire ÇáÃÔßÜÇá ÇáãÌÓøãÉ " qui expriment parfaitement bien deux idées fondamentales de l'école pythagoricienne : "c'est la symétrie qui fait la beauté" et "la sphère est la plus symétrique des figures de l'espace". On peut donc définir ainsi l'objet de notre travail : étudier la symétrie, c'est-à-dire ÇáÅÚÊÏÇá , au moyen des mathématiques (en géométrie plane pour commencer). Bien entendu notre étude n'est pas une prise de position d'ordre esthétique, pour ou contre la symétrie en architecture ni dans les arts en général. Il s'agit seulement de se donner les moyens d'utiliser la symétrie, d'une manière variée et éventuellement complexe, ou au contraire de l'éviter d'une manière consciente. Accueil Suite Marie Bouazzi - ENAU & UVT file:///C|/architecture/Sy1/sy_voc.htm (2 of 2)01/06/2005 04:41:18 • Un exemple de symétrie bilatérale Page précédente Page suivante Exemples de symétrie Ce chapitre est constitué d'exercices. Pour chaque figure, donnée par un dessin, on essaye d'expliquer ce qui fait la "symétrie" de la figure, en utilisant des objets mathématiques connus, que l'on associe à la figure. Un exemple de symétrie bilatérale Carrelage mycénien, XIIe siècle avant J.-C. Expressions Comment cette figure est-elle symétrique ? La réponse est évidente : (1) La figure possède un axe de symétrie. Cette propriété peut s'exprimer de plusieurs manières différentes. On peut dire aussi par exemple que : (2) La figure est symétrique par rapport à une droite. Ou encore que : (3) La réflexion par rapport à cette droite envoie le dauphin de gauche sur le dauphin de droite, et le dauphin de droite sur le dauphin de gauche. Ce qui montre clairement que la propriété s'exprime aussi de la manière suivante : (4) La figure est globalement invariante par la uploads/Ingenierie_Lourd/ architpdf-pdf.pdf