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Cristallographie Chapitre II J.-P. GASPARD 1 Chapitre II. ELEMENTS DE CRISTALLO

Cristallographie Chapitre II J.-P. GASPARD 1 Chapitre II. ELEMENTS DE CRISTALLOGRAPHIE GEOMETRIQUE II.1 LA SYMETRIE PONCTUELLE II.2 LA SYMETRIE DE TRANSLATION A Le réseau de Bravais B. Maille primitive et maille multiple C. La cellule de Wigner-Seitz D. Les rotations permises E. Les 7 systèmes cristallins F. Points, directions et plans a) Coordonnées des points b) Indice des directions [u v w] c) Indices de Miller des plans (x y z) cbis) Indices de Miller-Bravais de l’hexagonal G. Les 14 réseaux de Bravais. H. Le réseau réciproque II.3 LES SYMETRIES COMPOSEES A. Introduction B. Axes hélicoïdaux et rotations hélicoïdales C. plans de glissement II.4 LES 230 GROUPES D’ESPACE A. Groupes symmorphiques et non-symmorphiques B. Notations C. Tables Internationales de Cristallographie Appendices Ce chapitre donne les bases de la description géométrique des cristaux. Les éléments de symétrie des cristaux permettent de réduire de manière considérable le nombre de paramètres qui les décrivent. Parmi ces éléments de symétrie, notons les opérations de symétrie ponctuelle et les opérations de translation. Il y a aussi des opérations de symétrie composée, par exemple composée d'une rotation et d'une translation fractionnaire. Le chapitre suivant donnera les éléments de cristallochimie. II.1 LA SYMETRIE PONCTUELLE La symétrie ponctuelle a été étudiée dans le cours de théorie des groupes. II.2 LA SYMETRIE DE TRANSLATION A LE RESEAU DE BRAVAIS La symétrie de translation du cristal est définie par le réseau de Bravais. Un réseau de Bravais est Cristallographie Chapitre II J.-P. GASPARD 2 un ensemble périodique et infini de points1, appelés noeuds, qui ont tous un environnement identique. Figure II.1. Une structure périodique et son réseau associé. Par exemple, si nous avons du papier-peint, avec un motif2 répété périodiquement (une fleur sur la figure II.1), nous pouvons en représenter la périodicité en associant au papier-peint (l’être physique), un réseau de Bravais (être mathématique) obtenu en prenant un point particulier du motif. Cristal = réseau + motif Tous les points d’un réseau de Bravais sont équivalents; ils ont donc le même environnement, à savoir, - le même nombre de points voisins - situés aux mêmes distances et - dans les mêmes directions. La figure II.2 a) et b) montre un réseau de Bravais (a) et un réseau qui n’est pas de Bravais (b) car dans le réseau en nid d’abeilles (b), les points ne sont pas équivalents. Le point A a un premier voisin (B) en bas, le point B n'a pas de premier voisin en bas. 1 Il s’agit donc d’une construction purement géométrique, un ensemble de points, qui n’a rien de physique: les points ne sont pas des atomes. Ils matérialisent, d’une manière qui comporte un certain arbitraire, la symétrie du cristal qui, lui, est formé d’atomes. 2 En anglais: asymmetric unit. Cristallographie Chapitre II J.-P. GASPARD 3 Figure II.2. Réseau de Bravais (a) et réseau régulier de points qui n'est pas un réseau de Bravais (b). Mathématiquement, un réseau de Bravais est formé de tous les points t qui sont les combinaisons linéaires, à coefficients entiers (positifs, négatifs ou nuls) de trois vecteurs de base, a, b et c appelés vecteurs primitifs ou fondamentaux de translation. t = m a + n b + p c (II.1) Le réseau de Bravais à deux dimensions de la figure II.3 a pour base deux vecteurs primitifs a et b. Ce choix des vecteurs de base n’est pas unique : on pourrait prendre comme autre base les vecteurs a+b et a. Tout vecteur t du réseau est une combinaison linéaire des nouveaux vecteurs de base. Par exemple 3a + 4b = 4(a + b) - a. En fait, il y a une infinité de vecteurs de base différents pour un réseau donné ; il suffit de choisir ceux-ci linéairement indépendants et indivisibles par un entier. Dans la pratique, on choisit souvent les vecteurs de base de longueur minimale ou alors on fait un choix tel que la symétrie de la maille soit maximale. A trois dimensions, dans le cas du cubique simple, on prend les trois vecteurs a, b et c qui sont à la fois mutuellement orthogonaux et de longueur minimale. Nous allons voir que ce choix n’est pas toujours possible. Un plan réticulaire est un plan contenant une infinité de noeuds du réseau. Rappelons que le réseau est formé de points (au sens mathématique du terme) et non pas d'atomes; ce qui n'empêche que, par la suite, nous garnirons les mailles d'atomes (le motif). B. MAILLE PRIMITIVE ET MAILLE MULTIPLE Cristallographie Chapitre II J.-P. GASPARD 4 a b a b b a Figure II.3. Différents choix de vecteurs de base et mailles élémentaires (hachurées) d'un réseau carré à deux dimensions. Chacune de ces mailles élémentaires pave l'espace. Les trois mailles de gauche sont primitives puisqu'elles contiennent un noeud par maille. La maille de droite est double. b a γ β α γ a b c β Figure II.4. Maille à 2D (3 paramètres) et à 3D (6 paramètres). Les vecteurs a, b et c définissent un parallélépipède de volume a.(b ∧ c). Translaté parallèlement à lui-même, il pave l’espace. Ce parallélépipède, qui contient3 un noeud du réseau est appelé maille primitive4 ou maille P. Une maille est définie par les trois longueurs de ses côtés et ses trois angles (figure II.6): ce sont les 6 paramètres du réseau ou paramètres réticulaires. On peut définir des mailles qui contiennent plus d’un point du réseau; on a alors une maille non primitive ou maille multiple. Cela est intéressant lorsque l’on veut que le la symétrie de la maille soit la même que 3 “Contient” signifie possède au total un noeud, à l’intérieur de la maille ou des fractions de noeuds du réseau dont le total vaut un; par exemple le cube, dont les sommets sont sur les points du réseau, contient 8 Erreur != 1 noeud du réseau. 4 Primitive unit cell Cristallographie Chapitre II J.-P. GASPARD 5 celle du réseau. La figure II.5 montre des exemples de mailles primitives et non primitives (maille double à droite). Insistons sur le fait que les mailles ne sont pas uniques, loin s’en faut ; il y a un nombre infini de mailles, mêmes primitives. Les mailles pavent l’espace, c’est-à-dire qu’elles le remplissent sans interstice. Elles ne constituent pas la seule manière de paver l’espace à l’aide de polyèdre tous identiques. Les cellules de Wigner- Seitz réalisent aussi cet objectif. C. LA CELLULE DE WIGNER-SEITZ Une maille est un volume qui, répété par translation, pave tout l'espace. Les mailles considérées jusqu’ici sont des parallélépipèdes et ce sont les plus simples. Dans certaines applications en physique de l’état solide, telles que l’étude des structures électroniques ou des vibrations, il est plus intéressant de considérer des mailles plus proches de la sphère: la cellule de Wigner-Seitz est bien adaptée à ces buts. Pour la construire, on part d’un point du réseau5 et on joint ce point à ses voisins par un segment; les plans médiateurs de ces segments définissent un polyèdre qui est appelé cellule de Wigner-Seitz6. Ce polyèdre est une maille car il pave l’espace7. A deux dimensions, la cellule de Wigner-Seitz est un polygone, un carré pour le réseau carré, un hexagone pour le réseau triangulaire (figure II.5) a) b) Figure II.5 Construction de Wigner-Seitz à deux dimensions. a) réseau carré b) réseau triangulaire plan. La figure II.6 montre les cellules de Wigner -Seitz des réseaux cubique centré, cubique à faces centrées et quadratique. Le nombre de faces définit un nombre de premiers voisins, c'est pourquoi on appelle parfois la cellule W-S "polyèdre de coordination". Les grandes faces correspondent à des distances courtes, les petites faces à des distances longues (des distances plus longues ne donnent plus lieu à des faces). 5 Rappelons qu' ils sont tous équivalents par définition du réseau. 6 Wigner-Seitz cell. 7 Cette manière de construire une maille est utilisée dans les systèmes désordonnés (amorphes et liquides); dans ce cas, les cellules sont toutes différentes, mais elles pavent l’espace. La construction est appelée dans ce cas “construction de Voronoi-Delaunay” et les polyèdres obtenus sont les polyèdres de Voronoi. Cristallographie Chapitre II J.-P. GASPARD 6 Figure II.6. a) Construction de la cellule de Wigner-Seitz pour le réseau cubique centré. Chaque plan médiateur définit une face. Le polyèdre possède 14 faces, 8 grandes faces hexagonales et 6 petites faces carrées. Les grandes faces correspondent aux premiers voisins, les plus petites faces aux seconds voisins. Sur la figure II.8 e), on voit l’empilement de ces cellules qui pavent l’espace. D. LES ROTATIONS PERMISES La périodicité du réseau implique que seules les rotations (et rotations-réflexions) d’ordres 1, 2 3, 4 et 6 sont permises. En particulier, les rotations d’ordre 5 et 7 sont interdites. La démonstration a été donnée dans le cours de théorie des groupes. E. LES 7 SYSTEMES CRISTALLINS Des restrictions sur les longueurs et angles des mailles sont imposées par les opérations de symétrie ponctuelle. Ces restrictions donnent lieu aux 7 systèmes cristallins. L’idée générale est simple : en appliquant une opération de symétrie à un réseau quelconque, on impose uploads/Ingenierie_Lourd/ cristallo-chap-02.pdf