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Chapitre 5 Géométrie élémentaire de l’espace Objectifs – Rappeler les différent

Chapitre 5 Géométrie élémentaire de l’espace Objectifs – Rappeler les différents modes de repérage dans l’espace – Rappeler les notions de produit vectoriel, de produit scalaire et de produit mixte ainsi que leurs applications. – Étudier les droites, les plans et les sphères de l’espace. Sommaire I) Les modes de repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1) Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2) Repère orthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3) Repère orthonormal direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4) Coordonnées cylindriques et coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 II) Produit scalaire, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1) Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2) Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3) Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 III) Droites, plans et sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1) Le cas des plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2) Le cas des droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3) Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 IV) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 E désigne l’espace usuel. I) Les modes de repérage 1) Repère cartésien ▲Déﬁnition 5.1 Un repère R de l’espace est la donnée d’un point O appelé origine et de trois vecteurs − → u ,− → v ,− → w non copla- naires appelés vecteurs de base, on note R = (O,− → u ,− → v ,− → w ) et B = (− → u ,− → v ,− → w ) la base associée. Les droites passant par O et de vecteurs directeurs respectifs, − → u , − → v , − → w sont appelés les axes du repère et notées (Ox), (Oy) et (Oz). Soit − → a un vecteur quelconque de l’espace, il existe des réels x, y,z tels que − → a = x− → u + y− → v + z− → w et le triplet (x, y,z) est unique. Les réels x, y,z sont appelés coordonnées de − → a dans la base B. MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 49 Les modes de repérage Chapitre 5 : Géométrie élémentaire de l’espace . . x . y . z . M . − → u . − → v . − → w . O . − → a = − − → OM FIG. 5.1: Coordonnées dans l’espace Soit M un point de l’espace, les coordonnées de M dans le repère R sont par déﬁnition, les coordonnées du vecteur − − → OM dans la base (− → u ,− → v ,− → w ), autrement dit : M(x, y,z) ⇐ ⇒− − → OM = x− → u + y− → v + z− → w . Si A(x, y,z) et B(x′, y′,z′) sont deux points de E , alors les coordonnées du vecteur − − → AB sont (x′ −x, y′ −y,z′ −z) car − − → AB = − − → OB −− − → OA . Le choix d’un repère cartésien permet d’identiﬁer l’espace à l’ensemble R3. 2) Repère orthonormal On choisit arbitrairement un repère R0 = (O,− → u 0,− → v 0,− → w 0), on déﬁnit alors la notion de distance et d’or- thogonalité de la manière suivante : ▲Déﬁnition 5.2 Soient − → a (x, y,z) et − → b (x′, y′,z′) deux vecteurs de E : – La norme du vecteur − → a est ∥− → a ∥= √ x2 + y2 + z2. La distance d’un point A à un point B de E est la norme du vecteur − − → AB : AB = ∥− − → AB ∥. – Les vecteurs − → a et − → b sont dits orthogonaux lorsque ∥− → a +− → b ∥2 = ∥− → a ∥2 +∥− → b ∥2. Une fois ce choix [arbitraire] effectué, on dit que l’espace E est euclidien. Remarques : – La déﬁnition de l’orthogonalité est cohérente avec le théorème de Pythagore du plan. – Avec la déﬁnition de norme dans le repère R0, on a : ∥− → a +− → b ∥2 −∥− → a ∥2 −∥− → b ∥2 = 2(xx′ + yy′ + zz′), la déﬁnition d’orthogonalité devient alors xx′ + yy′ + zz′ = 0. – Avec cette déﬁnition, le repère R0 est un repère orthonormal. MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 50 Les modes de repérage Chapitre 5 : Géométrie élémentaire de l’espace ▶ THÉORÈME 5.1 Soit R1 = (O′,− → u 1,− → v 1,− → w 1) un autre repère orthonormal, soit − → a de coordonnées (x, y,z) dans R0 et (x1, y1,z1) dans R1, et − → b de coordonnées (x′, y′,z′) dans R0 et (x′ 1, y′ 1,z′ 1) dans R1, on a : √ x2 + y2 + z2 = √ x12 + y12 + z12 et xx′ + yy′ + zz′ = x1x′ 1 + y1y′ 1 + z1z′ 1. ▶ THÉORÈME 5.2 Soit (− → u ,− → v ,− → w ) une base de E , il existe une base orthonormale (− → a ,− → b ,− → c ) de E telle que − → a est coli- néaire à − → u et − → b dans le plan déﬁni par − → u et − → v . Conséquences : – Tout plan de E est euclidien [non orienté], i.e. contient des bases orthonormales. – La norme de E vériﬁent les propriétés : – ∥− → u ∥= ⇐ ⇒− → u = − → 0 [découle de la déﬁnition]. – ∥α− → u ∥= |α|·∥− → u ∥[découle de la déﬁnition]. – ∥− → u +− → v ∥⩽∥− → u ∥+∥− → v ∥[inégalité triangulaire] : il sufﬁt de se placer dans un plan contenant − → u et − → v . 3) Repère orthonormal direct La notion d’orientation sera déﬁnie ultérieurement. D’une manière imagée on conviendra que le repère orthonormal R = (O,− → u ,− → v ,− uploads/Ingenierie_Lourd/ chap-05.pdf